一个水池水位自动控制系统如图1-1所示试简述系统工作原...共72页

值范围。

01
-4
-53
-j2
j2
-图4-6 系统根轨迹图
)
15.0(1
25.0(++s s s K 4-7 系统结构图
0.5 60
90 -
-180
1K K =时，极坐标图在1ω与实轴交于1-，即图5-7中与负实轴相交于50-的点右移到
1-，则有
同理可得极坐标图在2ω与实轴交于－1的增益为252=K ，在3ω与实轴交于1-的
增益为4
310=K 。

如图5-8所示。

图5-8 例5-8K 变化时的极坐标图
现对各种情况分析闭环稳定性：
(1)4
10>K 时，2,2==Z N ，闭环系统不稳定，有两个s 右半平面的根； (2)4
1025<<K 时，0,0==Z N ，闭环系统稳定；
(3)2510<<K 时，2,2==Z N ，闭环系统不稳定，有两个s 右半平面的根； (4)100<<K 时，0,0==Z N ，闭环系统稳定。

综上所述，使得闭环系统稳定的K 值范围为100<<K 和4
1025<<K 。

【例5.9】 已知系统的开环传递函数为
当3.0=ω时，系统开环对数幅频渐近特性dB 10)3.0(=L ，试确定系统参数K 。

解 22(51)(61)(0.210)4()()(1)(1)(31)(41)44
K
s s s G s H s s s
s s s s +++=+++++ 系统交接频率T ω依次为5,2,1,3
1
,41,51,61。

根据对数幅频渐近特性的表达式，对于惯性环节 对于振荡环节 对于一阶微分环节 由于3.0=ω在交接频率
41和3
1
之间，故 根据已知条件
解得 456.0=K 【例5.10】 系统结构如图5-9所示，当输入
t t r ωsin 2)(=时，测得输出为)45sin(4)(o -=t t c ，
试确定参数,n ξω。

解 系统的闭环传递函数 图5-9 系统结构 系统幅频与相频特性为
由已知得 ))1(sin()1(2)45sin(4)(o
ϕ-=-=t A t t c
即)(t c 可写成1=ω时幅频和相频的综合表达式： 整理得 1.244,0.22n ωξ==
【例5.11】 控制系统如图5-10所示，010
()(0.11)G s s s =+，设参考输入信号)(1)(t t r =，
干扰信号)100sin(1.0)(t t n =。

要求系统的稳态误差不大于001.0，试确定K 值可调范围。

图5-10 控制系统结构图
解 在稳定性分析中，讨论稳态误差问题首先要考虑系统稳定性；当系统为二阶负反馈时，各结构参数大于零，即可保证系统稳定，故0>K 。

(8) 画出校正后系统的伯德图，验算系统的相角裕度。

由图6-20可见，校正后系统的相位裕度为︒≥50γ，增益裕度为dB lg 20∞=h ，均已满足系统设计要求。

基于上述分析，可知串联超前校正有如下特点：
这种校正主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后中频段幅值的斜率为-20dB/dec ，且有足够大的相位裕度。

超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。

由例6-1知，校正后系统的截止频率由未校正前的6.3增大到9。

这表明校正后，系统的频带变宽，瞬态响应速度变快；但系统抗高频噪声的能力变差。

对此，在校正装置设计时必须注意。

超前校正一般虽能较有效地改善动态性能，但未校正系统的相频特性在截止频率附近急剧下降时，若用单级超前校正网络去校正，收效不大。

因为校正后系统的截至频率向高频段移动。

在新的截止频率处，由于未校正系统的相角滞后量过大，因而用单级的超前校正网络难以获得较大的相位裕度。

图6-20 系统的伯特图
【例6-2】 控制系统如图6-21所示。

若要求校正后的静态速度误差系数等于1
30-s ，相位裕度不低于︒40，幅值裕度不小于10dB ，截止频率不小于2.3rad/s ，设计串联校正装置。

图6-21 控制系统方框图
解：(1) 首先确定开环增益K
(2) 未校正系统开环传递函数应取
画出未校正系统的对数幅频渐近特性曲线，如图6-22所示。

图6-22 例6-2未校正系统对数幅频渐近特性曲线
由图6-22得rad/s 12='c
ω，算出rad/s 12,rad/s 07.7180)(c ==→︒-=ωωωϕg g 说明未校正系统不稳定，且截止频率远大于要求值。

