忠县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

忠县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=Asin （ωx+θ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （
）的值为（ ）
A ．
B ．0
C ．
D ．
2． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（ ）
A ．{x|﹣2＜x ＜1}
B ．{x|﹣1＜x ＜2}
C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}
D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1} 4． 下列语句所表示的事件不具有相关关系的是（ ）
A ．瑞雪兆丰年
B ．名师出高徒
C ．吸烟有害健康
D ．喜鹊叫喜
5． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．
B ．|a|＞|b|
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
6． “a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7． 求值：
=（ ）
A ．tan 38°
B ．
C ．
D ．﹣
8． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A ．2
1n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -=
C ．(1)2
n n n a += D ．2
1n a n =+ 9． 复数满足2＋2z
1－i
＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
10．一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是
（ ）
A ．2+
B ．1+
C ．
D ．
11．下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）
A ．y=（）2
B ．y=
C ．y=
D ．y=
12．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2
，则||=（ ）
A ．1
B ．
C ．3
D ．2
二、填空题
13．命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是 ．
14．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
15．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
17．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的
，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次
服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”） 18．1785与840的最大约数为 ．
三、解答题
19．（本题满分12分） 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．
20．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x
f x x e a =+-.
（1）证明在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点
处的切线与轴平行,且在点
处的切线与直线
平行,（O 是坐标原点）,
证明:1m ≤
21．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），抛物线上一点Q （m ，）到焦点的距离为1． （Ⅰ）求抛物线C 的方程
（Ⅱ）设过点M （0，2）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且A 点的横坐标为n （n ∈N *
）
（ⅰ）记△AOB 的面积为f （n ），求f （n ）的表达式
（ⅱ）探究是否存在不同的点A ，使对应不同的△AOB 的面积相等？若存在，求点A 点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（本题满分14分）已知两点)1,0(-P 与)1,0(Q 是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一点),(y x M 作y 轴的垂线，垂足为N ，点E 满足MN ME 3
2
=，且0=⋅. （1）求曲线C 的方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3
，求AOB ∆面积的最大值. 【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．
23．函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx ．
（1）求函数f （x ）的递增区间；
（2）当x ∈[0，]时，求f （x ）的值域．
24．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4。

