数学物理方法 第五章 傅里叶变换

将上式改写成

f (x) 0 C() cos[x ()]d
其中
1
C() [ A()]2 [B()]2 2
称为f (x)的振幅谱
() arctan[B() / A()] 称为f (x)的相位谱
与傅里叶级数的情形类似，奇函数f (x)的傅里叶积分
是傅里叶正弦积分。
A

2N
0 0
[cos( 0 )t cos( 0 )t]dt
N 2


A


sin( 0 0
)t

sin( 0 )t 0

0 0
A sin( N 2 )[ 1 1 ]
0
0 0
解：f (t)是偶函数，可按余弦展开。

f (t) 0 A() costd
其中：
A() 2

f ( ) cos d
0

2

T
0
h cos d

2h


sin T
例2 由2N个（N是正整数）正弦波组成的有限正弦波列：
f
(t
)


A
sin
0t


l
cos
l
k x
l
cos n x
l
dx
0
(k n)


l
sin
l
k x sin
l
n x
l
dx

0
(k n)


l
cos
l
k x sin
l
n x
l
dx

0
(5.1.4)
展开系数求解，可利用三角函数族的正交性求出。 得：
ak


1
kl
l f ( ) cos k d
然后再对g ( x)作傅里叶级数展开，其级数和在区间(0, l ) 上代表f (x).
由于f (x)在(0,l)以外无定义，因此，可以有无数种延拓方式。 从而有无数种展开式，且它们在(0,l)上均代表f (x)。有时，对函 数f (x)在边界上行为提出限制（即满足一定的边界条件），这常 常决定了采用何种延拓。
2
h T eitdt h sin T
2 T

（三）傅里叶变换的基本性质
设F[ f (x)] F ()
(1)导数定理
F[f (x)] iF ()
(2)积分定理
(5.2.19)
F[
(x)
f ( )d ]
1
F ()
i
(5.2.20)
这两条定理很重要，它们将求导、积分运算变为代数运算。
0
( t 2N ) 0
( t 2N ) 0
试将它展开为傅里叶积分。
解：由图可知，f (t)是一个奇函数，于是有：

f (t) 0 B() sin td
其傅里叶变换为：
B() 2

f (t) sin tdt 2A
0

2N
0 0
sin 0t sin tdt
02
0 1 [ A( ) iB( )]eixd
- 2 合并为：
f (x) F ()eixd
(5.2.14)
f (x) F ()eixd
(5.2.14)
可以证明，该式进一步变为：
F
()


1 2 1 2
[ [
（四）复数形式的傅叶级数
选择一系列的复指数函数
…，ei
k l
x
,…，ei
2 l
x，ei
lx，1,ei
lx，ei
2 l
x
，…
作为基本函数族，可将周期函数f(x)展开为复数形式
的傅里叶级数。

i k x
f (x) cke l
(5.1.13)
k
利用复指数函数的正交性，其展开系数为
k
k 1


l
式(5.2.1)变为：

g(x) a0 (ak cosk x bk sin k x) k 1
傅里叶系数为：
(5.2.2)
ak


1
kl
l
l f ( ) cosk d
bk
1 l
l l
f ( ) sin kd
(5.2.3)
l
l
bk
1 l
l l
f ( ) sin k
l
d
其中：
(5.1.5)
k

2 1
(k 0) (k 0)
由于函数族是完备的，傅里叶级数平均收敛于f (x)。
狄里希利定理 若函数f (x)满足条件：(1)处处连续，或在每个 周期中只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期中只有 有限个极值点，则级数（5.1.3）收敛，且
A() 2

f ( ) cos d
0
(5.2.8) (5.2.9)
其对称形式的正弦傅里叶变换对：

f (x)
2

B() sin xd
0

B()
2

f ( ) sin d
0
其对称形式的余弦傅里叶变换对：
(5.2.10) (5.2.11)
A() iB()] A( ) iB( )]
由：
( 0) ( 0)
A（）＝ 1

f (x) cosxdx

B() 1

f (x) sin xdx

进一步化简为：
F () 1
2

f
(x) eix *
dx
(5.2.15)
ck

1 2l
l
i k *
l
f
( ) e

l

d
对于实函数f (x)，有ck ck*
(5.1.16) (5.1.17)
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
本节所研究的是将非周期函数作傅里叶展开、傅里叶
变换及其有关性能。
（一）实数形式的傅里叶变换
设f (x)这定义在区间 x 上的函数。我们试将f (x)
f (x)
（在连续点x)
级数和＝ 1 2
[
f
(x

