中考数学培优(含解析)之反比例函数附详细答案

中考数学培优(含解析)之反比例函数附详细答案
一、反比例函数
1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．
【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
将点A（﹣1，3）代入y= 中，
3= ，解得：k=﹣3，
∴反比例函数的表达式为y=﹣
（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，1）．
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B的坐标为（﹣3，1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．
设直线AD的函数表达式为y=mx+n，
将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，
，解得：，
∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．
当y=2x+5=0时，x=﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0）
（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =
【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．
2．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．
（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；
（2）若y= 的值不大于2，求符合条件的x的范围；
（3）若y= ，当a≤x≤2时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围；
（4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．
【答案】（1）解：y=2x+1中k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．
∵y= 中k=2＞0，
∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小= ．
∵y=2（x﹣1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=1时，y最小=1；当x=4时，y最大=19
（2）解：令y= ≤2，
解得：x＜0或x≥1．
∴符合条件的x的范围为x＜0或x≥1
（3）解：①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0
（4）解：①当m＜2时，有2（2﹣m）2+m﹣2=1，
解得：m1=1，m2= （舍去）；②当2≤m≤4时，有m﹣2=1，
解得：m3=3；③当m＞4时，有2（4﹣m）2+m﹣2=1，
整理得：2m2﹣15m+29=0．
∵△=（﹣15）2﹣4×2×29=﹣7，无解．
∴m的值为1或3．①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y= 无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无
最大值，∴当k＜0，a＜0时，此时，y= 既无最大值，又无最小值，综上所述，a的取值范围是a＜0；
【解析】【分析】（1）根据k=2＞0结合一次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，y=2x+1的最大值和最小值；根据二次函数的解析式结合二次函数的性质即可得出：当2≤x≤4时，
y=2（x﹣1）2+1的最大值和最小值；（2）令y= ≤2，解之即可得出x的取值范围；（3）①当k＞0时，如图得当0＜x≤2时，得到y= 无最大值，有最小值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，得到y≤ 有最大值，无最小值，②当k＜0时，如图得当0＜x≤2时，y=
无最小值，有最大值，同理当a＜0时，且a≤x＜0时，y≤ 有最小值，无最大值，于是得到结论；（4）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，
OE=2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．
∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．
∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，
∴S△DFO= ×|﹣6|=3．
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+ =4×3，
解得：n= ，
经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，
∴点D的坐标为（，﹣4）．
【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的
图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．
4．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.
【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）
∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

∴A（﹣1，﹣2）。

又∵点A在上，∴，解得k=2。

，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1。

（3）解：四边形OABC是菱形。

证明如下：
∵A（﹣1，﹣2），∴。

由题意知：CB∥OA且CB= ，∴CB=OA。

∴四边形OABC是平行四边形。

∵C（2，n）在上，∴。

∴C（2，1）。

∴。

∴OC=OA。

∴平行四边形OABC是菱形。

【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式。

（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA 且CB= ，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC
5．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）求m的值；
（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边
形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴经过点A的反比例函数解析式为：y= ，
而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），
∴m=
（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），
与x轴、y轴分别交于C、D两点，
而这些OA的解析式为y=x，
设直线CD的解析式为y=x+b
代入B的坐标得： =6+b，
∴b=﹣4.5，
∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，
∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），
设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
分别把A、B、D的坐标代入其中得：
解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5
∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5
（3）解：如图，
设E的横坐标为x，
∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，
∴S1= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×OC，
= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×4.5，
= （﹣0.5x2+4x）×4.5，
而S= （3+OD）×OC= （3+4.5）×4.5= ，
∴（﹣0.5x2+4x）×4.5= ，
解之得x=4± ，
∴这样的E点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+ ，0.5）．
【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函数图像上，代入即可求得m的值；（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S 的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐
标.
6．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接
AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= = = ．
思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设
α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =
= ．
思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四…
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：方法一：如图1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tan∠DAC=tan75°= = = = ；
方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = =
（2）解：如图2，
在Rt△ABC中，AB= = = ，sin∠BAC= ，即
∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ，∴DB=AB•tan∠DAB= •（）= ，∴DC=DB﹣BC= = ．
答：这座电视塔CD的高度为（）米
（3）解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C 作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．
解方程组：，得：或，∴点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）．对于，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1，∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，∴tan∠ACF= ，∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan
（45°+∠ACF）= = =3，即 =3．设点P的坐标为（a，b），则有：，
解得：或，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）；
②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．
由①可知∠ACP=45°，P（，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴．∵CH=3
﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1，∴，∴GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG的解析式为，则有：，解得：，∴直线CG的解析式为
．联立：，消去y，得：，整理得：，∵△= ，∴方程没有实数根，∴点P 不存在．
综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1，﹣4）或
（，3）．
【解析】【分析】tan∠DAC=tan75°，tan∠DAC用边的比值表示.在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB，由三角函数得出∠BAC=30°，从而得到∠DAB=75°，在Rt△ABD中，可求出DB，DC=DB﹣BC.分两种情况讨论，设点P的坐标为（a，b），根据tan∠PCE和P在图像上列出含有a，b的方程组，求出a，b.利用已知证明△GOC∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出G的坐标，设出直线CG的解析式，与反比例函数组成方程组消元，△<0 点P不存在.
7．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．
【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y= ；
把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1
（2）解：由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方
（3）解：存在点C．
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y= x，
可设直线C1C2的解析式为y= x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，
解得b'= ，
∴直线C1C2的解析式为y= x+ ，
解方程组，可得C2（）；
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y= x+ ，
把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，
解得 =﹣，
∴直线AC3的解析式为y= x﹣，
解方程组，可得C3（）；
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式
（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标
（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。

