一种新型并联机器人的运动性能

收稿日期:2003-05-13
基金项目:国家高技术研究发展计划项目(863-512-30-07)
作者简介:孟祥志(1972-),男,安徽萧县人,东北大学博士研究生,讲师;蔡光起(1947-),男,河北沧州人,东北大学教授,博士生
导师
第24卷第11期2003年11月东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern U niversity(Natural Science)Vol 24,No.11Nov.2003
文章编号:1005-3026(2003)11-1078-04
一种新型并联机器人的运动性能
孟祥志1,伍 懿1,刘志峰2,蔡光起1
(1.东北大学机械工程与自动化学院,辽宁沈阳 110004; 2.北京工业大学,北京 100022)
摘 要:介绍了一种新型三腿并联机器人,给出了机构的运动学方程和雅可比矩阵,分析了
机器人的工作空间 通过机器人的可操作性指标和雅可比矩阵条件数指标分析了机构的奇异性和灵巧性 由仿真分析结果可知,该并联机器人具有较大的工作空间,并且工作空间关于x 轴对称 机器人在整个工作空间内可操作度W 在(0 8,2 45)内变化 说明机器人在整个工作空间中没有奇异形位和不定形位,具有良好的可操作性 雅可比矩阵条件数C (J )在(1 0,6 2)内变化,并且C(J )在随X ,Y ,Z 变化时没有突变,说明该机构运动灵巧性好
关 键 词:并联机器人;雅可比矩阵;工作空间;奇异性;可操作度;灵巧性中图分类号:T P 242 2 文献标识码:A
评价机器人的几何特性时,工作空间[1~
5]
的
大小常用来作为一个重要的衡量指标,但是由于在工作空间内可能存在奇异点[5~9],机器人处于奇异形位时,机构的雅可比矩阵的行列式为零,此时操作器的运动反解不存在,对于并联机构而言,这意味着有多余的自由度,所以机构的运动不确定 在机器人实际操作中应当避免使机构处于奇异形位 实际上,就机器人的操作和控制精度而言,机构不但应该避免奇异形位,而且应该在远离奇异形位的区域工作,因为当机构接近奇异形位时,其雅可比矩阵将成为病态的矩阵,此时雅可比矩阵的逆矩阵精度降低,从而使机构的输入和输出运动之间的传递关系失真,造成控制困难 灵巧性是反映机器人运动传递性能的一个重要指标,通常使用机器人的雅克比矩阵条件数来衡量
1 机器人机构及运动学方程
并联机器人的结构如图1所示,机器人的三条变长腿分别与固定铰支座以虎克铰联接与动平台以球铰相联 平行约束机构由两个平行四边形机构组成,迫使动平台上的中心轴线始终与双十字轴的回转轴线C 1C 2平行 这样,动平台就只能分别沿双十字轴的回转轴及约束机构两个回转轴线转动,从而动平台具有三个自由度 固定轴线C 1C 2与水平面呈45 角配置,工作头可以绕动平
台中心轴线转动 这样,工作头上的加工刀具不但可以进行立式加工,将工作头旋转一定角度后还可实现卧式加工
图1 并联机床结构简图
Fig.1 Sketch of the paral lel machine tool
机器人的运动学逆解方程为[10]
L i =
b ix
c 1+b i z s 1+x p -B iX
b ix s 1s 45 -b iz
c 1s 45 +x p -B i Y -b i x s 1c 45 +b iz c 1c 45 +x p -B iZ ,i =1,2,3
(1)
从而得到三根驱动杆的长度为
l i =
l 2
i X +l 2
i Y +l 2
iZ ,i =1,2,3
(2)
式中,b i x ,b iz 为动平台铰链点在动系中的坐标值;B iX ,B i Y ,B iZ 为固定铰链在定系中的坐标值; 1=arctan
2x p
z p -y p
2 雅可比矩阵
雅可比矩阵是机器人的一个重要参数 它是指从关节空间向操作空间运动速度传递的广义传动比[5,9]
;是机器人速度分析、受力分析和误差分析的基础
由方程(1)可以得出机器人的雅可比逆矩阵为
J
-1
=
J 11J 12J 13J 21J 22J 23J 31
J 32J 33
(3)
其中,J i 1=e ix +
z -y
2x 2
+(z -y )2
(k iy +k iz );
J i 2=e iy +x
2x 2+(z -y )
2(k iy +k iz );
J i 3=e iz +x
2x 2
+(z -y )2
(k iy +k iz );e i =L i /l i ;k i =Rb i e i ;i =1,2,3
3 工作空间
工作空间是指并联机器人正常工作时,末端执行器在空间运动的最大范围 工作空间从几何方面描述并联机器人的工作能力,是并联机器人性能的
