2019年辽宁省本溪市中考数学真题及答案

2019年辽宁省本溪市中考数学真题及答案
2019年辽宁省本溪市中考数学真题及答案
⼀、选择题（本题共10⼩题，每⼩题3分，共30分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）
1．（3分）下列各数是正数的是（）
A．0 B．5 C．﹣D．﹣
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．x7÷x＝x7B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3?x3＝2x6D．（x3）2＝x6
4．（3分）2019年6⽉8⽇，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表⽰为
（）A．9.56×106B．95.6×105C．0.956×107D．956×104
5．（3分）下表是我市七个县（区）今年某⽇最⾼⽓温（℃）的统计结果：
县（区）平⼭区明⼭区溪湖区南芬区⾼新区本溪县恒仁县
⽓温（℃）26 26 25 25 25 23 22
则该⽇最⾼⽓温（℃）的众数和中位数分别是（）
A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25
6．（3分）不等式组的解集是（）
A．x＞3 B．x≤4 C．x＜3 D．3＜x≤4
7．（3分）如图所⽰，该⼏何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）下列事件属于必然事件的是（）
A．打开电视，正在播出系列专题⽚“航拍中国”
B．若原命题成⽴，则它的逆命题⼀定成⽴
C．⼀组数据的⽅差越⼩，则这组数据的波动越⼩
D．在数轴上任取⼀点，则该点表⽰的数⼀定是有理数
9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿⾊发展．某化⼯⼚要购进甲、⼄两种型号机器⼈⽤来进⾏垃圾分类．⽤360万元购买甲型机器⼈和⽤480万元购买⼄型机器⼈的台数相同，两种型号机器⼈的单价和为140万元．若设甲型机器⼈每台x万元，根据题意，所列⽅程正确的是（）
A．＝B．＝
C．+＝140 D．﹣140＝
10．（3分）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，PA ﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）
A．
B．
C．
D．
⼆、填空题（本題共8⼩题，每⼩题3分，共24分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．
12．（3分）函数y＝5x的图象经过的象限是．
13．（3分）如果关于x的⼀元⼆次⽅程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是．
14．（3分）在平⾯直⾓坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中⼼，相们⽐为，把△ABO 缩⼩，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为．
15．（3分）如图，BD是矩形ABCD的对⾓线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆⼼，以⼤于EF 的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为．
16．（3分）如图所⽰的点阵中，相邻的四个点构成正⽅形，⼩球只在点阵中的⼩正⽅形ABCD内⾃由滚动时，则⼩球停留在阴影区域的概率为．
17．（3分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反⽐例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．
18．（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正⽅形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正⽅形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正⽅形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进⾏下去，点?n的横坐标为（结果⽤含正整数n的代数式表⽰）
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值（﹣）÷，其中a满⾜a2+3a﹣2＝0．
20．（12分）某中学为了提⾼学⽣的综合素质，成⽴了以下社团：A．机器⼈，B．围棋，C．⽻⽑球，D．电影配⾳．每⼈只能加⼊⼀个社团．为了解学⽣参加社团的情况，从参加社团的学⽣中随机抽取了部分学⽣进⾏调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆⼼⾓为36°．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学⽣共有⼈；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000学⽣加⼊了社团，请你估计这1000名学⽣中有多少⼈参加了⽻⽑球社团；
（4）在机器⼈社团活动中，由于甲、⼄、丙、丁四⼈平时的表现优秀，现决定从这四⼈中任选两名参加机器⼈⼤赛．⽤树状图或列表法求恰好选中甲、⼄两位同学的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．（1）求证：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的⾯积．
22．（12分）⼩李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需⽹购⼀个拉杆箱，图①，②分别是她上⽹时看到的某种型号拉杆箱的实物图与⽰意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，⽀杆DF＝
30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列向题．
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到⽔平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）某⼯⼚⽣产⼀种⽕爆的⽹红电⼦产品，每件产品成本16元、⼯⼚将该产品进⾏⽹络批发，批发单价y（元）与⼀次性批发量x（件）（x为正整数）之间满⾜如图所⽰的函数关系．
（1）直接写出y与x之间所满⾜的函数关系式，并写出⾃变量x的取值范围；
（2）若⼀次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，⼯⼚获利最⼤？最⼤利润是多少？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，点P为正⽅形ABCD的对⾓线AC上的⼀点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是
△DEF的外接圆，连接DP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若tan∠PDC＝，正⽅形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上⼀点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）如图a，连接OC，请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系：；
（2）点M是射线EC上的⼀个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．
①如图b，猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（⽤含m的代数式表⽰）．