8．在平面直角坐标系中，我们定义点P（a，b）的“变换点”为Q．且规定：当a≥b时，Q 为（b，﹣a）；当a＜b时，Q为（a，﹣b）．
（1）点（2，1）的变换点坐标为________；
（2）若点A（a，﹣2）的变换点在函数y= 的图象上，求a的值；
（3）已知直线l与坐标轴交于（6，0），（0，3）两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M．判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范
围，请直接写出结论．
【答案】（1）（1，﹣2）
（2）解：当a≥﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（﹣2，﹣a），
代入y= 可得﹣a= ，解得a= ；
当a＜﹣2时，则A（a，﹣2）的变换点坐标为（a，2），
代入y= 可得2= ，解得a= ，不符合题意；
综上可知a的值为；
（3）解：设直线l的解析式为y=kx+b （k≠0 ），将点（6，0）、（0，3）代入y=kx+b 得：，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣ x+3．
当x=y时，x=﹣ x+3，解得x=2．
点C的坐标为（2，﹣2），点C的变换点的坐标为C′（ 2，﹣2 ），
点（6，0）的变换点的坐标为（0，﹣6），点（0，3）的变换点的坐标为（0，﹣3），
当x≥2时，所有变换点组成的图形是以C′（ 2，﹣2）为端点，过（0，﹣6 ）的一条射线；即：y=2x﹣6，其中x≥2，
当x＜2时，所有变换点组成的图形是以C′（2，﹣2）为端点，过（0，﹣3）的一条射线，
即y= x﹣3，其中，x＜2．
所以新的图形M是以C′（2，﹣2）为端点的两条射线组成的图形．
如图所示：
由和得：x2﹣x+c+3=0①和x2﹣2x+c+6=0②
讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得：
①当方程①无实数根时，即：当c＞﹣时，抛物线y=x2+c与图形M没有交点；
②当方程①有两个相等实数根时，即：当c=﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有一个交点；
③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当﹣5＜c＜﹣时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点；
④当方程②有两个相等实数根或y=x2+c恰好经过经过点C′时，即：当c=﹣5或c=﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有三个交点；
⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当﹣6＜c＜﹣5时，抛物线y=x2+c与图形M有四个交点；
⑥当c＜﹣6时，抛物线y=x2+c与图形M有两个交点．
【解析】【解答】解：（1）∵2≥﹣1，
∴点（2，1）的变换点坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
【分析】（1）由变换点的定义可求得答案；（2）由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；（3）先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x＜2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果
m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=
（m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，
（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________；
（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；
（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴
平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．
【答案】（1）y=
；y=
（2）解：如图1，
∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，
∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，
∴△AOB的面积为1
（3）解：解法一：如图2，
依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴CM= ，CN= ．
∴MN= ﹣ = ．
同理PM=m﹣ = ．
∴S△PMN= M N•PM=
∵1≤S△PMN≤2，
∴1≤ ≤2．
∴4≤k≤8，
解法二：如图3，
依题意可知双曲线的“半双曲线”为，
设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．
连接OM，
∵，
∴△PMN∽△OCM．
∴．
∵S△OCM=k，
∴S△PMN= ．
∵1≤S△PMN≤2，
∴1≤ ≤2．
∴4≤k≤8．
【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义
∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；
双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．
故答案为y= ，y= ；
【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．
10．如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣2，0），点B（0，2 ）.
（1）直接写求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2， S1与S2有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断.
【答案】（1）解：∵A（−2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°
（2）解：S1＝S2；
理由：∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴OA'＝OA＝ AB，△AOA'是等边三角形，
∴OA'＝AA'＝AO＝A'B，
∵∠B'A'O＝60°，∠A'OA＝60°，
∴B'A'∥AO，
根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，即△AB′O中AO边上高和△BA′O中BA′边上的高相等，
∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2
（3）证明：S1＝S2不发生变化；
理由：如图，过点A'作A'M⊥OB.过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，
∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，
∴BO＝OB'，AO＝OA'，
∵∠AON＋∠BON＝90°，∠A'OM＋∠BON＝90°，
∴∠AON＝∠A'OM，
在△AON和△A'OM中，，
∴△AON≌△A'OM（AAS），
∴AN＝A'M，
∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1＝S2.
【解析】【分析】（1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据旋转的性质和直角三角形的性质可证得OA'＝AA'＝AO＝A'B，然后根据等边△AOA'的边AO、AA'上的高相等，即可得到S1＝S2；（3）根据旋转的性质可得BO＝OB'，AA'＝OA'，再求出∠AON＝∠A'OM，然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN＝A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明.
11．如图，正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合)，
与交于，延长线与交于点，连接 .
（1）求证： .
（2）求证：
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：∵是正方形，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵是正方形，
∴，，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：由(1)得，，，
∴，
由(2) ，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴
【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已
知条件得到，由（2）可得，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．
12．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别
在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
【答案】（1）解：∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；
（2）解：点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为，∴，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，将
n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为．
（3）解：①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，
∴MN= = ，∴抛物线需要向下平移的距离= = ．
②如图，
当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′= = ，∴A′F=4﹣，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+
（3﹣c）2=c2，∴c= ，∴P（4，），∴直线OP解析式为y=
x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣ = ．
综上所述：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．
【解析】【分析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．。