重要指标和进行机构设计、运动规划的重要依据 机器人工作空间的大小和形状主要取决于杆长的变化范围、平行约束机构中三个回转铰的转角变化范围及球铰和虎克铰的转角变化范围
由仿真得到的工作空间图(图2)可以看出该机器人的工作空间大致呈倒立的四方锥台形,有效空间大,并且关于x 轴对称
图2 并联机器人的工作空间Fig.2 Workspace of the paral lel robot
4 机构的奇异性
当机器人处于奇异位形时,机构的实际自由
度不再与理论自由度相等 即存在两种情况:一是
机构丧失了应有的自由度,二是机构获得了额外的自由度 机构自由度的丧失意味着机构某种功能的丧失;机构获得额外自由度则导致机构失控
一般而言,奇异是有害的 机构奇异性研究的内涵体现在两个方面:找出确定机构的所有奇异位形,以及如何有效的避免机构奇异 研究机构奇异的方法主要有两种:代数法和几何法 代数法就是以雅可比矩阵行列式det (J )为操作对象,当det (J )=0时,表明机构处于奇异位置,机构丧失一个以上自由度 几何法则是将机构的各分支运动链的运动副轴线抽取出来形成一个空间线丛,机构奇异的研究就转化为空间线丛的相关条件研究 Grassmann 线几何法是典型的代表 并联机器人的设计和应用首先应避开奇异及其附近位形 本文采用机构的可操作度指标来研究并联机器人的奇异性问题
可操作度是将雅可比矩阵与其转置乘积的行列式作为评价机器人操作能力的指标 即W =
det (J J T ) (4)
当W =0时,可判断机器人处于奇异形位,当W
= 时,可判断机器人处于不定形位,当W 0且W 时,机器人处于非奇异形位,而且W 的值能直观的反映机器人远离奇异形位和不定形位的程度
由工作空间分析知道,X ,Y ,Z 分别在(-856 54,856 54),(-1787 40,-853 12),(-80 15,944 69)范围内变化,图3是用可操作度指标在matlab 下进行仿真的部分结果 由仿真结果知,并联机器人在整个工作空间内的可操作度变化范围处于0 8<W <2 45之间 说明机器人在工作空间中没有奇异形位和不定形位,具有良好的可操作性
图3 并联机器人的可操作度Fig.3 Operabili ty of the parallel robot
(a) Z =350mm;(b) Y =-1400mm;(c) X =0mm
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第11期 孟祥志等:一种新型并联机器人的运动性能
5 机构的灵巧性
机器人运动的灵巧性是指该系统在当前位姿状态下沿指定方向运动的能力 系统若能以较小的关节速度使执行器沿指定方向获得较大的运动速度,则认为沿此方向机器人的运动灵巧性好,反之认为机器人运动灵巧性差
为了定量的分析操作器的灵巧性和运动反解精度,Salisbury等提出了采用雅可比矩阵条件数来作为机器人的灵巧度,Yoshikaw a提出用可操作度来衡量操作器的灵巧性,这两种方法本质上都是通过对雅可比矩阵处理而得到的 由于矩阵的行列式的值并不能代表矩阵求逆的精度和稳定性,而矩阵的条件数则可以定量地表示矩阵求逆的精确度和稳定性 因此用操作度衡量机构的灵巧性有一定的缺陷,用矩阵条件数来表示机器人的操作灵巧性比较合理
机构驱动杆的速度和执行器的速度有如下关系
v p=Jv l (5)若驱动杆的输入速度有一增量 v l,则执行器的速度也有一增量 v p,则有
v p v p J J-1
v l
v l (6)
式中, 表示任意矩阵范数,J J-1就称为雅可比矩阵的条件数,用C(J)表示 它衡量雅可比矩阵的逆矩阵的精确度,它的取值范围是1 C(J) ,C(J)值越大,驱动杆伸缩速度相对变化对执行器速度相对变化的影响就越大,此时, C(J)是这种变化的放大因子 在进行机器人机构设计时,应该使机构的雅可比矩阵的条件数在其操作范围内尽量为较小的值 当条件数为1时,机构处于最佳的运动传递性能,称机构的这一形位为运动学各向同性 当雅可比矩阵的条件数是无穷大时,机构处于特殊形位
矩阵条件数的计算式还可以表示为
C(J)= M/ m (7)其中, M, m分别为矩阵的最大和最小特征值 图4为用雅可比矩阵的条件数指标在matlab 下进行仿真的部分结果 由仿真结果知,并联机器人在整个工作空间内的雅可比矩阵条件数的变化范围处于1 0<C(J)<6 2之间,并且C(J)在随X
,Y,Z轴变化时没有突变,说明该机构运动灵巧性好
图4 机器人的雅可比矩阵条件数
Fig.4 C ondi tion number of the Jacobi an matrix
