二倍角的正弦、余弦、正切公式第一课时练习与答案-数学高一必修4第三章 三角恒等变换 3.1.3人教A版

第三章 三角恒等变换
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
测试题
知识点一： 应用二倍角公式化简求值 1.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α
＝( ) A.tan 2α B.tan α C.1 D.1
2
2.(2014·珠海高一检测)已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )
A.724
B.－724
C.247
D.－24
7
3.(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，是cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝( )
A.16
B.1
3 C.12 D.23
5.(2014·长沙高一检测)已知顶点在坐标原点，终边在第三象限的角α满足1＋cos 2α1＋sin 2α＝1
2
，
则tan α＝( )
A.1或－3
B.1
C.－1或3
D.3
5.已知sin(π4－x )＝3
5，则sin 2x 的值等于________.
6.(2014·福建师大附中高一检测)若sin 2α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，π2，则cos α－sin α＝________.
7.已知tan(α＋π
4)＝2，求cos 2α＋3sin 2α＋tan 2α的值. 知识点二：二倍角公式的综合应用
8.(2014·潍坊高一检测)函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A.－3,1 B.－2,2 C.－3，32 D.－2，32 9.若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( )
A.3－cos 2x
B.3－sin 2x
C.3＋cos 2x
D.3＋sin 2x
10.函数f (x )＝sin(2x －π
4)－22·sin 2x 的最小正周期是________. 11.已知α∈(0，π2)，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，求tan(π
3－α)的值.
12.(1)求函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x
2，x ∈R 的值域；
(2)已知tan α＝3，α∈(π4，π
2)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.
13.(2014·北大附中高一检测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋1
2cos x
.
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)若f (α＋π4)＝32
5，求cos α的值.
14.(2013·安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上的单调性.
【参考答案】
1.【解析】原式＝2sin 2α
2cos2α·
cos2α
cos 2α＝tan 2α.
【答案】 A
2.【解析】cos x＝4
5，x∈⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
π
2，0，得sin x＝－
3
5，所以tan x＝－
3
4，所以tan 2x＝
2tan x
1－tan2x
＝2×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
3
4
1－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
3
4
2
＝－
24
7，故选D.
【答案】 D
3.【解析】∵sin 2α＝
2
3，∴cos
2
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
4＝
1＋cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2α＋
π
2
2＝
1－sin 2α
2＝
1－
2
3
2＝
1
6.
【答案】 A
4.【解析】由
1＋cos 2α
1＋sin 2α
＝
2cos2α
cos2α＋2sin αcos α＋sin2α
＝
2
1＋2tan α＋tan2α
＝
1
2，可得tan
2α＋
2tan α－3＝0，解得tan α＝1或tan α＝－3，因为角α的终边在第三象限，所以tan α＝1，故选B.
【答案】 B
5.【解析】法一∵sin(π
4－x)＝
3
5，∴cos(
π
2－2x)＝1－2sin
2(
π
4－x)＝1－2×(
3
5)
2＝
7
25，
∴sin 2x＝cos(π
2－2x)＝
7
25.
法二由sin(π
4－x)＝
3
5，得
2
2(sin x－cos x)＝－
3
5，
∴sin x－cos x＝－32
5，两边平方得
1－sin 2x＝18
25，∴sin 2x＝
7
25.
【答案】7 25
6.【解析】因为sin 2α＝1
4，所以(cos α－sin α)
2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－sin 2α
＝1－1
4＝
3
4，又因为α∈⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
4，
π
2，所以sin α＞cos α，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)
2＝－
3
2.
【答案】－
3 2
7.【解】∵tan(α＋π
4)＝
tan α＋1
1－tan α
＝2，∴tan α＝
1
3.
∴cos 2α＋3sin2α＋tan 2α＝cos2α－sin2α＋3sin2α＋tan 2α
＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＋tan 2α＝1＋2tan 2α1＋tan 2α＋2tan α1－tan 2α
＝1＋2
91＋19
＋
23
1－19
＝3720.
8.【解析】 ∵f (x )＝1－2sin 2
x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32
. ∴当sin x ＝12时，f (x )max ＝3
2，当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－3，故选C. 【答案】 C
9.【解】 f (sin x )＝3－cos 2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2sin 2x ＋2.
所以f (x )＝2x 2＋2，因此f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝(2cos 2x －1)＋3＝3＋cos 2x ，故应选C. 10.【解析】 f (x )＝sin(2x －π
4)－22sin 2x
＝22sin 2x －2
2cos 2x －22×1－cos 2x 2
＝22sin 2x ＋2
2cos 2x － 2
＝sin(2x ＋π
4)－2，
故该函数的最小周期为2π
2＝π. 【答案】 π
11.【解析】∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0， ∴tan 2α－tan α－2＝0. ∴tan α＝2或tan α＝－1. ∵α∈(0，π
2)，∴tan α＝2. ∴tan(π
3－α)＝
tan π
3－tan α
1＋tan π
3tan α
＝
3－21＋23
＝8－5311＝12tan α＋1
2成立. 12.【解】 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝1
2cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π
6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2].
(2)∵α∈(π4，π
2)，tan α＝3，∴sin α＝31010，cos α＝1010.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×31010×1010＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×110－1＝－45，
∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3
4.
13.【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π
2＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ≠
π2＋k π，k ∈Z .
(2)f (x )＝
sin 2x ＋cos 2x ＋1
2cos x
＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＋12cos x
＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π2＝325， 所以cos α＝sin(α＋π2)＝35.
14.【解】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π4
＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx
＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.
因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π
2ω＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π
4)＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π
4
.
当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增；
当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π
2
时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦
⎤π8，π
2上单调递减.。