2022年安徽省宣城市第八中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年安徽省宣城市第八中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设，，定义运算“”和“”如下：
，．若，，则
A．且B．且
C．且D．且
参考答案：
A
略
2. 在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X （S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）
A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）
C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）D．f s（2）+f s（3）=f T（4）
参考答案：
D
【考点】子集与真子集．
【分析】根据新定义求出k元平均子集的个数，逐一判断．
【解答】解：X（S）=5，将S中的元素分成5组（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5）．
则f S（1）==1，f S（2）==4，f S（3）=?=4，f S（4）==6，f S（5）=?=6，同理：X（T）=0，将T中的元素分成5组（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3），（4，﹣4），（0）．
则f T（1）==1，f T（2）==4，f T（3）=?=4，f T（4）==6，f T（5）=?=6，f T（8）==1，
∴f S（4）=f S（5）=6，f S（4）=f T（5）=6，f S（1）+f S（4）=f T（5）+f T（8）=7．
故选：D．
3. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解： ==，
在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．
故选：B．
4. 设向量，，定义一运算：
已知，。

点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
5. 已知集合，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
6. 若复数是纯虚数，其中m是实数，（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为16π，则圆柱的体积为（）
A. 2π
B.
C. 6π
D. 8π
参考答案：
C
【分析】
因为球的表面积为，可求出球半径R.设圆锥的高，底面半径.
根据圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和可得x,y值，然后求出圆柱的体积. 【详解】解析：设球的半径为，则，解得.
如图，设圆锥的高，底面半径.
则圆锥的母线长，圆柱的高为，
依题意可得，解得
所以圆柱的体积，故选C.
【点睛】本题考查几何组合体的体积，表面积的计算，基础题.
8. 已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
参考答案：
B
【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．
【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．
【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，
∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，
∵函数f（x）=a x+x﹣b，
∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，
∵f（0）=1﹣log32＞0
f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，
∴根据函数的零点判定定理得出函数f （x ）=a x
+x ﹣b 的零点所在的区间（﹣1，0）， 故选：B ．
9. 对?x ∈（0，
），8x ≤log a x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，
） B ．（0，
] C ．[
，1） D ．[
，1）
参考答案：
C
【考点】函数恒成立问题．
【分析】对任意的x ∈（0，），总有8x ≤log a x+1恒成立，则在0＜x ＜时，y=log a x 的图象恒在y=8x ﹣1的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数a 的取值范围
【解答】解：∵a ∈（0，1）∪（1，+∞）， 当0＜x ＜时，函数y=8x ﹣1的图象如下图所示：
∵对任意x ∈（0，），总有
8x ≤log a x+1
恒成立，
则y=log a x 的图象恒在y=8x ﹣1的图象的上方（如图中虚线所示） ∵y=log a x 的图象与y=8x ﹣1
的图象交于（，1）点时，
a=，
故虚线所示的y=log a x 的图象对应的底数a 应满足≤a ＜1． 故选：C ．
10. 双曲线
轴的一个交点是(2，0)，则该双曲线的渐近线方程为
A ．
B.
C ．
D ．
参考答案：
D
双曲线与轴的交点是，则，故该双曲线的渐近线方程为.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 执行右边的程序框图，输出的
；
参考答案： 7 略
12. 曲线
上的点到直线x 十y+1=0的距离的最小值为_________.
参考答案：
略
13. 某计算装置有一个数据入口A 和一个运算出口B ，从入口A 输入一个正整数n 时，计算机通过
循环运算，在出口B 输出一个运算结果，记为f (n ).计算机的工作原理如下：为默认值，f (n
＋1)
的值通过执行循环体“f (n ＋1)＝”后计算得出.则f (2)＝
；当从入口A
输入的正整
数n ＝__ _时，从出口B 输出的运算结果是.
参考答案：
略
14. 设圆：，记为圆内部（不含边界）的整点的个数，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则的所有可能值为______________
参考答案： 、
、12.
15. 已知点是抛物线：
上的不同的三点，为坐标原点，直线
，且抛物线的准线方程为
．
(1) 求抛物线的方程； (2) 若的重心在直线上，
求
的面积取值范围．
参考答案：
略
16. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.
参考答案：
45. 17. 在直角中，
，
，
，
为斜边
的中点，
则
=
参考答案：
-1
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 从装有2只红球,2
只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同．
（Ⅰ）若抽取后又放回,抽取3次,求恰好抽到2次为红球的概率;
（Ⅱ）若抽取后不放回,设抽完红球所需的次数为,求的分布列及期望． 参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）
本题考查排列组和、离散型随机变量的分布列问题，同时考查利用概率分析、解决问题的能力．在取球试验中注意是否有放回
（1）抽取后又放回，每次取球可看作独立重复试验，利用独立重复试验求解即可． （2）抽取后不放回，ξ所有可能的取值为2，3，4，5，分别求出其概率即可．
解: （Ⅰ）抽取一次抽到红球的概率为--------------2分
所以抽取3次恰好抽到2次为红球的概率为-----------4分
（Ⅱ）
-------------------5分
,,
,
．-------------9分
的分布列为
所以
---------------------------12分
19. （本小题满分12分）已知向量，设函数。

