兰山高考补习学校高三数学一轮复习立体几何拓展性训练

兰山高考补习学校08-09学年高三一轮复习
立体几何拓展性训练
第Ⅰ卷（选择题，共60分） 2008-12-26
班级 姓名 评价等级 考号 一．选择题：
1、 用单位正方体搭几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是（ ）
A ．9，13
B ．7，16
C ．10，15
D ．10，16
2、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
1
3
B
C
D ．23
4、已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的
角的余弦值为（ ） A ．
1
3
B
．
3
C
D ．
23
5、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
6、设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是（ ）
（A ）βαβα⊥⊥,//,b a （B ）βαβα//,,⊥⊥b a （C ）βαβα//,,⊥⊂b a （D ）βαβα⊥⊂,//,b a
7、（湖南卷5）设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )
A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
B.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β
C.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β
D.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α
8、 有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可折叠），那么包装纸的最小边长为（ ）
A 、
a 262+ B 、a )62(+ C 、a 2
1
3+ D 、（13+）a 8
6
4
8
6 4
6 8
4
6
8
4 6 8
4
（第2题）
俯视图
侧视图
正视图
9、如图，l A B A B
αβαβαβ
⊥=∈∈
，，，，，到l的距离分别是a和b，AB与αβ
，所成的角分别是θ和ϕ，AB在αβ
，内的射影分别是m和n，若a b
>，则（）
A．m n
θϕ
>>
，B．m n
θϕ
><
，
C．m n
θϕ
<<
，D．m n
θϕ
<>
，
10、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角
的正弦值为( )
11、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C
，，分别是GHI
△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（）
A. 2
2
B. 3
2 C. 4 D. 5
2
二．填空题：
13，则其外接球的表面积是.
14、一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图
和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.
则该几何体的体积是；用个这样的
几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.
15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______
16、如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的
正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好
经过正四棱锥的顶点P。

如果将容器倒置，水面也恰好过点
P（图2）。

有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是：（写出所有真命题的
代号）．
E
F
D
I
A
H G
B C
E
F
D
A
B C
侧视
图1 图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
图12
图
A
B
a
2
l
α
β
三．解答题：
17、如，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，
011
90,,22
BAD FAB BC AD BE AF ∠=∠==
= ，BC //AD ,BE //AF . （Ⅰ）证明：,,,C D F E 四点共面；
（Ⅱ）设AB BC BE ==，求二面角A ED B --的平面角的余
弦值；
18、如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，2BN =AE ，M 是ND 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据； （2）求证：EM ∥平面ABC ；
（3）试问在边BC 上是否存在点G ，使GN ⊥平面NED . 若存在，确定点G 的位置；若不存在，
请说明理由.
19、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB .
（Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.
20、如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，
∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60？
21、如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥AD '．
（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值， 并求出这个值；
（Ⅲ）若D E '与平面PQEF 所成的角为45，求D E '与平 面PQGH 所成角的正弦值．
22、如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=3，AA 1=1，∠ACB=90°． （Ⅰ）求异面直线A 1B 与CB 1所成角的余弦值；
（Ⅱ）问：在A 1B 1边上是否存在一点Q ，使得平面QBC 与平面A 1BC 所成的角为30°，若存在，请求点Q 的位置，若不存在，请说明理由．
A B C
D E F
P Q H A ' B ' C ' D ' G D A B
E F C
H G A
1
A B
1
B C
1
C
兰山高考补习学校08-09学年高三一轮复习
立体几何拓展性训练参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分） 2008-12-26
班级 姓名 考号 一、选择题：DACCC, CDADD, AC. 二、填空题： 13、9π 14、
