专题6.1 数列的通项公式与求和-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷

第六章 数列
专题1 数列的通项公式与求和（理科）
【三年高考】
1. 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 2.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑。

3. 【2017某某，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…
P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .
4．【2016高考某某理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=. 5. 【2016高考某某理数】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1).(2)
n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 6．【2016高考某某卷】记{}1,2,100U =…，
.对数列{}(
)*
n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T
S
=;
若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设
{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，
，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C
D
D S S S +≥.
7．【2016高考某某理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.
(Ⅰ)设2
2
*
1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；
(Ⅱ)设()
22
*
11
,1,n
n
n n k a d T b n N ===
-∈∑，求证：2111
.2n
k k
T d =<∑
8． 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．
9.【2015某某高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1
{
n
a 的前10项和为
10. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=错误!未找到引用源。

.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
错误!未找到引用源。

,求数列{n b }的前n 项和. 11.【2015高考某某，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n
n S =+.
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
【2017考试大纲】
数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．
【2018年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对数列概念与表示方法的考查，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．这部分试题难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．由于连续三年大题没涉及数列,故预测2018年高考将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．
【2018年高考考点定位】
高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；
三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系． 【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】
1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．
2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．
3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．
4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．
5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】
1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．
2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式． 【考点针对训练】
1. 【某某省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】若数列{}n a 是正项数列，且
2123n a a a n n ++
+=+，则
12
23
1
n
a a a n +++
=+__________. 2.数列 ,81
7
,275,
31,3
1
--的一个通项公式是 A ．n n a n n 312)1(1--=+ B ．n n a n n 312)1(--= C ． n n n n a 312)1(1--=+ D ． n n n n a 3
12)1(--= 【考点2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】
在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式
的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21
11n S S n S a n n
n 求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通
常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法．【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ① 公式法：
① 等差数列通项公式； ②等比数列通项公式. ⑵已知n S （即12()n a a a f n ++
+=）求n a ，用作差法：{
11,(1)
,(2)n n n S n a S S n -==
-≥.
⑶已知12
()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()
,(2)
(1)
n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥.
⑸已知
1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12
112
1
n n n n n a a
a a a a a a ---=⋅⋅⋅
⋅(2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都
可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a .如(21)已知111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如1
1n n n a a ka b
--=
+的递推数列都可以用倒数法求通项.
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，
11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已
知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】
1. 【某某、某某两省八校2017届高三上学期期中】已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，
21+=+n n S a ，则满足
10
1
2<n n S S 的n 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2.【某某省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】数列{}n a 满足13a =与
11
[]{}
n n n a a a +=+
（[]n a 与{}n a 分别表示n a 的整数部分与分数部分），则2014a =（ ） A ．30203+ B ．3130202+ 33018 D ．31
30182
+ 【考点3】数列求和 【备考知识梳理】
数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122
n n n a a n n S na d +-=
=+()2等比数列求和公式：()111,
11,111n n n
na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪
--⎩
()3012
2n
n n n n n C C C C ++++=.
2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列．
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项
再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
； ()
2()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=-
⎪-+-+⎝⎭
；()3()
11
1n n k
n k n =
+-++；()411m m m
n n n C C C -+=-；
()5()!1!!n n n n ⋅=+-.
5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的． 【规律方法技巧】
数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】
1.【某某师X 大学附属中学2017届高三上学期期中】用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，
[ 1.3]2-=-.已知数列{}n a 满足1
1a =，2
