高一数学教案：函数的概念2

课 题：2.1.1 函数－函数的概念
教学目的：
1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2
教学重点：理解函数的概念； 教学难点：授课类型：课时安排：1教 具内容分析：
包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无富的辩证思想，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n ，a n )都分布在直线y ＝kx+b 的图象上，等差数列的前n 项和公式也可以看作关于n(n ∈N)的二次函数关系式，本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学 教学过程：
一、复习引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？
问题2：x y =与x
x y 2
=是同一函数吗？ 观察对应：
二、讲解新课：
（一）函数的有关概念
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作
)(x f y =， x ∈A
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .
(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:
求平方B B
这里 A, B 为非空的数集.
（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B
（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f
（二）已学函数的定义域和值域
1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;
2．反比例函x
k x f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R
值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f
例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11
注意：1︒在)(x f y =中f 2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表” 3︒)(x f 与)(a f （四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 三、例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=211)(. )(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式
21-x 无意义， 而2≠x 时，分式2
1-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-3
2时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3
2-≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3
2-≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x
-21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥2
1x x ∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例2 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
解：f(3)=3×23-5×3+2=14； f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52；
f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2
+a.
例3下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y = 解：⑴()2
x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是； ⑵33x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数； ⑶2x y =＝|x |=⎩⎨⎧-x
x ,00<≥x x ,0≥y
例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=
x x x y 52-=x y （定义域不同） ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同） ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同）
四、课堂练习：课本第51页练习1，2，3，4
五、小结 本节课学习了以下内容：
函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 六、课后作业：课本第51－52习题2.1：1，2，3，4，5
七、板书设计（略）
八、课后记：。