广东省惠州市惠东高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题

惠东高级中学2017级高二下学期4月月考
（理科）数学科试题
本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知i 是虚数单位，复数 ，则z 的虚部为
A ．2
B ．
C ．2i
D ．
2．给出如下三个命题：
①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为“若b a ≤，则122-≤b a ”；
③“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1≤1”．正确的是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则 ＝( )
A ．0
B ．-4
C ．4
D ．8
4．已知 为虚数单位， 表示复数 的共轭复数．若 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5．设⎰=π0sin xdx a ，则6)1x
x a -（的展开式中常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．
6．如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为( )
A ．4π
B ．2π
C ．43π
D ．2
3π 7．类比三角形中的性质：（1）两边之和大于第三边；（2）中位线长等于底边的一半；（3）三内角平分线交于一点； 可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的
4
1；（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点。

其中类比推理结论正确的有 ( )
A ．（1）
B ．（1）（2）
C ．（1）（2）（3）
D ．都不对
8．用数学归纳法证明不等式),1(2
112111*N n n n n n n ∈>>++++++ 的过程中，从k n =到1+=k n 时左边需增加的代数式是 ( )
A ．221+k
B ．221121+-+k k
C ．221121+++k k
D ．1
21+k 9．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务 必须排在前三项执行，且执行任务 之后需立即执行任务 ；任务 、任务 不能相邻.则不同的执行方案共有（ ） A ．36种 B ．44种 C ．48种 D ．54种
10．如图，在直角坐标系 中，过坐标原点 作曲线 的切线，切点为 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A ．e e 22-
B ．e e 21-
C ．e e 2-
D ．e
e 1- 11．21,F F 是双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'1F 在以2F 为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
12．已知 的定义域为 ， ， 为 的导函数，且满足
，则不等式 的解集是（ ）
A ．
B ．
C ．（1，2）
D ．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若n x )2(-展开式的二项式系数之和为32，则展开式各项系数和为______．
14．由曲线22y x =+与3y x =， 1x =， 2x =所围成的平面图形的面积为________________. 15．观察下列各式:
4
741312113
5312112
3211222222<+++<++<+ ......
照此规律,当*N n ∈时<+++++2
22)1131211n （ _________. 16．已知过点()0,1-与曲线()32362a f x x x x =-+
-（0x >）相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是__________.
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17（满分10分）．设函数 .
(Ⅰ) 求曲线 在点 处的切线方程；(Ⅱ) 讨论函数 的单调性；
18（满分12分）．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ， 在 处有极值．
求 的解析式． 求 在 上的最小值．
19（满分12分）．随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机.某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照 ， ，…， 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求图中 的值并求这组数据的平均数
（2）利用分层抽样从手机价格在 和 的人中抽取5人，并从这5人中抽取2人进行访谈，求抽取出的2人的手机价格在不同区间的概率
.
20（满分12分）．如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形， ， ， .
（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.
21（满分12分）．已知椭圆)0(122221>>=+b a b
y a x C ：的离心率为22，抛物线 的准线被椭圆 截得的线段长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，点 、 分别是椭圆 的左顶点、左焦点，直线 与椭圆 交于不同的两点 、 （ 、 都在 轴上方）．且 ．证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
22（满分12分）．已知函数()22x f x e ax =-，a R ∈。

（1）若()f x 在(0,+∞)上单调递增,求a 的取值范围；
（2）若()f x 在(0,+∞)上存在极大值M ,证明： .
惠东高级中学2017级高二4月月考
理科数学答题卡。