在这种情况下，采用串联超前校
正是无效的。

可以证明，当︒=''30γ，︒=︒+︒--︒=+-''=6.7720)6.27(30εγγϕm ，
1sin 84.731sin m
m
a ϕϕ+=
=-
而截止频率也向右移动。

考虑到本例题对系统截止频率值要求不大，故选用串联滞后校正，可以满足需要的性能指标。

(3) 求出未校正系统Bode 图上相角裕度为εγωγ+''='')(c
处的频率ω'' 在图6-22可查得 2.7rad/s c
ω''=时，︒=5.46)7.2(γ，可满足要求。

由于指标要求2.3rad/s c ω''≥，故c
ω''值可在2.3rad/s ~2.7rad/s 范围内任取。

考虑到
c ω''取值较大时，已校正系统响应速度较快；滞后网络时间常数T 值较小，
便于实现，故选取 2.7rad/s c
ω''=。

然后，在图6-22上查出dB 21)(='''c L ω，也可计算。

(4) 计算滞后网络参数，绘制校正后系统伯德图
0)(lg 20='''+c
L b ω b =0.09
c
bT
ω''=1.01
s b T c 1.411.01=''=ω bT =3.7s 则滞后网络的传递函数
图6-23为系统校正后的Bode 图。

图6-23 系统伯德图
(5) 验算指标(相位裕度和幅值裕度)
满足要求。

校正前的相位穿越频率 校正后的相位穿越频率 求幅值裕度
由上述例题可总结出串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点：
(1) 超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正，而滞后校正则是利用滞后网络的幅值在高频的衰减特性；
(2) 用频率法进行超前校正，旨在提高开环对数幅频渐近线在截止频率处的斜率(-40dB/dec 提高到-20dB/dec)和相位裕度，并增大系统的频带宽度。

频带变宽意味着校正后的系统响应变快，调整时间缩短；
(3) 对同一系统采用超前校正的频带宽度一般总大于滞后校正，因此，如果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应，则采用超前校正。

当噪声电平较高时，显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。

对于这种情况，宜对系统采用滞后校正；
(4) 超前校正需要增加一个附加的放大器，以补偿超前校正网络对系统增益的衰减； (5) 滞后校正虽然能改善系统的静态精度，但它促使系统的频带变窄，瞬态响应速度变慢。

如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应，又有高的静态精度，则应采用滞后-超前校正。

【例6-3】 未校正系统开环传递函数为
设计校正装置，使系统满足下列性能指标：在最大指令速度为s /180︒时，位置滞后误差不超过︒1；相位裕度为︒±︒345；幅值裕度不低于10dB ；过渡过程调节时间不超过3s 。

解：(1) 确定开环增益。

1
180-==s K K v 。

(2) 作未校正系统对数幅频特性渐近曲线，如图6-24所示。

由图得未校正系统截止
频率 s rad c
/6.12='ω dB j G dB h g o 30)(lg 20)(-=-=ω，表明未校正系统不稳定。

图6-24 未校正系统对数幅频特性渐近曲线
(3) 分析为何要采用滞后－超前校正？
A ．如果采用串联超前校正，要将未校正系统的相位裕度从︒→︒-4555，至少选用两级串联超前网络。

显然，校正后系统的截止频率将过大，可能超过25rad/s 。

利用
2sin 1
==
γ
r M ，05.3)1(5.2)1(5.122=-+-+=r r M M K ，s K t c s 38.0==ωπ，比要求的指标提高了近10倍。

还有几个原因：
伺服电机出现饱和，这是因为超前校正系统要求伺服机构输出的变化速率超过了伺服电机的最大输出转速之故。

s /180︒，s s rad /1432/18025/25︒=⨯=π，于是，0.38s 的调节时间将变得毫无意义；
系统带宽过大，造成输出噪声电平过高；
需要附加前置放大器，从而使系统结构复杂化。

B ．如果采用串联滞后校正，可以使系统的相角裕度提高到︒45左右，但是对于该例题要求的高性能系统，会产生严重的缺点。

滞后网络时间常数太大
1''=c ω，dB 1.45)(='''c
L ω，由0)(lg 20='''+c L b ω计算出200
1
=b ，
10
1'
'c bT ω=→T=2000s ，无法实现。