（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n。

忠县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由图象可得A=，=﹣（﹣），解得T=π，ω==2．
再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，
故f（x）=sin（2x﹣），
故f（）=sin（﹣）=sin=，
故选：C．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．
2．【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，
可得b的最小值为：2．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
3．【答案】B
【解析】解：∵x（x﹣1）＜2，
∴x2﹣x﹣2＜0，
即（x﹣2）（x+1）＜0，
∴﹣1＜x＜2，
即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B
4．【答案】D
【解析】解：根据两个变量之间的相关关系，
可以得到瑞雪兆丰年，瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，
名师出高徒也具有相关关系，
吸烟有害健康也具有相关关系，
故选D．
【点评】本题考查两个变量的线性相关关系，本题解题的关键是根据实际生活中两个事物之间的关系确定两个变量之间的关系，本题是一个基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：若a ＞0＞b ，则
，故A 错误；
若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则|a|=|b|，故B 错误； 若a ＞0＞b 且a ，b 互为相反数，则a 2＞b 2，故C 错误； 函数y=x 3在R 上为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3，故D 正确； 故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
6． 【答案】A
【解析】解：由“a ＞b ，c ＞0”能推出“ac ＞bc ”，是充分条件，
由“ac ＞bc ”推不出“a ＞b ，c ＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac ＞bc ，但是a ＜b ，c ＜0， 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
7． 【答案】C
【解析】解： =tan （49°+11°）=tan60°=
，
故选：C ．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：可采用排除法，令1n =和2n =，验证选项，只有(1)
2
n n n a +=，使得121,3a a ==，故选C ． 考点：数列的通项公式． 9． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－21－i ＝－2（1＋i ）2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b
2b ＝a ＋b
， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 10．【答案】A
【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形， ∴原四边形为直角梯形，
且CD=C'D'=1，AB=O'B=，高AD=20'D'=2，
∴直角梯形ABCD 的面积为，
故选：A ．
11．【答案】B
【解析】解：A ．函数的定义域为{x|x ≥0}，两个函数的定义域不同． B ．函数的定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C ．函数的定义域为R ，y=|x|，对应关系不一致．
D ．函数的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不同．
故选B ．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．
12．【答案】D
【解析】解：由已知，|+2|2
=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；
故选D．
【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．
二、填空题
13．【答案】存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．
14．【答案】①③④
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
15．【答案】 {x|﹣1＜x ＜1} ．
【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}， ∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x ＜1}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
16．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==因为1
(,)
t A B ϕ<
恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距
离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
17．【答案】, 无．
【解析】【知识点】等比数列
【试题解析】设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为毫克，
所以）=300，=350．
由，
所以是一个等比数列，
所以
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为：, 无．
18．【答案】105．
【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．
∴840与1785的最大公约数是105．
故答案为105
三、解答题
19．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n+1，
∴a n+1+1=2（a n+1），
又∵a1=1，
∴数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a n+1=2n，
∴a n=﹣1+2n；6分
（2）由（1）可知b n=n（a n+1）=n•2n=n•2n﹣1，
∴T n=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，
2T n=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
错位相减得：﹣T n=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n
=﹣n•2n
=﹣1﹣（n﹣1）•2n，
于是T n =1+（n ﹣1）•2n ． 则所求和为12n
n - 6分
20．【答案】（1）f x （）在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析
【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()()()22211x x f x e x x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()()21x f x x e a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又()1f a a =-=-，
10,1a ->∴>，即0f >，
由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f ⋅<，
()
f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()21x f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()02
001x
f x e x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()02
0010x f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
2
1,P a e ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，2
OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()22
1m k f m e m a e =+'==-，
又题目需证明1m ≤，即()32
1m a e +≤-，
则只需证明()3211m m e m +≤+，即1m m e +≤。

令()()1m g m e m =-+，则()1m g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减，
当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m m e ∴+≤，
1m ∴≤，得证。

21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q +=+=1，解得p=1，
∴抛物线C 的方程为x 2=2y ；
（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，
∴直线l 的斜率存在，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 的方程为：y=kx+2，
联立方程组，化简得：x 2
﹣2kx ﹣4=0， 此时△=（﹣2k ）2﹣4×1×（﹣4）=4（k 2+4）＞0，
由韦达定理，得：x 1+x 2=2k ，x 1x 2=﹣4，
∴S △AOB =
|OM|•|x 1﹣x 2|
=×2
=
=2 （*）
又∵A 点横坐标为n ，∴点A 坐标为A （n ，
），
又直线过点M （0，2），故k==﹣，
将上式代入（*）式，可得：
f （n ）=2
=2
=2
=n+（n ∈N *）；
（ⅱ）结论：当A 点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB 的面积相等．
理由如下：
设存在不同的点A m （m ，），A n （n ，）（m ≠n ，m 、n ∈N *
），
使对应不同的△AOB 的面积相等，则f （m ）=f （n ），即m+=n+，
化简得：m ﹣n=﹣=
，
又∵m ≠n ，即m ﹣n ≠0，
∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，
此时A 点坐标为（1，），（4，8）．
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
22．【答案】
【解析】（1）依题意知),0(y N ，∵)0,32()0,(3232x x -=-==，∴),3
1(y x E 则)1,(-=y x QM ，)1,3
1
(+=y x PE …………2分 ∵0=⋅PE QM ，∴0)1)(1(31=+-+⋅y y x x ，即13
22
=+y x ∴曲线C 的方程为13
22
=+y x …………4分
23．【答案】
【解析】解：（1）…（2分）
令解得…
f（x）的递增区间为…（6分）
（2）∵，∴…（8分）
∴，∴…（10分）
∴f（x）的值域是…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．
24．【答案】
【解析】（1）由a1=10，a2为整数，且S n≤S4得
a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣≤d≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n。

（2）∵b n==，
∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=。