江苏省宿迁市沭阳国际学校高三数学上学期期初考试试题(应班)

沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期期初测试
高三数学试卷
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．
. 1．已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=-则A B ⋂= ▲ ． 2．函数2(2)
2log x x y -=的增区间为 ▲ ．
3．设复数z =
21i
i
+，则z z ⋅= ▲ . 4．如图：执行右边的程序框图,若15p =， 则输出的n = ▲ .
5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行， （第4题） 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的
距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ▲ . 6．若命题“01)1(,2
<+-+∈∃x a x R x 使得”是真命题，则实数a 的取值范围 是 ▲ . 7．若θ为锐角，且5sin 313
πθ⎛
⎫
-
= ⎪
⎝
⎭，则sin θ= ▲ . 8．已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为 ▲ . 9．右图为函数)
2||,0,0()sin(π
ϕωϕω<
>>++=A k x A y
的图象，则y 的表达式是 ▲ . （第9题） 10．已知向量(3,2),(1,0)=-=-a b ,且向量λ+a b 与2-a b 垂直,则实数λ的值 为 ▲ .
11．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0
,
40,4)(2
2x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 ▲ .
12．已知公差不为0的正项等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1lg a ，2lg a ，4lg a 也成 等差数列，510a =，则5S 等于 ▲ .
13．过双曲线22
221x y a b
-= (a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲
线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →
，则双曲线的离心率是 ▲ .
14．已知： M={a |函数2sin y ax =在[4,
3ππ-
]上是增函数}，N={b |方程013
|
1|=+---b x
有实数解}，设D=N M I ，且定义在R 上的奇函数m
x n
x x f ++=
2
)(在D 内没有最小值， 则m 的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本小题满分14分）
在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22
sin 3
A =， （1）求2
2tan sin 22
B C A
++的值； （2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，已知平行四边形ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点． （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；
（2）若90AEB ∠=o ，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．
17.（本小题满分14分） 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1
()4f t t
=+，人均消费()g t （元．
）与时间t （天）的函数关（第16题）
系近似满足()115|15|g t t =--.
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.
18.（本小题满分16分）
已知椭圆的两个焦点12(F F ，且椭圆短轴的两个端点与2F 构成正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，若在x 轴上存在定点E （m ，0），使⋅恒为定值，求m 的值.
19. （本小题满分16分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分16分）
已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩
的图象过点(1,2)-，且在23x =处取得极值．
(1) 求实数,b c 的值；
(2) 求()f x 在[1,]e - （e 为自然对数的底数）上的最大值.
沭阳国际学校2015—2016学年度第一学期期初测试
高三数学附加题
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷
．
纸．指定区域内．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ． 求证：∠DAP ＝∠BAP ．
B ．选修4—2：矩阵与变换
设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2
＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．
（1）求a ，b 的值；
（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1
．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为2
3，
求实数a 的值．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知a ，b 是正数，求证：a 2
＋4b 2
＋1
—ab
≥4．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域．．．．内．
作答．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A
B
D C
P
O
· (第21A 题)
22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．
23．已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-L ，（其中n N *∈）
⑴求0a 及123n n S a a a a =++++L ；
⑵试比较n S 与2
(2)22n
n n -+的大小，并说明理由．
P
A
B
C D
E
(第22题)
应届高三试卷
数学参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{}-12， 2．0,1（） 3．2 4．5 5． 1
27
6．（3，+∞）⋃（－∞，－1） 7．
512326+ 8．1e 9．3sin(2+)123
y x π
=+ 10．1
7-
11．(2,1)- 12．30 13． 5 14．m>2
3
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
在锐角ABC △中，角A
B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22
sin 3
A =， （1）求2
2tan sin 22
B C A
++的值； （2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值． 解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝，22
sin A =
， 所以cosA ＝
1
3
. …………………………2分 则 2
2222B C sin B C A A 2tan sin sin B C 222
cos 2
1cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33
＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－
…………………………7分
（2）ABC ABC 1
122
S 2S bcsin A bc 223
•V V 因为＝，又＝＝，则bc ＝3. …9分 将a ＝2，cosA ＝
13，c ＝3b
代入余弦定理：222
a b c 2bccos A ＝＋－中 得42
b 6b 90－＋＝解得b ＝3 …………………………14分
16．（本题满分14分）
如图，已知平行四边形ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．
（1）求证：直线AE ∥平面BDF ；
（2）若90AEB ∠=o ，求证：平面BDF ⊥平面BCE ． 16．（本题满分14分）
证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG ．
由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点． 又∵F 是EC 中点，
∴在△ACE 中，FG ∥AE ．……………………………………………3分 ∵AE ⊂/平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，
∴AE ∥平面BFD ； ……………………………6分 （2）∵π
2
AEB ∠=
，∴AE BE ⊥． 又∵直线BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥． 又BC BE B =I ，
∴直线AE ⊥平面BCE ． …………………………………………8分 由（1）知，FG ∥AE ，
∴直线FG ⊥平面BCE ． ………………………………………10分 又∵直线FG ⊂平面DBF ，
∴平面DBF ⊥平面BCE ． ………………………………………14分
17.（本小题满分14分） 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1
()4f t t
=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.
17.解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t
=⋅=+--·············5分
（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N t
w t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩
·············7分
①当115t ≤<时，125
()(4)(100)4()401w t t t t t
=++=+
+4401441≥⨯=
当且仅当25
t t
=，即5t =时取等号·············10分
②当1530t ≤≤时，1130
()(4)(130)519(4)w t t t t t
=+-=+-，
可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为1
4033
·············12分
由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为1
4033
万元·············13分
答：该城市旅游日收益的最小值为1
4033
万元。

