2021届甘肃省武威第六中学高三上学期第二次过关考试数学试题(理)(解析版)

甘肃省武威第六中学2021届高三上学期第二次过关考试
数学试题（理）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知2{|60A x x x =+-，}x ∈R ，{|15B x x =<，}x R ∈，则(
)
R
A B =（ ）
A. (3-，5]
B. (1,2)
C. [3-，5]
D. (1，2]
『答案』B
『解析』由()()2
6320x x x x +-=+-≥，解得3x ≤-或2x ≥，
所以{|3A x x =≤-或}2x ≥， 所以{}R
|32A x x =-<<，
所以
(
)R
A B =(1,2).
故选：B.
2. 已知i 是虚数单位，复数61i
z i
=-，则z 的虚部为（ ） A. 3- B. 3
C. 2-
D. 2
『答案』A 『解析』()()()
()6163133111i i i z i i i i i i ⨯+=
==+=-+--+， 所以33z i =--，其虚部为3-， 故选：A.
3. “θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
『答案』A
『解析』当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，
当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，
所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件. 故选：A.
4. 已知命题p ：∀x ∈R ，x+1x ≥2；命题q ：∃x 0∈π
[0,]2
，使sin x 0+cos x 0，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p ∨(q ⌝) B. p ∧(q ⌝) C. (⌝p )∧(q ⌝) D. (p ⌝)∧q
『答案』D
『解析』对于命题p ：当x ≤0时，x +
1
x
≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则p ⌝是真命题；
对于命题q ：当x 0=
4π时，sin x 0+cos x 04x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭q 是真命题.
结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题. 故答案为：D.
5. 如果cos(2π)α-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，那么tan(π)α-=（ ）
A
2
3 B. 23
-
C.
D. 『答案』C
『解析』依题意cos(2π)cos αα-=， 由于,02πα⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，
所以2
sin 3
α==-，
所以sin tan
cos ααα=
==
所以()tan πtan αα-=-=. 故选：C.
6. 函数(
)sin 2x x
y e e
x -=-的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
『答案』A 『解析』
()()sin 2x x y f x e e x -==-
其定义域为R
()()()()sin 2sin 2x x x x f x e e x e e x f x ---=--=-=-
根据奇函数性质()()f x f x -=-可得，(
)sin 2x
x
y e e
x -=-是奇函数
故排除B ，C.
当6x π
=，66666
66sin 2si 36n
f e e e e e e ππππππ
πππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
根据指数函数x
y e =是单调增函数，可得66
e e
π
π-
>
∴6
606f e e ππ
π-⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当2x π
=，2
222222sin 2sin 002f e e e e e e ππππππ
πππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故只有A 符合题意 故选：A.
7. 下列函数中，既是偶函数又在0,上是单调递增的是（ ） A. cos y x = B. x
y e
-=
C. ln y x =
D. 3y x =
『答案』C
『解析』选项D 为奇函数，不合题意, D 不正确；
当0x >时，cos y x =是周期函数，不是单调函数，不合题意，A 不正确； 当0x >时，=x
x y e
e --=是减函数，不合题意,B 不正确；
当0x >时，ln =ln y x x =是增函数，符合题意,C 正确. 故选：C
8. “里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M 地震释放的能量E （单位：焦耳）之间的关系为：216
lg 35
M E =-.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，
2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为1E ，
2E ，则1
2
E E 的值为（ ） A. 0.610 B. 0.610- C. 0.410 D. 0.410-
『答案』B
『解析』由于216lg 35M E =-，所以3
24
25216324
lg ,lg ,103525
M E M E M E +=+=+=，
所以()()112232433
25
7.680.61223242
25
1010101010M M M M E E +-⨯--+====.
故选：B.
9. 已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b a c << B. a c b <<
C. c a b <<
D. c b a <<
『答案』B
『解析』551
log 2log 2
a =<=
， 0.50.5log 0.2log 0.51b =>=，
而0
0.2
1110.50.50.52
c =>=>=
， 所以a c b <<. 故选：B.