(a) Z=350mm;(b) Y=-1400mm;
(c) X=0mm
6 结 论
(1)本文介绍的并联机器人具有较大的工作空间,并且工作空间关于x轴对称
(2)该机器人在整个工作空间内可操作度在(0 8,2 45)内变化 说明机器人在整个工作空间中没有奇异形位和不定形位,具有良好的可操作性
(3)并联机器人在整个工作空间内雅可比矩阵条件数在(1 0,6 2)内变化,并且C(J)在随X,Y,Z轴变化时没有突变,说明该机构运动灵巧性好
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Kinematic Behavior of a New Parallel Robot
M EN G X iang -z hi 1,W U Yi 1,L I U Zhi -f eng 2,CA I Guang -qi 1
(1.School of M echanical Engineer ing &A utomation,N ortheastern U niversity ,Shenyang 110004,China; 2.Beijing U niversity of T echnolo gy,Beijing 100022,China.Corr espondent:M EN G Xiang -zhi,E -mail:mex iz1972@)Abstract:A newly developed 3-leg par allel robot was concer ned with its kinematic behavior ,of w hich t he related equations and Jacobian matr ix were presented wit h its wor kspace analyzed.T he singular ity and smartness of t he robot mechanism were discussed by w ay of ascertaining the indices of operability and condition number of Jacobian matrix.T he r esults of simulation show that the robot has workspace sy mmetrical about X -axis.T he robot s oper ability W varies in a range from 0 8to 2 45w ithin its whole workspace,i.e.,an ex cellent operability w ithout singular/uncertain position.M eanwhile,t he matrix condition number C (J )varies in a rang e from 1 0to 6 2without sudden break if picking up any coordinated axis (X ,Y ,Z )to indicate its v alue.T hese r ev eal that the robot is of high kinematic smartness.
Key words:parallel robot;Jacobian matrix ;w orkspace;singular ity;operability;smartness
(Received M ay 13,2003)
待发表文章摘要预报
一类不确定线性系统区域稳定的可靠控制
王福忠,姚 波,张嗣瀛
针对具有不确定性的线性定常系统,提出了考虑执行器故障的圆盘极点可靠配置问题 在更一般、更实际的执行器故障模型的基础上,给出了将极点配置到指定圆盘内可靠控制存在的充分条件 通过求解L M I 完成状态反馈可靠控制器的设计 利用仿真实例验证了本文提出设计方法的可行性,并且通过与不考虑故障和不确定因素的系统比较,进一步说明对系统进行可靠极点配置的必要性
非线性大系统的弱能观性韩志涛,段晓东,张嗣瀛
将非线性系统的弱能观性的方法应用于非线性大系统,提出了非线性大系统的弱能观性的定义及非线性大系统的弱能观性的条件 由非线性子系统的弱能观性得到了非线性大系统的弱能观性 这个问题是非线性系统的一些重要问题之一
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孟祥志等:一种新型并联机器人的运动性能。