·············14分
18.（本题满分16分）
已知椭圆的两个焦点12(F F ，且椭圆短轴的两个端点与2F 构成正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，若在x 轴上存在定点E （m ，0），使⋅恒为定值，求m 的值.
解：（1）由题意知 c =3又∵椭圆的短轴的两个端点与F 构成正三角形
∴b =1 从而2a = ∴椭圆的方程为22
4
y x +=1 ………………4分 （2）设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()1-=x k y
()⎪⎩
⎪⎨⎧-==+114
22
x k y y x 消y 得 ()0448142
222=-+-+k x k x k …………6分 设
()()
2211,,,y x Q y x P ，则由韦达定理得 1
4822
21+=
+k k x x
1
4442221+-=k k x x …………8分
则()()2211,,y x m y x m --=--=
∴()()2121y y x m x m +--=⋅=()2121212
y y x x x x m m +++-
=()()()2212121211m m x x x x k x x -+++--
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-++-++-1148144414441482222
222222
k k k k k k k k k m m =
()()
1
44
1842222
+-++-k m k m m
……13 分
要使上式为定值须22
4814
41
m m m -+=-， 得 178m = 故17
8
m =时，⋅为定值………………………16分
19. （本题满分16分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. 解：（1）依题意得
⎪⎩⎪⎨
⎧
+=+=⨯++⨯+)
12()3(50254522331121
1
1d a a d a d a d a …………………………………………3分
解
得
⎩⎨
⎧==2
3
1d a ， …………………………………………5分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………7分
（2）13-=n n
n
a b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………8分
123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T Λ n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=
-Λ……………………10分
n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--Λ
n
n
n n n 323)12(3
1)
31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n
n n T 3⋅= . ……………………………16分
20．（本题满分16分）
已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩
的图象过点(1,2)-，且在23x =处取得极值．
(1) 求实数,b c 的值；
(2) 求()f x 在[1,]e - （e 为自然对数的底数）上的最大值.
解：（1）当1x <时，2'()32f x x x b =-++， ……………………………………2分
由题意得：()122'03f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭
⎩，即22
44
3093b c b -+=⎧⎪
⎨-⨯++=⎪⎩， …………………………………4分 解得：0b c ==。

…………………………………6分
（2）由（1）知：32(1)
()ln (1)x x x f x a x
x ⎧-+<=⎨≥⎩
①当11x -≤<时，'()(32)f x x x =--，
解'()0f x >得203x <<；解'()0f x <得10x -<<或2
13x <<
∴()f x 在(10)-，
和2(,1)3
上单减，在2
(0)3，上单增， 由'()(32)0f x x x =--=得：0x =或2
3
x =，………………………………………8分
∵ 24
(1)2()(0)0(1)0327
f f f f -==
==，，，， ∴()f x 在[1,1)-上的最大值为2. ……………………………………………………10分 ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，
当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 单调递增；
∴()f x 在[1,]e 上的最大值为a 。

