2006年高考江西卷理科数学试题及参考答案

绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分.
第I 卷
考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I 卷每上题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答. 若在试题卷上作答，答案无效.
3．考试结束，监考号将试题卷、答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么
球的表面积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ） S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）· P （B ）
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 3
3
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
k
n k k n n P P C k P --=)
1()( 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的. 1．已知集合13|{},0)
1(|{2
3
+==≥-=x y y N x x x M ，R
x ∈}，则N M 等于
A ．
B ．}1|{≥x x
C ．}1|{>x x
D ．}01|{<≥x x x 或 2．已知复数z 满足(i 33
+)z =3i ，则z 等于
A ．
i 2323-
B ．i 4343
-
C ．i
2
32
3+
D ．i 4
34
3
+
3．若0>a ，0>b ，则不等式a
x
b <<
-1等价于
A ．a
x x b
1001<
<<<-
或 B ．b
x a 11<
<-
C ．b
x a
x 11>
-
<或
D ．a
x b
x 11>-
<或
4．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42
=的焦点，A 为抛物线上一点，若4-=⋅AF OA ,则点A 的坐标为
A ．（2，22±）
B ．（1，±2）
C ．（1，2）
D ．（2，22）
5．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A ．f (0)+f (2)<2f (1) B ．f (0)+f (2)≤2f (1)
C ．f (0)+f (2)≥2f (1)
D ．f (0)+f (2)>2f (1)
6．若不等式012≥++ax x 对一切0(∈x ，]2
1成立，则a 的最小值为
A ．0
B ．－2
C ．2
5-
D ．－3
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若1a OB = ,OC 200a OA =且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于
A ．100
B ．101
C ．200
D ．201 8．在2006
)
2(-x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当2=
x 时，S 等于
A ．23008
B ．－23008
C ．23009
D ．－23009
9．P 为双曲线
116
9
2
2
=-
y
x
的右支上一点，M 、N 分别是圆（x +5）2
+y 2
=4和(x －5)2
+y 2
=1上
的点，则| PM | － | PN |的最大值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
10．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为a ，甲、乙分
在同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为
A ．a =105，21
5=
p B ．a =105，21
4=p C ．a =210，21
5=p D ．a =210，21
4=p
11．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球 （与四个面都相切的球）球心O ， 且与BC 、DC 分别截于 E 、F. 如果截面将四面体分为体积相等的两部分， 设四棱 锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别为S 1、S 2，则 必有 A ．S 1<S 2 B ．S 1>S 2
C ．S 1=S 2
D ．S 1、S 2的大小关系不能确定 12．某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之 间的关系如图（1）所示， 已知该年的平均气温为 10℃，令C （t ）表示时段[0,t]的平均气温，C(t)与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是
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理科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答. 若在试题卷上作答，答案无效.
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答题卡上. 13．数列}1
41{
2
-n 的前n 项和为S n ，则n n S ∞→lim = .
14．设3log )(=x f （x +6）的反函数为)(1
x f -，若27]6)([]6)([1
1
=+⋅+--n f
m f
，
则f （m +n ）= .
15．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面为直角三角
形，∠ACB =90°，AC =6，BC =CC 1=2. P 是BC 1上 一动点，则CP +PA 1的最小值为 .
16．已知圆1)sin ()cos (:2
2
=-++θθy x M ，直线kx y l
=:，
下面四个命题
（A ）对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 相切； （B ）对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；
（C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切； （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切.
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）.
三．解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知函数132
)(23=-=+++=x x c bx ax x x f 与在时都取得极值.
（1）求a 、b 的值及函数)(x f 的单调区间；
（2）若对1[-∈x ，2]，不等式)(x f <c 2恒成立，求c 的取值范围. 18．（本小题满分12分）
某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机 地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖 金50元. 现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次. 令ξ表示甲、乙两人摸球后获得 的奖金总额，求 （1）ξ的分布列； （2）ξ的数学期望
.
19．（本小题满分12分）
如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G 。

设∠MGA=).323(
παπ
α≤
≤
（1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为
S 1与S 2）表示为α的函数；
（2）求2
2
2
1
11S S y +
=
的最大值与最小值.
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD =3，BD =CD =1。

另一个侧面ABC 是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；
（2）求二面角B —AC —D 的大小；
（3）在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD
成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由.