64,33
15、4
3π 16、 B,D
三、解答题：
17、由平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF AB ⊥，得AF ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz - （Ⅰ）设,AB a BC b BE c ===,，则 ()(
)()()(),0,0,,0,,0,,0,2,0,0,0,2B a C a b E a c D b F
c , ()()0,,,0,2,2EC b c FD b c =-=-
故1
2
EC FD =
，从而由点E FD ∉，得//EC FD 故,,,C D F E 四点共面
（Ⅱ）设1AB =，则1BC BE ==，
()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,1,0,1B C D E
在DE 上取点M ，使5DM ME =，则515,,636M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
从而115,,6
3
6MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
又()1,2,1,0,DE MB DE MB DE =-⋅=⊥ 在DE 上取点N ，使2DN NE =，则222,,333N ⎛⎫
⎪⎝⎭
从而222,,,0,3
3
3NA NA DE NA DE ⎛⎫
=---
⋅=⊥ ⎪⎝⎭
故MB 与NA 的夹角等于二面角A DE B --的平面角， 10cos MB NA MB NA MB NA
⋅⋅=
=
⋅
所以二面角A DE B --。

18、（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分 （2）证明：俯视图和侧视图，得∠CAB=90°， DC=3，CA=AB=2，EA=2，BN=1，EA ⊥ABC ， EA ∥DC ∥NB.取BC 的中点F ，连接FM 、EM ，
则FM ∥DC ∥EA ，且FM=
1
2
（BN+DC ）=2. …4分 ∴FM EA ，∴四边形EAFM 是平行四边形，
∴AF ∥EM ，又AF ⊆平面ABC ，
∴EM ⊆平面ABC.…………………………7分 （3）解，以A 为原点，CA 为x 轴，AB 为y 轴， AE 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有A （0，0，0），E （0，0，2），B （0，2，0）， D （－2，0，3），N （0，2，1），C （－2，0，0）. 设ND =（－2，－2，2），NE =（0，－2，1）， CB =（2，2，0）
，CN =（2，2，1）.
假设在BC 边上存在点G 满足题意，
(2,2,0),[0,1],
(2,2,1)(2,2,0)(22,22,1).
04410,,,
8820
03
[0,1].
4
CG CB GN CN CG GN NE GN NED GN ND λλλλλλλλλλλ==∈=-=-=--⎧⋅=-++=⎧⎪⊥∴⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩=∈设则平面即解之得
∴边BC 上存在点D ，满足CG=3
4
CB 时，GN ⊥平面NED.………………12分
19、本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）
（Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD ⊥A 1B 于D ，则
由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1
BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得
AD ⊥平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .
因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 则AA 1⊥底面ABC ， 所以AA 1⊥BC.
又AA 1AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .
（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角， 1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ
于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=
在Rt △ADB 中，sin ,AD
AB
ϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02
π
θϕ＜，＜，所以θϕ＜，
∥ =
解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1=a ,AC =b ,
AB =c ,则 B (0,0,0), A (0,c
,0), 1(0,,),C A c a 于是
221(,0,0),(0,,),BC b c BA c a =-= 221(,,0),(0,0,).AC b c c AA a =--=
设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则
由10,0,n
BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cy az +=⎧=
可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC =＞，与n 的夹角β为锐
角，则β与θ互为余角. sin cos n AC n AC b a θ-β==
11cos
BA BA BA BA
a
ϕ=
=
所以sin ϕ=
于是由c ＜b
即sin sin ,θϕ＜又0,2
π
θϕ＜，＜所以,θϕ＜
20、方法一：
（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，
所以AD EG
∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．
因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，
所以AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于
H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．
所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．
在Rt EFG △
中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==． 于是sin BH BE BEH =∠=