（1）求
的最小正周期与单调递减区间
（2）在
中，、、分别是角
、
、
的对边，若
的面积为
，
求的值。

参考答案：
（2）
20. （本小题满分14分）已知为公差不为零的等差数列，首项
，
的部分项
、
、…、恰为等比数列，且
，
，
.
（1）求数列
的通项公式
（用表示）；
（2）设数列的前项和为, 求证：（是正整数）.
参考答案：
（1）设数列的公差为
，
由已知得
，
，成等比数列，
∴
，且
……………………………2分
得或
∵ 已知为公差不为零
∴，……………………………3分
∴. ……………………………4分
（2）由（1）知∴
……………………………5分
而等比数列的公比.
∴……………………………6分
因此，
∵
∴……………………………7分
∴
……………………………9分
∵当时，
∴（或用数学归纳法证明此不等式）
∴……………………………11分
∴当时，，不等式成立；当时，
综上得不等式成立.
……………………………14分
法二∵当时，
∴（或用数学归纳法证明此不等式）∴……………………………11分∴当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立；
当时，
综上得不等式成立.
……………………………14分
(法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得：
所以，时，，
时，综上得不等式成立.
21. 将这个数随机排成一列，得到的一列数称为的一个排列.定义为排列的波动强度.
（Ⅰ）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；
（Ⅱ）当时，求的最大值，并指出所对应的一个排列；
（Ⅲ）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波
动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.
参考答案：
解：（Ⅰ）时，排列的所有可能为；；；；；
.………………2分
；；；
；；. ……………4分
（Ⅱ）
上式转化为，
在上述个中，有个选正号，个选负号，其中出现一次，各出现两次. ……………6分
所以可以表示为个数的和减去个数的和的形式，
若使最大，应使第一个和最大，第二个和最小.
所以最大为：
. …………8分
所对应的一个排列为：.（其他正确的排列同等给分）……9分（Ⅲ）不可以.
例如排列，除调整外，其它调整都将使波动强度增加，调整
波动强度不变. ……………11分所以只能将排列调整为排列.
对于排列，仍然是除调整外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整两个数字.
如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为.……………13分
略
22. 巳知椭圆的长轴长为，且与椭圆
有相同的离心率.
(I )求椭圆的方程；
(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.
参考答案：
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．菁
（Ⅰ）（Ⅱ）存在，圆的方程，.
解：(I )椭圆的长轴长为，故，又与椭圆有相同的离心率,故所以椭圆M的方程为.......................................3分
(II)若的斜率存在，设因与C相切，故，
即.①....................5分
又将直线方程代入椭圆M的方程得
设
由韦达定理得
+=，........................................................... .....(6分)
由得到+++=0，....................(7分)化简得，②
联立①②得。

综上所述，存在圆..............................................(8分)
由得
=
................................11分
当时，，
又当k不存在时，
故为所求...........................................13分
【思路点拨】（I）根据离心率为e=，点P是椭圆上的一点，且点P到椭圆E两焦点的距离之和为，求出几何量，从而可求椭圆E的方程；
（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，可确定m的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立．。