21．（本小题满分12分） 如图,椭圆Q ：
)0( 12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的右焦点为F （c,0）
，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点. （1）求点P 的轨迹H 的方程；
（2）若在Q 的方程中，令θθsin cos 12++=a ， ).2
0(sin 2
π
θθ≤
<=b 确定θ的值，使原点
距椭圆Q 的右准线l 最远. 此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么 位置时，三角形ABD 的面积最大？
22．（本小题满分14分）
已知数列}{n a 满足：*).
,2( 1
23 ,2
3111
N n n n a na a a n n n ∈≥-+=
=--且
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n ，不等式!221n a a a n ⋅<⋅⋅⋅ 恒成立
.
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D 10．A 11．C 12．A 二、填空题 13．
2
1 14．
2 15．152 16．B 、D
三、解答题 17．解：
（1）,23,)(2
23b ax x x f c bx ax x x f +++'+++=
:
)(),1)(23(23)(,
2,2
1,023)1(,03
49
12)3
2(2
的单调区间如下表
函数得
由x f x x x x x f b a b a f b a f -+=--='-=-
==++='=+-
=
-
'
所以函数)(x f 的递增区间为),1()3
2,(+∞--∞与；
递减区间为)1,3
2(-
. （2）c x f x x c
x x x x f +=
-
=-∈+--=27
22)(,3
2],2,1[22
1)(2
3
时当为极大值，
.
21,2)2(,]2,1[()(.
2)2(,2)2(2
2>-<+=>-∈<+=+=c c c f c c c x f c f c f 或解得只须恒成立要使为最大值则而
18．解：
（1）ξ的所有可能的取值为0，10，20，50，60.
;10000110
1)60(;
1000910110
9)50(;
1000181018
101)20(;
1000
2431018109)109(101)10(;1000729)109()0(3
2
2
2
2
3
=
=
==⨯
===⨯===
⨯
+⨯=
====ξξξξξP P P P P
（2）)(3.31000
1601000
9501000
18201000
243101000
7290元=⨯
+⨯+⨯+⨯
+⨯
=ξE
19．解：
（1）因为G 为边长为1的正三角形ABCD 的中心，
).
)
cot 3(61()
6
sin(12sin )
sin(2
1,)6
sin(63,)
6
sin(6sin
).
cot 3(61()
6
sin(12sin sin 2
1)
6
sin(63
,)
6
sin(6sin
.
6,3
3233221απαα
αππαπαππαααπαπαπππ-=-
-⋅⋅=
-=-
=
+=+
=
⋅⋅=
+
=
-
-=
=∠=⨯
=或则得又
或则得由正弦定理
所以GA GN S GN GA GN a
GA GM S GM GA GM MAG AG
（2）)cot 3(72)]6
(sin )6
([sin sin 14411
2
2
2
2
22
21
απ
απ
αα
+=-
++
=
+=
S
S
y
.
216,2
;
240,3
23
,3
23
min max ==
==
=
≤
≤y y y y 的最小值时当的最大值时或所以当因为
π
απαπ
απαπ
20．解法一：
（1）方法一：作AH ⊥面BCD 于H 连DH.
AB ⊥BD ⇒HB ⊥BD ，∵AD =3，BD =1 ∴AB =2=BC =AC ∴BD ⊥DC 又BD =CD ，则BHCD 是正方形， 则DH ⊥BC. ∴AD ⊥BC ，
方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO ， 则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC .
∴BC ⊥面AOD ，∴BC ⊥AD
（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC 交AD 于N ， 则∠BMN 就是二面角B —AC —D 的平面角.
∵AB =AC =BC =2，∴M 是AC 的中点，且MN //CD .
则BM =.2
32
1,2
12
1,2
6====AD BN CD MN
由余弦定理得arccos
,3
62cos 2
2
2
=∠∴=
⋅-+=
∠BMN MN
BM BN
MN
BM
BMN 3
6.
（3）设E 为所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD ，则EF//AH ， ∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角，则∠EDF =30°， 设EF =x ，易得AH =HC =1，则CF =x ，FD =2
1x +. ,12,2
2,3
31tan 2
===
=
+=
=
∠∴x CE x x
x FD
EF EDF 则解得
故线段AC 上存在E 点，且CE =1时，ED 与面BCD 成30°角. 解法二：
（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH =1， 以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图， 则B （1，0，0），C （0，1，0），A （1，1，1）.
.
,0),1,1,1(),0,1,1(AD BC DA BC DA BC ⊥=⋅∴=-=则
（2）设平面ABC 的法向量为1n =),,(z y x ，
).
