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[机密]2015年 4月19日前
重庆市育才中学学业调研抽测(第二次)
数学试题卷（文科）
数学试题卷（文科）共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.
1．已知2
{|23,},{|10,}A x x x x R B x x x R =<∈=->∈，则A B ⋂=
A ．(0,1)
B ．3
(0,2 C ．2(,2)3 D ．3(1,2
2．已知,a b R ∈且a b >，则下列不等式成立的是
A ．1a b >
B ．22
a b > C ．lg()0a b -> D ．1122a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3．设等差数列{}n a 的公差d 不为0．若118a =，且148,,a a a 成等比数列，则公差d =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4
．已知||a =v (1,3)b =-v
，且10a b ⋅=v v ，则向量a v 与向量b v 的夹角为
A ．30o
B ．60o
C ．120o
D ．150o
5．已知,a b R ∈,则“4ab =”是“直线210x ay +-=与210bx y ++=平行”的
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知实数,x y 满足条件24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
，，，则2z x y =+的最小值为
A ．
4
3
B ．4
C ．2
D ．3
7．若函数()sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<
的图象向左平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函数 ()f x 在[0,]2
π
上的最小值为
A ．
32 B ．12 C ．1
2
- D ．32- 8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为
A ．2
B ．
23 C ．4
3
D ．4 9．在如图所示的程序框图中，若输出的S 值等于16，则在该程序框图中的 判断框内填写的条件为
A ．5i >
B ．6i >
C ．7i >
D ．8i >
10．设(,0)F c 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，点B 的坐标为
(0,)b ．若圆222()(0)x c y r r -+=>与双曲线的渐近线相切，且3FB r ≥||，
则该双曲线的离心率e 的取值范围是
A ．2](1，
B ．[2,)+∞
C ．(1,3]
D ．[3,)+∞
二．填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 11．函数2()ln(1)4f x x x =-+-的定义域为 ． 12．某商场在今年春节期间的促销活动中，对正月初三9时
至14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方 图．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至 12时的销售额为 万元．
13．已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则
函数()f x 在区间]53[，
－上取得极大值时，x 的取值 为 ．
14．若复数z 满足2
34z i =--，且z 在复平面内对应的点位
于第二象限，则z = ．
15．已知函数2(0),()1(0)
x e x f x x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩，若方程()1f x ax -=
有三个实根，则实数a 的取值范围是 ．
三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理
8题图
9题图
12题图
13题图
-1
过程，并答在答题卡相应的位置上．
16. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）
已知数列{}n a 的前n 项和*11
()2
n n n S a a n N +=∈，其中11,0n a a =≠． （Ⅰ）求234,,a a a ；
（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 个偶数项的和n T ．
17. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
某区今年春季运动会共有5场篮球比赛，其中甲、 乙两运动员得分的茎叶图如图所示．
（Ⅰ）求甲、乙两名队员得分的平均值和方差，并
判断哪一个队员的成绩更稳定；
（Ⅱ）在甲队员的得分中任选两个得分，求恰有一
个得分不低于平均分的概率．
18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）
设,,a b c 分别是锐角ABC ∆的角,,A B C
2sin 0c A -=． （Ⅰ）求角C 的值；
（Ⅱ）若c =
5a b +=，求ABC ∆的面积S ．
19. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问4分．）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥底面ABCD ，,M N 分别为,PA BC
的中点，且PD AD == （Ⅰ）求证：//MN 平面PCD ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅲ）求三棱锥P ABC -的体积．
20. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
已知函数()ln (1)f x m x m x =+- ()m ∈R ．
（Ⅰ）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f
处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围． 21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率e 为1
2，过
1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△2MNF 的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
P
D
M
A
B
N
C
19题图
（Ⅱ）设直线2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅=u u u v u u u v
．过点O 作
直线2l 的垂线，垂足为Q ，求点Q 的轨迹方程．
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重庆市育才中学学业调研抽测(第二次) 数学试题（文科）参考答案
一、选择题：1～5:D D A B C; 6～10：C D B A A ．
二、填空题：11．(1,2]， 12. 10， 13．2， 14．12i -+， 15．(1,)+∞． 三、解答题： 16. 解：（Ⅰ）∵*11
()2
n n n S a a n N +=
∈，11,0n a a =≠， ∴1121
2
a a a =
，即22a =；……………………………………………………2分 同理343,4a a ==．……………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵112n n n S a a +=
，∴1112111
22
n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-，……8分 ∵0n a ≠，∴10n a +≠，∴*