1n n n a a a +=+，则=++++++]1
...11[201620162211a a a a a a _____________.
2. 【某某省某某市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()231
22
n S n n n N *=
-∈,数列{}n b 满足()23log 2n n a b n N *=-∈, 则数列{}n n a b 的前n 项和n T = _________. 【应试技巧点拨】
1.由递推关系求数列的通项公式
（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式
此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为
1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n n
a
a +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为n 个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. 3.如何选择恰当的方法求数列的和
在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法. 特征一：....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.
特征二：n n n C a b =⋅，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. 特征三：1
n n n
C a b =
⋅，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. 特征四：n
n n n C C a =⋅，数列{}n C 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加
法”.
4. 利用转化，解决递推公式为n S 与n a 的关系式.
数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1
1
(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.通过纽带：12)n n n a S S n -=-≥（，根据题
目求解特点，消掉一个n n a S 或.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉n S ，利用已知递推
式，把n 换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉n a ，只需把1n n n a S S -=-带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式1n n n a S S -=-成立的条件 2.n ≥ 5.由递推关系求数列的通项公式
（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式
此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为1()n n a a f n +-=用累加法；递推关系为
1()n n a f n a +=用累乘法.解题时需要分析给定的递推式，使之变形为1n n a a +-、1n n
a
a +结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为)1(-n 个式子，不要误认为n 个. (2)利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）.把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.
1. 【2017某某某某5月质检】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()
*1·2n n n a a n N +=∈，
则2016S =（ ）
A. 10083?
23- B. 2016
21- C. 200923- D. 200823-
2. 【2017某某哈师大附中三模】已知数列{}n a 满足()
24cos πn a n n n =+，则{}n a 的前50项的和为______.
3. 【2017某某某某三模】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则
()()222222132435465768234567a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-+++++=（ ）
A. 0
B. 1-
C. 1
D. 2
4. 【某某省某某市2017届高三上学期第一次调研】已知数列1234,,,a a a a 满足
()1411111
,1,2,322n n n n
a a a a n a a ++=-=-=，则1a 所有可能的值构成的集合为（ ）
A ．1,12⎧⎫±
±⎨⎬⎩⎭ B ．{}1,2±± C ．1,22⎧⎫±±⎨⎬⎩⎭ D ．1,1,22⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭
5. 【2017某某某某二模】数列{}n a 满足113
a =
，且对任意2
11N*,,1n n n n n n a a a c a +∈=+=+，数列{}
n c 的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.【某某省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】在数列{}n a 中，12a =，22a =，
且21(1)()n
n n a a n N ++-=+-∈，则100S =（ ）
A ．0
B ．1300 C.2600 D ．2602 7. 【2017某某某某二模】已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的*N n ∈，满足
11
22
n n n a a +-<+
，2n n a a +-321n >⨯-，则2017a =__________． 8. 【2017某某二诊】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则
100S =__________．（用数字作答）
9. 【2017某某马某某二模】已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，23a =，且3a ，5a ，8a 成等比数列．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设cos
2
n
n n a b a π=，求数列{}n b 的前2017项和．
10. 【某某省某某市2017届高三第一次诊断性考试】设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知
)(12*N n a S n n ∈-=.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，某某数k 的取值X 围.
11. 【2016届某某某某三中高三下三模】数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则
+++......1121a a =2016
1a （ ） A ．
20162015 B ．20172016 C ．20174034 D ．2017
4032
12. 【2016届某某某某一中高三考前冲刺一】数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的*
∈N n m ,，都有
mn a a a n m n m ++=+，则
=+⋅⋅⋅+++2014
3211111a a a a （ ） A ．
20142013 B ．10072013 C ．20152013 D ．2015
4028
13. 【2016届某某某某一中高三考前冲刺】已知数列{}n a 满足m n n a n ++-=34
5
3123，若数列{}n a 的最
小项为1，则实数m 的值为（ ）
A ．
41 B ．31 C ．41- D ．3
1
- 14. 【2016年某某某某高三二模】数列{}n a 满足：1132,5
1
++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项
的和为______.
15. 【2016届某某某某一中高三五模】数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*
12()n n a S n N +=∈.
（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）求数列{}n na 的前n 项和为n T .
【一年原创真预测】
1. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知各项均为正数的递增数列{}n a 的前n 项和为n S 满足
21n n S a =+，n
n n a b a t
=
+（*t ∈N ），若12,,m b b b 成等差数列，则t m +=（ ）
A ．8
B ．9
C ．7或8
D ．8或9
2．数列}{n a 满足n n a n na )1(21+=+，其前n 项和为n S ，若211=
a ，则使得n n a S 5
6
2<-最小的n 值为（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11
3. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24a =，
()1
212n n n a a -++-=，
则20S =_____.
4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11S =，24S =，且当3n ≥时，13
2
n S -+是n S 与2n S -的等差中项.数列{}n b 为等比数列，且221
1
b a =
+，3312b a =+.
（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .
5.已知正项数列{}n a 中11a =，其前n 项和为n S ，且
221112n n-n n-n n-S S S S S S +-+=（）（）(2n ≥)． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
21
(1)(2)n a n
n n n n b a a ++=-+
，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．。