【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的

3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
A 级 基础巩固
一、选择题
1．在2＋7，27
i ，0，8＋5i ，(1－3)i ，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：27
i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0，0.618是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a ＜0且a ＝－b
C ．a ＞0且a ≠b
D ．a ≤0 解析：因为z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)是实数，
所以a ＋|a |＝0，因此a ≤0.
答案：D
3．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( )
A ．－2＋i
B ．2＋i
C ． 1－2i
D ．1＋2i 解析：由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，
所以由复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，
故x ＋y i ＝2＋i.
答案：B
4．下列命题：
①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；
②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；
③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实
数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．
答案：A
5．已知集合M ＝{1，2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，且M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )
A ．4
B ．－1
C ．－1或4
D ．－1或6
解析：由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，可得m ＝－1.
答案：B
二、填空题
6．已知复数z ＝m 2
(1－i)－m (m ＋i)(m ∈R)，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，
所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或m ＝1.
答案：0或1 7．已知x 2－x －6x ＋1
＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________． 解析：因为x ∈R，所以x 2－x －6x ＋1
∈R ， 由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，
解得x ＝3.
答案：3
8．若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为________．
解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ＝－3或3， 即m ＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知关于实数x ，y 的方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i.②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据2x －1＋i ＝y －(3－y )i(x ，y ∈R)，
得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.
③ 把③代入②，
得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 10．已知m ∈R ，复数z ＝
m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．
解：(1)复数z ＝
m （m ＋2）m －1＋(m 2＋2m －3)i 是实数， 则⎩
⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0，解得m ＝－3， 所以当m ＝－3时，z ∈R.
(2)若复数z 是虚数
则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，
m 2＋2m －3≠0，
解得m ≠－3且m ≠1，
所以当m ≠－3且m ≠1时，z 是虚数．
(3)当z 是纯虚数时，
则有⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋2）＝0，m －1≠0，m 2＋2m －3≠0，
解得m ＝0或m ＝－2，
所以当m ＝0或m ＝－2时，z 是纯虚数．
B 级 能力提升
1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R)．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( )
A ．x ＝3且y ＝5
B ．x ＝3且y ＝0
C ．x ＝2且y ＝0
D ．x ＝2且y ＝5
解析：易知z 1＝2＋i
由z 1＝z 2，即2＋i ＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R) ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，2x －y ＝1，解得x ＝3且y ＝5. 答案：A
2．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2
＋2x ＋1)＞1，则实数x 的取值范围是________． 解析：由log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，且x ∈R ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2＋2x ＋1）＝0， ①log 2（x 2－3x －2）＞1. ②
由①得x ＝0或x ＝－2，
当x ＝0时，代入②式不成立，舍去．
当x ＝－2时，代入②式，有log 2(4＋6－2)＝3＞1成立， 因此x ＝－2.
答案：{x |x ＝－2}
3．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围．
解：由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. 整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382
－916. 因为θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin θ∈[0，1]． 则当sin θ＝38时，λ取最小值－916
. 当sin θ＝1时，λ取最大值1.
因此，实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－916，1.。