⼋、解答题（满分14分）
26．（14分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的⼀动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的⾯积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三⾓形时，请直接写出点P的坐标．
2019年辽宁省本溪市中考数学试卷
参考答案与试题解析
⼀、选择题（本题共10⼩题，每⼩题3分，共30分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）
1．（3分）下列各数是正数的是（）
A．0 B．5 C．﹣D．﹣
【分析】此题利⽤正数和负数的概念即可解答．
【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；和都是负数．
故选：B．
【点评】此题考查正数和负数的概念．⼤于0的数是正数，正数前⾯加上“﹣”的数是负数．数0既不是正数，也不是负数．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形、中⼼对称图形的定义即可判断．
【解答】解：A、不是中⼼对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形，故本选项符合题意；
C、是中⼼对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中⼼对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中⼼对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果⼀个图形沿着⼀条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中⼼对称图形：在同⼀平⾯内，如果把⼀个图形绕某⼀点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中⼼对称图形．
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．x7÷x＝x7B．（﹣3x2）2＝﹣9x4
C．x3?x3＝2x6D．（x3）2＝x6
【分析】直接利⽤同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘⽅运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、x7÷x＝x6，故此选项错误；
B、（﹣3x2）2＝9x4，故此选项错误；
C、x3?x3＝x6，故此选项错误；
D、（x3）2＝x6，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘⽅运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）2019年6⽉8⽇，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法表⽰为
（）A．9.56×106B．95.6×105C．0.956×107D．956×104
【分析】科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，⼩数点移动了多少位，n的绝对值与⼩数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数据9560000科学记数法表⽰为9.56×106．
故选：A．
【点评】此题主要考查科学记数法的表⽰⽅法．科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表⽰时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）下表是我市七个县（区）今年某⽇最⾼⽓温（℃）的统计结果：
县（区）平⼭区明⼭区溪湖区南芬区⾼新区本溪县恒仁县
⽓温（℃）26 26 25 25 25 23 22
则该⽇最⾼⽓温（℃）的众数和中位数分别是（）
A．25，25 B．25，26 C．25，23 D．24，25
【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：∵在这7个数中，25（℃）出现了3次，出现的次数最多，
∴该⽇最⾼⽓温（℃）的众数是25；
把这组数据按照从⼩到⼤的顺序排列位于中间位置的数是25，
则中位数为：25；
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：⼀组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将⼀组数据按照从⼩到⼤（或从⼤到⼩）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）不等式组的解集是（）
A．x＞3 B．x≤4 C．x＜3 D．3＜x≤4
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x＞3，
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4，
故选：D．
【点评】此题考查了解⼀元⼀次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）如图所⽰，该⼏何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是⼀个矩形，中间有两条⽔平的虚线，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
8．（3分）下列事件属于必然事件的是（）
A．打开电视，正在播出系列专题⽚“航拍中国”
B．若原命题成⽴，则它的逆命题⼀定成⽴
C．⼀组数据的⽅差越⼩，则这组数据的波动越⼩
D．在数轴上任取⼀点，则该点表⽰的数⼀定是有理数
【分析】直接利⽤随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、打开电视，正在播出系列专题⽚“航拍中国”，是随机事件，不合题意；
B、若原命题成⽴，则它的逆命题⼀定成⽴，是随机事件，不合题意；
C、⼀组数据的⽅差越⼩，则这组数据的波动越⼩，是必然事件，符合题意；
D、在数轴上任取⼀点，则该点表⽰的数⼀定是有理数，是随机事件，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9．（3分）为推进垃圾分类，推动绿⾊发展．某化⼯⼚要购进甲、⼄两种型号机器⼈⽤来进⾏垃圾分类．⽤360万元购买甲型机器⼈和⽤480万元购买⼄型机器⼈的台数相同，两种型号机器⼈的单价和为140万元．若设甲型机器⼈每台x万元，根据题意，所列⽅程正确的是（）
A．＝B．＝
C．+＝140 D．﹣140＝
【分析】设甲种型号机器⼈每台的价格是x万元，根据“⽤360万元购买甲型机器⼈和⽤480万元购买⼄型机器⼈的台数相同”，列出关于x的分式⽅程．
【解答】解：设甲型机器⼈每台x万元，根据题意，可得：，
故选：A．
【点评】本题考查了分式⽅程的应⽤，解题的关键正确找出等量关系，列出分式⽅程．
10．（3分）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，PA ﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）
A．
B．
C．
D．
【分析】设圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP＝，则PD＝AP sinα＝x×＝x2，即可求解．
【解答】设：圆的半径为R，连接PB，
则sin∠ABP＝，
∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠PDA＝∠PBA＝α，
则PD＝AP sinα＝x×＝x2，
则y＝PA﹣PD＝﹣x2+x，
图象为开⼝向下的抛物线，
故选：C．