1,1,1(.0;0:11111-==+=⊥⊥=+-=⋅⊥n z x CA n CA n y x BC n BC n 可取知同理由知则由 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(2-=n . 由图可以看出，二面角B —AC —D 的大小应等于><21,n n
cos 则><21,n n =
3
6231012121=
⋅
++=
⋅n n ，即所求二面角的大小是.3
6arccos
（3）设E （x ，y ，z ）是线段AC 上一点，则,1,0=>=y z x 平面BCD 的一个法向量为),,1,(),1,0,0(x x DE n ==
要使ED 与面BCD 成30°角，由图可知n DE 与的夹角为60°，
.
30,1,.
12,2
2,,212.
2
160
cos 21,cos 2
2
角成与面时且点上存在故线段则解得则所以
BCD ED CE E AC x CE x x x x
x n DE ====
+=
=
=+=>=
<
21．解：如图， （1）设椭圆),(1:
112
22
2y x A b
y a
x Q 上的点=+
、),(22y x B ，又设P 点坐标为),(y x P ，则
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2
22222
2222212212b a y a x b b
a y a x
b 1°当AB 不垂直x 轴时，21x x ≠，
由①—②得
)
(.0,,
02)(2)(22
2
2
2
2
2
2
121212212
*=-+∴-=
-
=--∴
=-+- cx b y a x b c
x y y
a x
b x x y y y y y a x x x b 2°当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*） 故所求点P 的轨迹H 的方程为：02
2
2
2
2
=-+cx b y a x b
…………① …………②
（2）因为，椭圆Q 右准线l 方程是c
a
x 2
=
原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为
,2
c
a
,
1||),0,2(,1,1,2.
,2
,,2
).
4
2
(
2cos 1cos sin 1).
2
0(sin ,sin cos 1,2
2
2
2
2
222
=====
=+
=+++=
≤
<=++=-=DF D c b
a
l Q in c
a
b
a
b a
c 此时最远的右准线原点距椭圆时所以当上式达到最大值时当则由于πθπθπθθ
θ
θπθθθθ
),(11
2
:
112
2
y x A y
x
Q 上的点设椭圆=+
、),,(22y x B
.
0,1,2484,11,
)
2()
1(84)()(4,21,22.012)2(,11
2
,1.||2
1||2
1||2
12
2
2
2
2212
212
212
2
212
212
22
2
2121取等号当得令由韦达定理得得中代入的方程为设直线面积===≤
≥+=++=
-+=-=+-
=+-
=+=-++=+
+=-=+=
∆k t t
t S
k t k
k y y y y y y S
k
y y k
k y y ky y k y
x
ky x m y y y y S ABD
因此，当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大. 22．解：
（1）将条件变为：,}1{,),11(3111
为一个等比数列
因此n
n n
a n a n a n -
--
=-
-
其首项为,3
11,3
1,3
1111
n
n
a n a =
-
=
-
从而公比为
据此得).1(1
33
≥-⋅=
n n a n
n
n …………①
（2）证：据①得，)
3
11()3
11)(311(!
2
21n
n n a a a -
-
-
=
为证,!221n a a a n ⋅<
只要证2
11)3
11()3
11)(311(2
-
>-
-
-
∈*n
N n 时有…………②
显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个*∈N n ，
).3
13
13
1(
1)3
11()3
11)(311(2
2
n
n
+
++
-≥-
-
-
…………③
用数学归纳法证明③式； 1°n=1时，显然③式成立， 2°设n=k 时，③式成立， ).
3
13
1
3
1
31(
1)
3
13
1
3
1(
3
13
1)31
3131(1)3
11)](313
131(1[)3
11)(311()311)(311(,1),
3
13
13
1(
1)3
11()3
11)(311(1
2
2
1
1
21
2
12
2
++++++
+
++-≥+
+++
-+++-=-
+
++-≥-
---
+=+
++
-≥-
-
-
k k
k
k k k k k
k k
k
k
n
k n 时则当即
时即当1+=k n ③式也成立.
故对一切*∈N n ，③式都成立. 利用③得，)3
13
13
1(
1)3
11()3
11)(311(2
2
n
n
+
++
-≥-
-
-
.2
1)31(2121])31(1[21
1311])31(1[31
1>+=--
=-
--
=n n n
故②式成立，从而结论得证.。