……………………………………………………12分 ∴当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ； ……………………………………14分 当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2. ……………………………………16分
数学Ⅱ（附加题）
数学附加题参考答案及评分标准
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷
．
纸．指定区域内．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ．
求证：∠DAP ＝∠BAP ．
证明：因为CP 与圆O 相切，所以∠DPA ＝∠PBA ． ………………2分 因为AB 为圆O 直径，所以∠APB ＝90°，
所以∠BAP ＝90°－∠PBA ． ………………6分 因为AD ⊥CP ，所以∠DAP ＝90°－∠DPA ，
所以∠DAP ＝∠BAP ． ………………10分
B ．选修4—2：矩阵与变换
设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2
＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1．
（1）求a ，b 的值；
（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1
．
解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2
＝1上任意一点，
经过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）
则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分
因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 2
3＝1上， 所以
a 2x 24
＋
b 2y 2
3
＝1，这个方程即为圆C 方程． ………………6分
所以⎩⎨⎧a 2
＝4，b 2＝3．
，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝2，b ＝3． ………………8分
（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2 00 3，所以A
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 33． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6
)＝a 截得的弦长为2
3，
求实数a 的值．
解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2) 2
＋y 2
＝4，
直线l 的直角坐标方程为x －
3y ＋2a ＝0． ………………4分 所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |
2 ＝|1＋a |． ………………6分
因为圆C 被直线l 截得的弦长为2 3，所以r 2－d 2
＝3．
即4－(1＋a )2
＝3．解得a ＝0，或a ＝－2． ………………10分
D ．选修4—5：不等式选讲
已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2
＋1—ab
≥4．
证明：因为a ，b 是正数，所以a 2＋4b 2
≥4ab ． ………………2分
所以a 2＋4b 2
＋1—ab ≥4ab ＋1—ab ≥2
4ab ×1
—ab
＝4．
即a 2＋4b 2
＋1—ab
≥4． ………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．
作答．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点． （1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．
22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，
D (0，3，0)，P (0，0，1)，
E (12，0，1
2
)，
→
AE ＝(12，0，12
)，→BC ＝(0，1，0)，→
BP ＝(－1，0，1)．
因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→
BP ＝0， 所以→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ． 所以AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．
因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ，
所以AE ⊥平面PBC ． ………………4分
P
A B C
D
E
x
y
z
（2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→
PD ＝0．
因为→CD ＝(－1，2，0)，→
PD ＝(0，3，－1)，所以－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0． 令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．
所以n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量． ………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，所以→
AE 是平面PBC 的法向量． 所以cos<→
AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．
由此可知，→
AE 与n 的夹角的余弦值为5714
．
根据图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－57
14． ………………10分
23．已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-L ，（其中n N *
∈）
⑴求0a 及123n n S a a a a =++++L ；
⑵试比较n S 与2
(2)22n n n -+的大小，并说明理由．
23．解：⑴取1x =，则02n a =；取2x =，则01233n
n a a a a a +++++=L ， ∴12332n n
n n S a a a a =++++=-L ； ------4分
⑵要比较n S 与2(2)22n n n -+的大小，即比较：3n
与2
(1)22n n n -+的大小，
当1n =时，2
3(1)22n n n n >-+； 当2,3n =时，2
3(1)22n
n
n n <-+；
当4,5n =时，2
3(1)22n
n
n n >-+； ------5分 猜想：当4n ≥时，2
3(1)22n
n
n n >-+，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n =时结论成立，
假设当,(4)n k k =≥时结论成立，即2
3(1)22k
k
k k >-+， 两边同乘以3 得：1
2122
33(1)2222(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-+=+++-+--⎣⎦
而
22(3)2442(3)24(2)6(3)24(2)(1)60
k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>
∴1
123
((1)1)22(1)k k k k ++>+-++
即1n k =+时结论也成立，
∴当4n ≥时，2
3(1)22n
n
n n >-+成立。

综上得，
当1n =时，n S >2
(2)22n
n n -+； 当2,3n =时，n S <2
(2)22n
n n -+；
当4,n n N *
≥∈时，n S >2
(2)22n
n n -+ ------10分。