响应速度指标不满足。

由于滞后校正极大地减小了系统的截止频率，使得系统的
响应迟缓。

(4) 设计滞后－超前校正
上述分析表明，纯超前校正和纯滞后校正都不宜采用。

研究图6-25可以发现（步骤(3)的要求，即-20dB/dec 变为-40dB/dec 的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率b ω）
2=b ω。

05.3)1(5.2)1(5.122=-+-+=r r M M K ，
c s K t ωπ''=
,s
c t K π
ω='',s t s 3≤s rad c
/2.3≥''ω考虑到中频区斜率为-20dB/dec ，故''c ω应在6~2.3范围内选取。

由于''c ω-20dB/dec 的中频区应占据一定宽度，故选s rad c /5.3'
'=ω， 相应的dB T L c b c 34lg 20)('
'''=+'ωω（从图上得到，亦可计算）
由0lg 20)(lg 20'
'''=+'+-c b c T L a ωω→a =50，此时，滞后-超前校正网络的传递函
数可写为
(5) 根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的转折频率a ω；
(6) 验算精度指标。

滞后－超前校正系统对数频率特性如图6-25所示。

︒=''5.45γ，g 27dB K ''=，满足要求。

图6-25 滞后－超前校正例6-3系统对数频率特性
【例6-4】 已知某一单位反馈控制系统如图6-26所示。

设计一串联校正装置)(s G c ，使校正后的系统同时满足下列性能指标要求：跟踪输入2
2
1)(t t r =时的稳态误差为0.1；相位裕度为︒=45γ。

图6-26 单位反馈控制系统
解：由于II 型系统才能跟踪加速度信号，为此假设校正装置为PI 控制器，其传递函数为
)11()(s T K s G i p c +
=
校正后系统的开环传递函数为 根据稳态误差的要求 101
==
=ss
a e K K 所以PI 控制器传递函数为
【例6-5】 已知某一控制系统如图6-27所示，其中)(s G c 为PID 控制器，它的传递
函数为s K s
K K s G d i
p c ++
=)(，要求校正后系统的闭环极点为1010j ±-和-100，确定PID 控制器的参数d i p K K K 和,。

图6-27 例6-5图
解：希望的闭环特征多项式为 校正后系统的闭环传递函数为
1/0dx dt =，则必有0x =&。

所以这类系统的奇点总在x 轴上。

由于奇点满足0x =&，故/0dx dt x ==&&&。

因此如果系统有奇点，那么在方程(,)0x f x x +=&&&中令0x =&和0x =&&，就可
以直接计算出奇点的x 坐标。

本例中令方程220x x x ξωω++=&&&中0x =&，可得0x =。

所以
奇点为(0,0)。

（3）计算并分析奇点的性质有利于绘制相平面图。

本例中奇点即为原点。

再由
220x x x x x x ξωω++=++=&&&&&&就可以利用该微分方程的特征方程210λλ++=判定，原点是
稳定焦点。

例7-10 已知非线性系统结构图如图7-13所示
图7-13 系统结构图
初始条件为01e =，00e =&；试求系统在()1()r t t =作用下，在e e
-&平面的相轨迹。

解 由()()(1)
C s K Y s s Ts =
+ 可得
Tc c Ky +=&&& (7-15)
又由
()()()E s R s C s c r e =-→=- (7-16)
把式(7-16)代入式(7-15)，并整理有
Te e Ky Tr r
++=+&&&&&& (7-17) 由图7-13可得非线性部分微分方程为
1010e y e >⎧=⎨-<⎩
(7-18)
把式(7-18)代入式(7-17)并考虑()1()r t t =，则有
0000Te
e K K Te e K K ++=>⎧⎨
+-=<⎩
&&&&&& （0e =为开关线） (7-19) 由初始条件 01e =，00e =&
将de
e e
dt
=&&&&代入式(7-19)，有 00Te de de e K e
Te de de
e e K ⎧
=->⎪⎪+⎨
⎪=-<⎪-⎩
&&&&& 两端积分可得相轨迹方程为 可绘出e e -&平面上的相轨迹如图7-14所示
例8-1
设
t t t x sin sin )(1==ωt t t y 4sin sin )(2==ω，采样
图7-14 系统相轨迹图。