10. 已知函数()sin(),(0)6
f x x π
ωω=+
> 图象上相邻两条对称轴的距离为
2
π
，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移53
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ） A. ()cos 4g x x =- B. ()cos 4g x x =
C. ()cos g x x =-
D. ()cos g x x =
『答案』D
『解析』依题意，
22
T π=，所以T π=，所以2π
πω=，解得2ω=，所以()sin(2)6
f x x π
=+．把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到
曲线sin()6y x π
=+
，再把曲线sin()6
y x π
=+向右平移53π
个单位长度，得到曲线
5sin()36
y x ππ
=-
+，即cos y x =，故()cos g x x = 故选：D ．
11. 已知函数2()log f x x =，()2g x x a =+，若存在121
,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()12f x g x =，
则a 的取值范围是（ ）
A. [5,0]-
B. (,5][0,)-∞-+∞
C. (5,0)-
D. (,5)(0,)-∞-⋃+∞ 『答案』A 『解析』当12≤x ≤2时，log 21
2
≤f （x ）≤log 22，即﹣1≤f （x ）≤1，则f （x ）的值域为『﹣1，1』， 当
12≤x ≤2时，21
2
⨯+a ≤g （x ）≤4+a ，即1+a ≤g （x ）≤4+a ，则g （x ）的值域为『1+a ，4+a 』， 若存在12122x x ，，⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得f （x 1）＝g （x 2），
则『1+a ，4+a 』∩『﹣1，1』≠∅， 若『1+a ，4+a 』∩『﹣1，1』＝∅， 则1+a ＞1或4+a ＜﹣1，
得a ＞0或a ＜﹣5，
则当『1+a ，4+a 』∩『﹣1，1』≠∅时，﹣5≤a ≤0， 即实数a 的取值范围是『﹣5，0』， 故选A ．
12. R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ） A. ()(),00,2∞⋃-
B. ()(),02,-∞+∞
C. ()0+∞，
D. (),2∞-
『答案』D
『解析』令()()x
x
F x e f x e =-，
则()()()()()1x
x
x
x
F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，
因为()()1f x f x '+>，所以()()()0x F x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，
所以函数()F x 在R 上单调递增，
又()20f =，所以()()2
2
2
22F e f e e =-=-
故当2
()x
x
e f x e e <-时，有2
()x
x
e f x e e -<-，即()()2F x F <，
由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.
=⎰
__________．
『答案』
4
π
『解析』根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积
则
4
π
=
14. 已知角α的终边经过点1,33⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则sin 2α=________．
『答案』
9
『解析』由于角α
的终边经过点1,33⎛ ⎝⎭
1=，
所以1
sin ,cos 33
αα=
=，
所以1sin 22sin cos 2339
ααα==⨯⨯
=
故答案为：
9
15. 设函数2,(2)()2,(2)3
x x f x x x x ⎧<⎪
=⎨≥⎪+⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是________．
『答案』(0,2)
(3,)+∞
『解析』当2x <时，()2x
f x =单调递增，且2224x <=，由021x >解得002x <<.
当2x ≥时，()()2366233x f x x x +-=
=-
++单调递增，()00
6213f x x =->+， 0006
1,36,33
x x x <+>>+. 综上所述，0x 的取值范围是(0,2)(3,)+∞.
故答案为：(0,2)
(3,)+∞
16. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，()1
2
x f x -=，有下列命题：①2是函数()f x 的周期；②函数()f x 在()
2,3上是增函数；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴.其中所有正确命题的序号是__________. 『答案』①②④
『解析』用1x +换()()11f x f x =+-中的x ，得()()2f x f x +=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，故①正确；又函数()f x 是定义在R 上的偶函数且[]0,1x ∈时，
()12x f x -=，
作出函数()f x 的部分图象如图所示
由图知，函数()f x 在()2,3上是增函数，故②正确；函数()f x 的最大值是1，最小值是1
2
， 故③错误；直线2x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故④正确. 故答案为：①②④.
三、解答题（本大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）
17. 设p ：方程210x mx ++=有两个不等的实根，q ：不等式()2
44210x m x +-+>在R
上恒成立，若p ⌝为真，p q ∨为真，求实数m 的取值范围． 解：
P ⌝
为真，p q ∨为真
p ∴为假，q 为真
若P 为真命题，则2
140m ∆=->，2m ∴<-或2m >
P ∴为假时，22m -≤≤，①
若q 为真命题，则()2
2162160m ∆=--<，即13m <<，②
由①②可知m 的取值范围为12m <≤
18. 已知函数2π
()sin(2)4
f x x x =--．
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）若方程()m f x =在[0x ∈，π
]2
上有解，求m 的取值范围．
解：（1）函数2
()sin(2)4
f x x x π
=--．
2x x x =-+
2x x =
+sin(2)4x π=+，
令222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
++
+∈，解得：3()88
k x k k Z ππ
ππ-
++∈， 函数的单调递增区间为：3πππ,π()88k k k Z ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
，
（2）由于：02
x
π
，则：
52444x π
π
π+
，故()12
f x ．
所以m 的取值范围是：12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
． 19. 已知函数()cos x f x e x x =-.