【点评】本题考查的动点的函数图象，涉及到解直⾓三⾓形、圆的切线的性质、⼆次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式．
⼆、填空题（本題共8⼩题，每⼩题3分，共24分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥2 ．
【分析】根据⼆次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了⼆次根式有意义的条件，关键是掌握⼆次根式中的被开⽅数是⾮负数．12．（3分）函数y＝5x的图象经过的象限是⼀、三．
【分析】利⽤这个⽐例函数的性质结合⽐例系数的符号直接回答即可．
【解答】解：函数y＝5x的图象经过⼀三象限，
故答案为：⼀、三
【点评】本题考查了正⽐例函数的性质，正⽐例函数y＝kx（k≠0），k＞0时，图象在⼀三象限，呈上升趋势，当k＜0时，图象在⼆四象限，呈下降趋势．
13．（3分）如果关于x的⼀元⼆次⽅程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤4 ．【分析】根据⽅程有实数根，得到根的判别式的值⼤于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4．
故答案为：k≤4．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值⼤于0，⽅程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，⽅程有两个相等的实数根；根的判别式的值⼩于0，⽅程没有实数根．
14．（3分）在平⾯直⾓坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中⼼，相们
⽐为，把△ABO缩⼩，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：以点O为位似中⼼，相们⽐为，把△ABO缩⼩，点A的坐标是A（4，2），
则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平⾯直⾓坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中⼼，相似⽐为k，那么位似图形对应点的坐标的⽐等于k或﹣k．
15．（3分）如图，BD是矩形ABCD的对⾓线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆⼼，以⼤于EF 的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为 3 ．
【分析】⾸先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据⾓平分线的性质求得点P到BD的距离即可．
【解答】解：结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，
故答案为：3．
【点评】考查了尺规作图的知识及⾓平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP 平分∠ABD．
16．（3分）如图所⽰的点阵中，相邻的四个点构成正⽅形，⼩球只在点阵中的⼩正⽅形ABCD内⾃由滚动时，则⼩球停留在阴影区域的概率为．
【分析】如图所⽰，AD与直线的交点为E，AB与直线的交点为F，分别求出AE、AF所占边长的⽐例即可解答．
【解答】解：如图所⽰，AD与直线的交点为E，AB与直线的交点为F，
根据题意可知，AF＝，
∴＝，
∴⼩球停留在阴影区域的概率为：1﹣．
故答案为：
【点评】本题考查的是⼏何概率，⽤到的知识点为：⼏何概率＝相应的⾯积与总⾯积之⽐．
17．（3分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝，反⽐例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为．
【分析】连接OD，由△OAB是等边三⾓形，得到∠AOB＝60°，根据平⾏线的性质得到∠DEO＝∠AOB＝60°，推出△DEO是等边三⾓形，得到∠DOE＝∠BAO＝60°，得到OD∥AB，求得S△BDO＝S△AOD，推出S△AOB＝S△ABD ＝，过B作
BH⊥OA于H，由等边三⾓形的性质得到OH＝AH，求得S△OBH＝，于是得到结论．【解答】解：连接OD，
∵△OAB是等边三⾓形，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形OCDE是菱形，
∴DE∥OB，
∴∠DEO＝∠AOB＝60°，
∴△DEO是等边三⾓形，
∴∠DOE＝∠BAO＝60°，
∴OD∥AB，
∴S△BDO＝S△AOD，
∵S四边形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB，
∴S△AOB＝S△ABD＝，
过B作BH⊥OA于H，
∴OH＝AH，
∴S△OBH＝，
∵反⽐例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，
∴k的值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了反⽐例函数系数k的⼏何意义，等边三⾓形的性质，菱形的性质，同底等⾼的三⾓形的⾯积，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正⽅形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正⽅形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正⽅形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进⾏下去，点?n的横坐标为（结果⽤含正整数n的代数式表⽰）
【分析】根据点B1的横坐标为2，在直线l：y＝x上，可求出点B1的坐标，由作图可知图中所有的直⾓三⾓形都相似，两条直⾓边的⽐都是1：2，然后依次利⽤相似三⾓形的性质计算出C1、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案．
【解答】解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂⾜
分别为D、D1、D2、D3、D4……
∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，
∴点B1的纵坐标为1，
即：OD＝2，B1D＝1，
图中所有的直⾓三⾓形都相似，两条直⾓边的⽐都是1：2，
∴点C1的横坐标为：2++（）0，
点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1
点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2
点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3
……
点?n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1＝+
[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1
＝
故答案为：
【点评】考查⼀次函数图象上点的坐标特征，相似三⾓形的性质、在计算探索的过程中发现规律，得出⼀般性的结论．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值（﹣）÷，其中a满⾜a2+3a﹣2＝0．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题⽬中的式⼦，然后根据a2+3a﹣2＝0，可以求得所求式⼦的值．【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝
＝，
∵a2+3a﹣2＝0，
∴a2+3a＝2，
∴原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的⽅法．
20．（12分）某中学为了提⾼学⽣的综合素质，成⽴了以下社团：A．机器⼈，B．围棋，C．⽻⽑球，D．电。