22()n n a a n N +=+∈，即22=-+n n a a ，
∴数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列．……………………………10分 又由（Ⅰ）知，22a =，∴n n a n 2)1(222=-+=， ∴222()(22)
(1)22
n n n a a n n T n n n ++=
==++＝n ． ……………………13分
17．解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲、乙的得分分别为：
甲：9，11，12，15，28； 乙：7，10，15，19，24．
∴1(911121528)155x =
++++=甲，1
(710151924)155
x =++++=乙． ∴甲、乙的平均值相同． ………………………………………………………2分
222222
1[9151115121515152815]465s ++++甲＝（－）（－）（－）（－）（－）＝
222222
1[7151015151519152415]37.25
s ++++乙＝（－）（－）（－）（－）（－）＝
……………………………………………………………………………………6分
∵22
s s >甲乙，故乙队员的成绩比甲队员的成绩稳定．………………………7分
（Ⅱ）在甲队员的得分中任意抽取两个得分的情形为：
)28,15(),28,12(),15,12(),28,11(),15,11(),12,11(),28,9(),15,9(),12,9(),11,9(
共有10种情形．…………………………………………………………………9分
而恰有1个分数不低于平均分15分的有：
)28,12(),15,12(),28,11(),15,11(),28,9(),15,9(
共有6种情形 ……………………………………………………………………11分
∴所求概率6.010
6
＝＝
P ． ………………………………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵ABC ∆
2sin 0c A -=，
∴由正弦定理，得2sin sin 0A C A -=，…………………………2分
∴sin C =
．………………………………………………………………4分 故3
C π
=
．……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵5a b +=，∴2
2
225a ab b ++= (1)………………………………7分
又∵c =
3
C π
=
，
∴由余弦定理，得2
2
2cos
73
a b ab π
+-=，即227a b ab +-= (2)…9分
由（1）、（2）两式得：6ab =， ……………………………………………11分
故由三角形的面积公式，得1sin 23S ab π=
= ……………………13分 19．解：（Ⅰ）证明：取AD 的中点E ，连接,ME NE ，
∵,M N 分别为,PA BC 的中点，
∴//,//ME PD NE CD ，………………2分 又∵,ME NE ⊂平面MNE ，ME NE E ⋂=， ∴平面MNE //平面PCD ，……………3分 ∴//MN 平面PCD ．……………………4分 （Ⅱ）证明：∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥．……………………………5分
又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD AC ⊥， ………………………………………6分 ∴⊥AC 平面PBD ，故平面PAC ⊥平面PBD ． ……………………………8分 （Ⅲ）解：∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD 为三棱锥P ABC -的高， ………9分
又∵PD AD ==4ABC S ∆=，…………………………………………10分 ∴三棱锥P ABC -
的体积133
ABC V S PD ∆=
⋅=．…………………………12分 P
D M
A B
N
C
E
20．解：（Ⅰ）当2m =时，()2ln f x x x =+．
22
()1x f x x x
+'=
+=
． ∴(1)3f '=． ………………………………………………………………2分 又∵(1)1f =，
∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-，
即320x y --=． …………………………………………………………4分 （Ⅱ）∵函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且(1)()1m m x m
f x m x x
-+'=+-=
． 当0m ≤时，由0x >知()10m
f x m x
'=
+-<恒成立，得()f x 在区间(0,)+∞上单 调递减． ……………………………………………………………………6分 当m ≥1时，由0x >知()10m
f x m x
'=
+->恒成立，得()f x 在区间(0,)+∞上单 调递增． ……………………………………………………………………8分 当01m <<时，由()0f x '>，得1m x m <-，由()0f x '<，得1m
x m
>-， ∴()f x 在区间(0,
)1m m -内单调递增，在区间(,)1m
m
+∞-内单调递减． ∴当01m <<时，函数
()f x 有最大值，且最大值为：
()ln 11m m
M f m m m m
==---． …………………………………………10分
∵0M >，∴ln 01m m m m
->-，解之得e
1e m >+． …………………11分 ∴m 的取值范围是e
(
,1)1e
+． …………………………………………………12分 21．解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =． ………………………………………2分
∵12
e =
，∴1c =，2
3b =． …………………………………………………3分 ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ……………………………………………4分 （II ）∵0OA OB ⋅=u u u v u u u v
，∴OA OB ⊥．
（1）若直线2l 的斜率不存在，则点Q 在x 轴上．设点Q 的坐标为），（00x ，则 00(,)A x x ，00(,)B x x -.
又∵A ，B 两点在椭圆C 上，∴2200143x x +=，20127
x =． ∴点Q
的坐标为±
（）
,
即||OQ = …………………………………6分 （2）若直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为y kx m =+．
由22,
143y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=．
由0∆>得，2
2
34m k <+．
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122
834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+．……8分
∵OA OB ⊥，∴12120x x y y +=．
∴1212()()0x x kx m kx m +++=，即22
1212(1)()0k x x km x x m ++++=．
∴2222
2
22
4128(1)03434m k m k m k k
-+-+=++． 整理得)1(1272
2+=k m ，满足22
34m k <+．……………………………………9分
又由已知可得，过原点O 与直线2l 垂直的直线方程为x k
y 1
-
=， 解方程组1y x k
y kx m ⎧
=-⎪⎨⎪=+⎩，
，
得点Q 的横坐标与纵坐标分别为m k y m k k x 11,122+=+-=， ∴7
121)1(1)1(2
22
2222222
2
=+=+++=+k m m k m k k y x
．即||OQ =11分 综合（1）、（2）可知，点Q
圆的方程为：2
2
12
7
x y +=
．………………………………………………………12分。