高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法课件 新人教A版必修4

算、向量模的公式：|a|＝___x_2_＋__y_2__.
目 2．直线的方向向量和法向量
(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量为 (1，k) ，法向量为(k，－1) ．
(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 (B，－A) ，法向量为
(A，B) .
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探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角
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时 栏 目
(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量：如果向量 v 与直线 l 共线，则称 向量 v 为直线 l 的方向向量． 对于任意一条直线 l：y＝kx＋b，在它上面任取两点 A(x0，y0)， B(x，y)，则向量A→B＝(x－x0，y－y0)与直线 l 共线，即A→B为直 线 l 的方向向量．由于(x－x0，y－y0)＝x－1 x0(1，xy－ －yx00)＝ x－1 x0(1，k)，所以向量(x－x0，y－y0)与向量(1，k)共线，从而
栏
目 综上所述，直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量为 v＝(B，－A)．
例如：已知直线 l：2x－y＋1＝0，下列向量： ①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝－12，－1；④v4＝(－2，
－4)．其中能作为直线 l 方向向量的有：_①__③__④___.
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探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系
(1)直线 Ax＋By＋C＝0 的法向量：如果向量 n 与直线 l 垂直，
则称向量 n 为直线 l 的法向量．因此若直线的方向向量为 v，
则 n·v＝0.从而对于直线 Ax＋By＋C＝0 而言，其方向向量为 v
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＝(B，－A)，则由于 n·v＝0，于是可取 n＝(A，B)，这时因为
时 (B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向量也有无数个．
栏
目 (2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的
位置关系：对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋
C2＝0，它们的法向量分别为 n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．
当 n1∥n2 时，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．即 A1B2－A2B1＝0⇔l1∥l2
或 l1 与 l2 重合；
当 n1⊥n2 时，l1⊥l2.即 A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2.
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例如：直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a ＋3)y＋2＝0 垂直，则 a 的值为__±__1____． 开 本 解析 n1＝(a＋2,1－a)，n2＝(a－1,2a＋3)，
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(1)要证明线段 AB＝CD，可转化为证明|A→B|＝|C→D|.
时 栏
(2)要证明 AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数 λ，使得
目 A→B＝λC→D，且 A、B、C、D 不共线即可．
(3)要证明 A、B、C 三点共线，只需证明A→B∥A→C或A→B∥B→C.
(3)应用直线的方向向量求两直线的夹角
已知直线 l1：y＝k1x＋b1 与直线 l2：y＝k2x＋b2，它们的方向向
量依次为 v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)．
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当Байду номын сангаас
v1⊥v2，即
v1·v2＝1＋k1k2＝0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当
时 k1k2≠－1 时，v1·v2≠0，直线 l1 与 l2 的夹角为 θ(0°<θ<90°)．不
栏
目 难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式：
cos θ＝||vv11|·|vv22||＝ 1＋|1＋k12·k1k12＋| k22.
例如：直线 x－2y＋1＝0 与直线 2x＋y－3＝0 的夹角为__9_0_°__；
直线 2x－y－1＝0 与直线 3x＋y＋1＝0 的夹角为__4_5_°__．
x1x2＋y1y2＝0 .
填一填·知识要点、记下疑难点
a·b
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝_|_a_|_|b_|__ x1x2＋y1y2
＝___x_21＋___y2_1 ___x_22_＋__y_22__.
开本
关 课 (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运
时 栏
关课
时 ∵l1⊥l2，
栏
目 ∴n1·n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3) ＝(a－1)(－a－1)＝0， ∴a＝±1.
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探究点三 平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线
共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁
直观．其基本方法是：
填一填·知识要点、记下疑难点
1．向量方法在几何中的应用
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(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共
时
线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔_a_＝__λb_⇔ x1y2－x2y1＝0 .
栏
目
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用
向量垂直的等价条件：非零向量 a，b，a⊥b⇔_a_·b_＝__0_⇔
向量(1，k)是直线 y＝kx＋b 的一个方向向量．
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(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量 当 B≠0 时，k＝－BA，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向
开 本 量(B，－A)是直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量；当 B＝0 时，
关课 时
A≠0，直线 x＝－CA的一个方向向量为(0，－A)，即(B，－A)．
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时 栏 目
2．5.1 平面几何中的向量方法
【学习要求】 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际
问题的过程． 开 本 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 关 课 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
时 【学法指导】
栏
目 由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题 正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系.