． 因为tan AB BH AHB =∠， 所以当AB 为
92
时，二面角A EF C --的大小为60
． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，
y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE
b CF
c ===，，，
则(000)C ，，，)A a ，，0)B ，
，0)E b ，，(00)F c ，，
． D
A
B
E
F
C
H G
（Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ． 因为CB ⊥平面DCF ，
所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）解：因为(30)EF c b =-
-，，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2EF =，从而
3
()02b c b -+-=⎧=，
， 解得34b c ==，．
所以0)E ，
，(040)F ，
，
． 设(1
)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，
解得n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，，
所以||1
|cos |2
||||4BA n n BA BA n a <>===，，
得到92
a =
． 所以当AB 为
9
2
时，二面角A EF C --的大小为60． 21：解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥，又由已知可得 PF A D '∥，PH AD '∥，PQ AB ∥， 所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥， 所以
PH ⊥平面PQEF ．
所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直． ·····················
4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
PF PH '==，，又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且PQ =1，所以截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是
)PQ '⨯= ·
·········································
·················· 8分 （III ）解：连结BC ′交EQ 于点M ． 因为PH AD '∥，PQ AB ∥，
所以平面ABC D ''和平面PQGH 互相平行，因此D E '与平面PQGH 所成角与D E '与平面ABC D ''所成角相等．
与（Ⅰ）同理可证EQ ⊥平面PQGH ，可知EM ⊥平面ABC D ''，因此EM 与D E '的比值就是所求的正弦值．
设AD '交PF 于点N ，连结EN ，由1FD b =-知
)22
D E ND b ''==
+-． 因为AD '⊥平面PQEF ，又已知D E '与平面PQEF 成45角， A B C
D
E F
P Q H A '
B '
C '
D '
G N M
所以D E ''=
，即)b ⎤-=⎥⎦
解得1
2
b =
，可知E 为BC 中点． 所以
32D E '==，
故D E '与平面PQCH
所成角的正弦值为EM D E =
'·········································· 12分 解法二：
以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D －xyz 由已知得1DF b =-，故 (100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，
(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
(010)(0)PQ PF b b ==--，，，，，， (101)PH b b =--，，，
(101)(101)AD A D ''=-=--，，，，，．
因为00AD PQ AD PF ''==，，所以AD '是平面PQEF
因为00A D PQ A D PH ''==，，所以A D '是平面PQGH 因为0AD A D ''=，所以A D AD ''⊥， 所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直． ··························································· 4分
（Ⅱ）证明：因为(010)EF =-，，，所以EF PQ EF PQ =∥，
，又PF PQ ⊥，所以PQEF 为矩形，同理PQGH 为矩形． 在所建立的坐标系中可求得2(1)PH b =-，2PF b =，
所以2PH PF +=
，又1PQ =，
所以截面PQEF 和截面PQGH ······································· 8分 （Ⅲ）解：由已知得D E '与AD '成45角，又(111)(101)D E b AD ''=--=-，，，，，可得
2
2D E AD D E AD ''
=
=
''
， 即
1=，解得12
b =
． 所以1112
D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，，，又(101)A D '=--，，，所以D E '与平面PQGH 所成角的正弦值为 |cos |6D E A D -''<>==
， ······························································ 12分
22、建立如示空间直角坐标系，则
)0,3,0(),1,0,3(11B A )1,3,0(),0,0,0(B C
7||),1,3,3(11=--=B A B A 2||),1,3,0(11==CB CB
7
77
22|
|||cos 111111=
=
⋅⋅<CB B A CB B A CB B A 异面直线A 1B 与CB 1
6（分） （Ⅱ）答：存在这样的点Q ，使得面QBC 与面A 1BC 成30°角． 解：∵是直三棱柱，又∠ACB=90°，∴BC ⊥CA 1，BC ⊥CC 1 ∴∠A 1CC 1是二面角A 1－BC －C 1所成的平面角
在Rt ΔA 1C 1C 中，∠A 1CC 1=60°……………………………8（分）
在A 1B 1边上取一点Q ，在平面A 1B 1C 1中作QP ∥B 1C 1，交A 1C 1于P ，连PC 过证P ．Q ．B ．C 共面
∴∠A 1CP 就是Q —BC —A 1的平面角为30°…………………10（分） ∵30°<60°，故有在点P ，在角A 1CC 1的平分线上 在Rt ΔPC 1C 中，可得3
31=
PC 又A 1B 1=6，由相似比可得，Q 在距点A 3
62处（或距B 1点36
处）……12（分）。