高中数学 第二章 平面向量单元检测 新人教A版必修4

第二章 平面向量
单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)
1．下列等式恒成立的是( ) A ．AB u u u r ＋BA u u u r ＝0 B ．AB u u u r －AC u u u r ＝B C
C ．(a·b )·c ＝a (b·c )
D ．(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c
2．已知|a |＝|b |＝6，a·b ＝－18，则a 与b 的夹角θ是( )
A ．120° B．150° C．60° D．30°
3．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是( )
A ．3i ＋2j
B ．－2i ＋3j
C ．－3i ＋2j
D ．2i －3j
4．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC u u u r ＋OD u u u r ＝( ) A ．OM u u u u r B ．2OM u u u u r C ．3OM u u u u r D ．4OM u u u u r
5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(－3，－4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )
A ．－2,1
B ．1，－2
C ．2，－1
D ．－1,2
6．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为90°，且c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，若c ⊥d ，则实数k 的值为( )
A ．6
B ．－6
C ．3
D ．－3
7．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的
取值范围是( )
A ．π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．π,π3
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 9．若AB u u u r ＝2e 1＋e 2，AC u u u r ＝e 1－3e 2，AD u u u r ＝5e 1＋λe 2，且B ，C ，D 三点共线，则实数λ＝__________． 10．已知O 是直角坐标系的原点，A (2,2)，B (4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP u u u r ·BP u u u r 取得最小值，则点P 的坐标为__________．
11．如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若
AB u u u r ·AF u u u r ，则AE u u u r ·BF u u u r 的值是________．
三、解答题(本大题共3小题，共34分)
12．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB u u u r －t OC u u u r )·OC u u u r ＝0，求t 的值．
13．(10分)设平面内两向量a 与b 互相垂直，且|a |＝2，|b |＝1，又k 与t 是两个不同时为零的实数．
(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直，试求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )；
(2)求函数k ＝f (t )的最小值．
14．(14分)已知向量a ＝(mx 2，－1)，b ＝1,1x mx ⎛⎫
⎪-⎝⎭
(m 为常数)，若向量a 与b 的夹角〈a ，b 〉为锐角，求实数x 的取值范围．
参考答案
1答案：D 解析：由数量积满足分配律可知D 正确．
2答案：B 解析：∵cos θ
＝||||⋅==a b a b ，∴θ＝150°． 3答案：C 解析：2i ＋3j ＝(2,3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3,2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．
4答案：D 解析：∵由已知M 为AC 中点，M 为BD 中点，
∴OA u u u r +OC u u u r =2OM u u u u r ，OB uuu r +OD u u u r =2OM u u u u r ． ∴OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r +OD u u u r =4OM u u u u r ． 5答案：B 解析：因为c ＝λ1a ＋λ2b ，则有(－3，－4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1
＋2λ2，2λ1＋3λ2)，所以1212
23,234,λλλλ+=-⎧⎨+=-⎩解得λ1＝1，λ2＝－2． 6答案：A 解析：∵c ⊥d ，∴c ·d ＝(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k －12＝0，∴k ＝6． 7答案：D 解析：因为a ＋b 与c 共线，所以有a ＋b ＝m c ，又b ＋c 与a 共线，所以有b ＋c ＝n a ，即b ＝m c －a 且b ＝－c ＋n a ，因为a ，b ，c 中任意两个都不共线，则有1,1,m n =-=-所
以b ＝m c －a ＝－c －a ，即a ＋b ＋c ＝0，选D ．
8答案：B 解析：设a 与b 的夹角为θ，
∵Δ＝|a |2－4a ·b ≥0， ∴a ·b ≤2
||4
a ，∴ cos θ＝2||1||||4||||2⋅≤=a
b a a b a b ． ∵θ∈[0，π]，∴θ∈π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 9答案：13 解析：由已知可得BC uuu r ＝AC u u u r －AB u u u r ＝(e 1－3e 2)－(2e 1＋e 2)＝－e 1－4e 2，CD uuu r ＝AD u u u r －AC u u u r ＝(5e 1＋λe 2)－(e 1－3e 2)＝4e 1＋(λ＋3)e 2． 由于B ，C ，D 三点共线，所以存在实数m 使得BC uuu r ＝m CD uuu r ，即－e 1－4e 2＝m [4e 1＋(λ
＋3)e 2]．所以－1＝4m 且－4＝m (λ＋3)，消去m ，得λ＝13．
10答案：(3,0) 解析：设P (x,0)，则AP u u u r ·BP u u u r ＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时取到最小值，故P (3,0)．
11
解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，
则由题意知，点B
0)，点E
，1)，设点F (a ，b )， 所以AB u u u r ＝
，0)，AF u u u r ＝(a ，b )．
由条件解得点F (1,2)， 所以AE u u u r ＝
，1)，BF u u u r ＝
(12)． 所以AE u u u r ·BF
． 12答案：解：(1)AB ＝(3,5)，AC u u u r ＝(－1,1)，
求两条对角线的长即求|AB u u u r ＋AC u u u r |与|AB u u u r －AC u u u r |的大小．
由AB u u u r ＋AC u u u r ＝(2,6)，得|AB u u u r ＋AC u u u r |＝，
由AB u u u r －AC u u u r ＝(4,4)，得|AB u u u r －AC u u u r |＝ (2)OC u u u r ＝(－2，－1)， ∵(AB u u u r －t OC u u u r )·OC u u u r ＝AB u u u r ·OC u u u r －t OC u u u r 2，易求AB u u u r ·OC u u u r ＝－11，OC u u u r 2＝5，∴
由(AB u u u r －t OC u u u r )·OC u u u r ＝0得t ＝11
5-．
13答案：解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，
又x ⊥y ，∴x ·y ＝0．
即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，
－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0，
∵|a |＝2，|b |＝1，
∴－4k ＋t 2－3t ＝0，即k ＝1
4(t 2－3t )．
(2)由(1)知k ＝14(t 2－3t )＝2
139
4216t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即函数的最小值为9
16-．
14答案：解：∵a 与b 的夹角为锐角，∴a ·b ＞0， 即2
1mx mx -－x ＞0．∴1x
mx -＞0，即x (mx －1)＞0．
①当m ＞0时，解得x ＜0或x ＞1
m ；
②当m ＜0时，解得1
m ＜x ＜0；
③当m ＝0时，解得x ＜0．
综上，当m ＞0时，x 的取值范围是10x x x m ⎧⎫
<>⎨⎬⎩⎭
或；
当m ＜0时，x 的取值范围是10x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
；
当m ＝0时，x 的取值范围是{x |x ＜0}．。