（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[0,
]2
π
上的最大值和最小值.
解：（1）因为()e cos x
f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x
f x x x f '
'
=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.
（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x
h x x x x x x '=---=-，
当π(0,)2
x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2
上单调递减，
所以对任意π[0,]2
x ∈有()(0)0h x h ≤=，即()0f x '
≤，
所以函数()f x 在区间π[0,]2
上单调递减，
因此()f x 在区间π[0,]2
上的最大值为(0)1f =，最小值为()2
2
f ππ
=-
.
20. 设函()()1f x x a nx x a =+-+，a R ∈． （1）设()()g x f x ='，求函数()g x 的极值；
（2）若1
e
a ，试研究函数()()1f x x a nx x a =+-+的零点个数． 解：（1）
()()1f x x a nx x a =+-+，a R ∈，
()()a g x f x lnx x ∴='=+
，0x >．∴221()a x a
g x x x x
-'=-=， ①当0a 时，()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上是增函数，无极值． ②当0a >时，x a =，
当(0,)x a ∈时，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，()g x 单调递增，
()g x ∴的极小值()g a 1lna =+，无极大值．
（2）由（1）知，当1e a
时，()g x 的极小值()g a 1
110lna ln e
=++=， 结合()g x 的单调性可知()0min g x ，即()0f x '恒成立．()f x ∴在(0,)+∞上是增函数， 1111()()f a ln a e e e e =+-+112
0a a e e e
=---+=-<， ()f e ()e a lne e a =+-+2
20e a e a a
e
=+-+=>， ()f x ∴在1
(e
，)e 中有一个零点，
∴函数()()1f x x a nx x a =+-+的零点个数为1个．
21. 设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性； （2）求使得11()e x
f x x
->-在区间(1,)+∞内恒成立（e 2.718=为自然对数的底数）的a
的取值范围．
解：（1）由题意，2121
()2ax f x ax x x
-'=-=，0x >，
①当0a 时，2210ax -，()0f x '，()f x 在(0,)
+∞上单调递减． ②当0a >时，
()f x '，当
x ∈时，()0f x '<， 当x ∈)+∞
时，()0f x '>， 故(
)f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．
（2）原不等式等价于11()0x f x e x --
+>(1x ∈．)+∞上恒成立， 一方面，令12111()()x x g x f x e ax lnx e a x x
--=-+=--+-， 只需()g x 在(1x ∈，)+∞上恒大于0即可，
又g （1）0=，故()g x '在1x =处必大于等于0． 令1211()()2x F x g x ax e x x -='=-
+-，g '（1）0，可得12a ． 另一方面，当12a 时，311123233
12122()21x x x x x F x a e e e x x x x x ---+-'=+-++-+=+， (1,)x ∈+∞，故320x x +->，又10x e ->，故()F x '在12a 时恒大于0． ∴当12
a 时，()F x 在(1,)x ∈+∞单调递增． ()F x F ∴>（1）210a =-，故()g x 也在(1,)x ∈+∞单调递增． ()g x g ∴>（1）0=，即()g x 在(1,)x ∈+∞上恒大于0． 综上，12
a ． 22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22
1164
y x +=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()33
πρθ+=. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；
(2)设(,)M x y 为椭圆C 上任意一点，求1y +-的最大值.
解：(1)由sin 33πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，得1sin cos 32ρθρθ+=，
将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得直线l 60y +-=. 椭圆C 的参数方程为2,(4x cos y sin φφφ
=⎧⎨=⎩为参数）. (2)因为点M 在椭圆C 上，所以设()2cos ,4sin M φφ，
则14sin 18sin 193y φφφπ⎛
⎫+-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭
，
π
⎛⎫
+=- ⎪
⎝⎭时，取等号，所以
max
19
y
+-=.
当且仅当sin1
3
φ。