0)

f
(x

0)]
(在间断点x)
(5.1.7)
（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f (x)是奇函数，则由傅里叶的计算公式(5.1.5)
可见，a0及诸ak均等于零，展开式(5.1.3)变为
f
(x)


bk
k 1
sin
k
l
作为基本函数族， 将f (x)展开为级数
f
(x)

a0

k 1
(ak
cos
k l
x

bk
sin
k l
x
)
(5.1.3)
函数族是正交的，任意两个函数的乘积在一个周期里的
积分等于零。 即：


l
k x
1 cos
l
l
dx
0


l
1 sin
l
k x
l
dx
0
(k 0)
l
x
(5.1.8)
由于奇函数对称性，其展开系数可写为：
bk

2 l
l f ( ) sin k d
0
l
(5.1.9)
其中正弦级数的和在x 0和x l处为零。
若周期函数f (x)是偶函数，则式(5.1.5)中所有bk均为零， 展开式(5.1.3)变为
f
(x)

a0
kLeabharlann 1 f(x)

lim
l
g(x)

lim
l
a0

lim
l
k 1
(ak
cos k
x

bk
sin
k
x)
其中lim l
a0＝llim
1 2l
l f ( )d＝0
l
lim
l
k 1
ak
cos k
x＝lim l

[
k 1
1 l
l l
f ( ) cosk d ]cosk x
看成是某个周期函数g(x)在周期2l 时的极限情形。对于g(x), 可以用上节内容，展开为：
g(x)

a0

k 1
(ak
cos
k
l
x

bk
sin
k
l
x
)
(5.2.1)
我们研究l 时的极限形式的非周期函数f (x)的傅里叶 级数展开。
引入参数k

k
l
, (k

0,1, 2,…)。k

f (x) 0 B() sin xd
(5.2.6)
B()是f (x)的傅里叶正弦变换，
B() 2

f ( ) sin d
0
式(5.2.6)满足f (0) 0。
(5.2.7)
同样偶函数f (x)的傅里叶积分与傅里叶变换为

f (x) 0 A() cosxd
＝lim [ 1
l k 1
l
l f ( ) cosk d ]cosk x k

1 [

f ( ) cosd ]cosxd
0

同样有：lim l
k 1
bk
sin k
x＝
[ 1
0

f ( ) sin d ]sin xd

f (x)
2

A() cosxd
0



A()

2

f ( ) cos d
0
(5.2.12) (5.2.13)
例1 矩形函数rectx指的是
rectx

1
0
( x 1) 2
( x 1) 2
试将矩形脉冲f (t) rect(t / 2T（) 图5 1）展为傅里叶积分
得：
f (x) 1 [ A() iB()]eixd
02
1 [ A() iB()]eixd
02
f (x) 1 [ A() iB()]eixd
02
1 [ A() iB()]eixd
02 进一步变形得：
f (x) 1 [ A() iB()]eixd
傅里叶积分定理： 若函数f (x)在区间(, )上满足条件：（1）f (x)在任一有 限区间上满足狄里希利条件；（2）f (x)在区间(, )上绝对可 积（即收敛），则f (x)可表示成傅里叶积分，且 傅里叶积分值＝1 [ f (x 0) f (x 0)]
2


f (x) 0 A() cosxd 0 B()sin xd
f (x) F ()eixd
(5.2.14)
F() 1
2

f
(x) eix *
dx
(5.2.15)
将上面二式写成对称形式
f (x) 1 F ()eixd
2
F()
1
2

f
(x) eix *
dx
并用符号简写为：
第五章 傅利叶变换
5.1 傅里叶级数
（一） 周期函数的傅里叶展开
若函数f (x)以2l为周期， 即
f (x 2l) f (x) 则可取三角函数族
1, cos x , cos 2 x ,…，cos k x ，…
l
l
l
sin x ,sin 2 x ,…，sin k x ，…
l
l
(5.2.16) (5.2.17)
F () F[ f (x)] f (x) F 1[F ()] (5.2.18) f (x)和F ()分另称为傅里叶变换的原函数和像函数。
例3 试将矩形脉冲f (t) rect(t / 2T )）展为复数傅里叶积分 解：
F[hrect(t / 2T )] 1 hrect(t / 2T )eitdt


2 A0 ( 2 02 )

sin(
0
N 2
)
（二）复数形式的傅里叶积分
由欧拉公式
cos x 1 (eix eix )
2 代入下式
sin x 1 (eix eix )
2i


f (x) 0 A() cosxd 0 B() sin xd


由
f
(x)

lim
l
g(x)

lim
l
a0

lim
l
k 1
(ak
cos k
x

bk
sin
k
x)
有
f (x)
1 [

f ( ) cosd ]cosxd
1 [

f ( ) sin d ]sin xd
0

0

写成形式：
ak
cos
k
l
x
其展开系数也可写成
(5.1.10)
ak

2
kl
l f ( ) cos k d
0
l
(5.1.11)
注意到，余弦级数的和的导数在x 0及x l处为零。
（三）定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 对于只在有限区间，例如在(0,l)上有定义的函数f (x)，
或以采用延拓的方法，使其成为某种周期函数g ( x)，而在 (0,l)上有g(x) f (x)。


f (x) 0 A() cosxd 0 B() sin xd
其中
(5.2.4)


A()

1


f ( ) cosd


B()

1

f ( ) sin d


(5.2.5)
式5.2.4称为f(x)傅里叶积分；式5.2.5称为f(x)傅里叶变换式