港闸区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

港闸区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）
A ．y=1
B ．y=
C ．x=1
D ．x=
2． 如图甲所示， 三棱锥 的高 ，分别在P ABC -8,3,30PO AC BC ACB ===∠=
,M N BC
和上，且，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与PO (),203CM x PN x x ==∈
（，N AMC -y 的变化关系，其中正确的是（
）
A ．
B ． C. D ．1111]
3． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知三个社区分别有低收入家C B A ,,庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从社C 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．4． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ）
A ．4
B ．﹣4
C ．0
D ．2
5． 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点， 111ABC A B C -1A ABC BC 则异面直线与所成的角的余弦值为（
）
AB 1CC
A B D ．
34
6． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为
（
）
A
．(1,1+
B
．(1)++∞
C. (1,3)
D ．(3,)
+∞7． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（
）
A ．4320
B ．2400
C ．2160
D ．1320
8． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（
）
A. B ．483C.D ．16320
3
9． 对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,
则当
时,等于 ( )
A1B-1C0D
10．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3
11．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数
()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ）A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016
1111]
12．已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）{}n a n S d 201717
100201717
S S -=d A ．
B ．
C ．
D ．1
20
1
10
1020
二、填空题
13．在中，有等式：①；②；③；④
ABC ∆sin sin a A b B =sin sin a B b A =cos cos a B b A =.其中恒成立的等式序号为_________.sin sin sin a b c
A B C
+=+14．已知过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，连结，若
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2F ,A B 11,AF BF ，且，则双曲线的离心率为（ ）
1||||AB BF =190ABF ∠=︒
A ．
B
C ．
D 5-6-
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
15．已知、、分别是三内角的对应的三边，若，则
a b c ABC ∆A B C 、、C a A c cos sin -=
的取值范围是___________．3cos(4
A B π
-+
【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、
转化思想．
16．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=，若函数y=f （f ()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<（x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
三、解答题
17．
已知椭圆的离心率
，且点
在椭圆
上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆
交于
、
两点，且线段
的垂直平分线经过点
．求
（
为坐标原点)
面积的最大值．
18．（本小题满分12分）设f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x （a ≠0）．（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）是否存在a ＞0，使f （x ）∈[e －1，e 2]对于x ∈[1，e]时恒成立，若存在求出a 的值，若不存在说明理由．
19．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1 中，AA 1=AB=AC=1，E ，F 分别是CC 1、BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．（1）证明：DF ⊥AE ；
（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D 的位置，
若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设分别表示甲，乙，丙3个,,x y z 盒中的球数.
（1）求，，的概率；
0x =1y =2z =（2）记，求随机变量的概率分布列和数学期望.
x y ξ=+ξ【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
21．（本小题满分12分）
已知函数.2
1()(3)ln 2
f x x a x x =
+-+（1）若函数在定义域上是单调增函数，求的最小值；
()f x （2）若方程在区间上有两个不同的实根，求的取值范围.
2
1()()(4)02f x a x a x -+--=1[,]e e
22．（本题满分15分）
设点是椭圆上任意一点，
过点作椭圆的切线，与椭圆交于，P 14:2
21=+y x C P )1(14:22222>=+t t
y t x C A 两点．
B
（1）求证：；
PB PA =（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
OAB ∆【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
港闸区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y 2即为y 2=﹣x ，
可得准线方程为x=．
故选：D ．　
2． 【答案】A 【解析】
考
点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.
3． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在社区抽取户数为．
C 249
2
108180270360180108=⨯=++⨯4． 【答案】A
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立，得A（6，2），
化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
6．【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求
m 的范围.
7． 【答案】D
【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•
=388，
第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣
）•
=932
根据分类计数原理，可得388+932=1320种，故选D ．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．　
8． 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－×2×2×1＝，故选D.
13203
9． 【答案】B 【解析】由题意，可取，所以
10．【答案】B
【解析】解：若f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件，作出函数f （x ）的图象如图：则函数在上为增函数，最小值为﹣2，故正确的是B ，故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m 的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．　
11．【答案】D
【解析】
1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故选D. 1()1
2201620162
=⨯⨯=考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.
【方法点睛】本题通过 “三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()
(
)00,x f x ”这一探索
性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出的对称中心后再利用对称()3115
33212
f x x x x =-+-性和的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
12．【答案】B 【解析】
试题分析：若为等差数列，
，则为等差数列公差为, {}n a ()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
2d ,故选B. 2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式.
