高中数学 第一章 集合 1.3.2 全集与补集学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案

1.3．2 全集与补集
1．了解全集、补集的含义及符号表示．(易混点)
2．会求给定集合的补集．(重点)
3．熟练掌握集合的交、并、补运算．(难点)
[基础·初探]
教材整理全集与补集
阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分，完成下列问题．
一、全集
在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．
二、补集
1．补集的概念
设U是全集，A是U的一个子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，文字语言
叫作U中子集A的补集(或余集)，记作∁U A
符号语言若A⊆U，则∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
2．补集的性质
(1)特殊集合的补集：∁U U＝∅，∁U∅＝U；
(2)补集的运算：∁U(∁U A)＝A，A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定是实数集．( )
(2)集合C⊆A，C⊆B，则∁A C＝∁B C.( )
(3)若x∈U，A⊆U，则x∈A，x∈∁U A二者有且只有一个成立．( )
【答案】(1)×(2)×(3)√
2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M＝( )
A．U B．{1,3,5}
C．{3,5,6} D．{2,4,6}
【解析】∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，
∴∁U M＝{3,5,6}．
【答案】 C
3．设全集为R，A＝{x|x>1}，则∁R A＝________.
【解析】∵A＝{x|x>1}，∴∁R A＝{x|x≤1}．
【答案】{x|x≤1}
[小组合作型]
求补集
(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A；
(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁U A，∁U B.
【精彩点拨】(1)先求出∁U A和∁U B，利用数轴解决．
(2)先写出集合U和集合A，再利用交集、补集的定义或Venn图求解．
【尝试解答】(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图)，
可知∁U A＝{x|1<x≤4}，
∁U B＝{x|3<x≤4，或－1≤x≤0}．
结合数轴(如图)．
可知(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}． (2)法一：在集合U 中，
∵x ∈Z ，则x 的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U ＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又A ＝{x |x 2
－2x －15＝0}＝{－3,5}，
B ＝{－3,3,4}，
∴∁U A ＝{－5，－4,3,4}，∁U B ＝{－5，－4,5}． 法二：可用Venn 图表示
则∁U A ＝{－5，－4,3,4}，∁U B ＝{－5，－4,5}．
1．在解答有关集合补集的运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解答过程中要注意边界问题．
2．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常借助Venn 图求解．
[再练一题]
1．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
x ≤0，或x ≥52，
(1)求A ∩B ；(2)求(∁U B )∪P ；(3)求(A ∩B )∩(∁U P ). 【导学号：04100009】 【解】 如图所示．
(1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}； (2)∵∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}，
∴(∁U B )∪P ＝⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬⎫
x ≤0，或x ≥52；
(3)∁U P ＝⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
0<x <52.
(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x ≤2}∩⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭⎬
⎫
0<x <52
＝{x |0<x ≤2}.
交、并、补的综合运算
(1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合
B
＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )
A ．{2,5}
B ．{3,6}
C ．{2,5,6}
D ．{2,3,5,6,8}
(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，求： ①(∁U A )∩B ；②∁U (A ∪B )．
【精彩点拨】 (1)先求出∁U B ，再求A ∩∁U B .
(2)借助数轴，先求出∁U A ，A ∪B ，再分别求(∁U A )∩B ，∁U (A ∪B )．
【尝试解答】 (1)由题意得∁U B ＝{2,5,8}，∴A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． 【答案】 A
(2)B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，把集合A ，B 用数轴表示如图：
①∵∁U A ＝{x |x <2，或x ≥4}，∴(∁U A )∩B ＝{x |x ≥4}． ②∵A ∪B ＝{x |x ≥2}，∴∁U (A ∪B )＝{x |x <2}．
解决集合交、并、补问题时的策略：,1解决与不等式有关的集合问题时，画数轴这也是集合的图形语言的常用表示方式可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.,2解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U A ∩B 时，可先求出∁U A ，再求交集；求∁U A ∪B 时，可先求出A ∪B ，再求补集.
[再练一题]
2．本题(2)中，试求∁U (A ∩B )．
【解】 ∵A ∩B ＝{x |3≤x <4}，∴∁U (A ∩B )＝{x |x <3，或x ≥4}．
[探究共研型]
与集合交、并、补运算有关的求参数问题
探究 1 已知集合A ＝{x |1<x <2}，求∁R A . 【提示】 如图：
由图可知∁R A ＝{x |x ≤1，或x ≥2}．
探究 2 探究1中的集合A 不变，设集合B ＝{x |x <a }，(∁R A )∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．
【提示】 如图：
由图可知a ≥2.
已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的
取值范围．
【精彩点拨】 先求出∁R A ，再列出关于a 的不等式，通过解不等式，求a 的取值范围． 【尝试解答】 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}． (1)若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A . (2)若B ≠∅，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3， 即－1
2≤a <3.
综上可得a ≥－1
2
.
1.解答本题的关键是利用B ⊆∁R A ，对B ＝∅与B ≠∅进行分类讨论，转化为与之等价的不等式(组)求解．
2.补集的性质(∁U A )∪A ＝U ，∁U A ⊆U ，A ⊆U 在解题中经常用到．
[再练一题]
3．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x <－1，或x >0}，若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．
【解】 ∵B ＝{x |x <－1，或x >0}， ∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}．
因而要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a ≤－1.
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{5,6,7}，则∁U(A∪B)＝( ) A．{5,7} B．{2,4}
C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}
【解析】A∪B＝{1,3,5,6,7}，故∁U(A∪B)＝{2,4,8}．
【答案】 C
2．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图1­3­4中阴影部分所表示的集合为( )
图1­3­4
A．{－1,2} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{1,2}
【解析】阴影部分表示的集合为B∩(∁Z A)＝{－1,2}．
【答案】 A
3．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于__________．
【解析】∵M＝{x|－2≤x≤2}，
∴∁U M＝∁R M＝{x|x<－2，或x>2}．
【答案】{x|x<－2，或x>2}
4．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝__________.
【解析】∁U B＝{2}，A∪(∁U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．
【答案】{1,2,3}
5．设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－x－20}，B＝{3,4}，求∁U(A∪B)．【解】∵U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}＝{－5，－4，－3,3,4,5}，
又∵A＝{x|x2－x－20}＝{－4,5}，
∴A∪B＝{－4,3,4,5}，
∴∁U(A∪B)＝{－5，－3}．。