二、填空题
13．【答案】②④
【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知，推出或，所以三角形为等腰三角
sin sin a A b B =A B =2
A B π
+=
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，，即恒成立，所以是正
sin sin a B b A =sin sin sin sin A B B A =确的；对于③中，，可得，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由cos cos a B b A =sin()0B A -=正弦定理以及合分比定理可知
是正确，故选选②④．1sin sin sin a b c
A B C
+=+考点：正弦定理；三角恒等变换．14．【答案】B 【
解
析
】
15．【答案】 【
解
析
】
16．【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬
⎩
⎭
，）【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
，得x=0，110x x
e
+-=由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2，即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2，作出函数f （x ）的图象如图：
y=
≥1（x ≥0），1x
x
e +y ′=，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
1x
x e
-x=1时，函数取得最大值：，
1
1e
+当1＜a ﹣2时，即a ∈（3，3+）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
11e <+1
e 当a ﹣2=1+时，即a=3+时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
1e 1
e 当a ＞3+时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
1
e 当a=1+时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
1
e 当时，即a ∈（1+，3）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
11{ 21
a e a >+-≤1e
综上a ∈，函数有3个零点．1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩
⎭
，）故答案为：．
11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩
⎭
）点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题
17．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由已知，
点在椭圆上，，解得．
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．
当直线的斜率时，
当且仅当时，
当直线的斜率时，设．
消去得：
由．①
，
，的中点为
由直线的垂直关系有，化简得②
由①②得
又到直线的距离为，
时，
．
由，，解得
；
即时，
；
综上：；
18．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x 的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝－2x ＋a ＋a 2x
＝.
－2（x ＋a
2
）（x －a ）
x
①当a ＜0时，由f ′（x ）＜0得x ＞－，
a 2
由f ′（x ）＞0得0＜x ＜－.
a 2
此时f （x ）在（0，－）上单调递增，
a 2
在（－，＋∞）上单调递减；
a
2
②当a ＞0时，由f ′（x ）＜0得x ＞a ，由f ′（x ）＞0得0＜x ＜a ，
此时f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，＋∞）上单调递减．（2）假设存在满足条件的实数a ，∵x ∈[1，e]时，f （x ）∈[e －1，e 2]，∴f （1）＝－1＋a ≥e －1，即a ≥e ，①由（1）知f （x ）在（0，a ）上单调递增，∴f （x ）在[1，e]上单调递增，
∴f （e ）＝－e 2＋a e ＋e 2≤e 2，即a ≤e ，②由①②可得a ＝e ，故存在a ＝e ，满足条件．
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，∴AE ⊥AB ，又∵AA 1⊥AB ，AA 1⊥∩AE=A ，∴AB ⊥面A 1ACC 1，
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．　
20．【答案】
【解析】（1）由，，知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
0x =1y =2z =此时的概率.
（4分）
2
13
111
324
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭
21．【答案】（1）；（2）.1111]
01a <<
【解析】
则
对恒成立，即对恒成立，
'()0f x ≥0x >1
(3a x x
≥-++0x >而当时，，
0x >1
()3231x x
-++≤-+=∴.
1a ≥若函数在上递减，
()f x (0,)+∞则对恒成立，即对恒成立，'()0f x ≤0x >1()3a x x
≤-++0x >这是不可能的.综上，.1a ≥的最小值为1. 1
（2）由，2
1()()(2)2ln 02
f x a x a x x =-+-+=得，
2
1()(2)2ln 2
a x a x x -+-=即，令，，2ln x x a x +=2ln ()x x r x x +=233
1
(1)2(ln )
12ln '()x x x x x x x r x x x
+-+--==得的根为1，
12ln 0x x --=
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点为线段中点，；…………7分
P AB PB PA =（2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，
AB 2:±=x AB 2C )1,2(2
--±t A
，故，…………9分
)1,2(2-±t B 122-=∆t S OAB 若直线斜率存在，由（1）可得
AB ，，，…………11分1482
21+-=+k km x x 144422221+-=k t m x x 141141222212
+-+=-+=k t k x x k AB 点到直线的距离，…………13分O AB 2
2211
41k
k k m d ++=
+=∴，综上，的面积为定值．…………15分
122
12
-=⋅=∆t d AB S OAB OAB ∆122-t。