等比数列单元测试题含答案 百度文库

一、等比数列选择题
1．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()
*
122n n a S n N ++=∈，则满
足
2100111
1000
10
n n
S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ）
A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列 B ．13n S n =
C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
3．
“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1
122f - B ．第三个单音的频率为1
42f - C ．第五个单音的频率为162f
D ．第八个单音的频率为1
122f
4．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180
B ．160
C ．210
D ．250
5．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1
4，且a n ＝1n n
b b +，则b 2020＝（ ）
A ．22017
B ．22018
C ．22019
D ．22020
6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=，245
4a a +=，则n n S =a （ ）
A ．14n -
B ．41n -
C ．12n -
D ．21n -
7．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）
A ．3
B ．12
C ．24
D ．48
8．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4
2
S S =（ ） A ．76
B ．32
C ．
2132
D ．
14
9．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312
a ，22a 成等差数列，则
91078a a a a +=+（ ） A 21
B 21
C ．322-
D ．322+10．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)*
21n n n S a a n =+∈N
，且0n
S
>，记
数列{}
2n
n a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．10
D ．1111．题目文件丢失！
12．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-
B ．1
C ．2或2-
D ．2
13．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4
2
5S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．1或2 C ．-2或2 D ．-2或1或2 15．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）
A ．4
B ．－4
C ．±4
D ．不确定
16．正项等比数列{}n a 的公比是1
3
，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14
B ．13
C ．12
D ．11
17．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．
312
或112
B ．
31
2 C ．15
D ．6
18．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，
416a =，则6S ＝（ ）
A ．32
B ．63
C ．123
D ．12619．题目文
件丢失！
20．正项等比数列{}n a 满足2
2
37610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！
23．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．当10
1
a q >⎧⎨
>⎩
B ．10a >
C ．1q >
D ．
1
1n
n a a +< 24．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ） A ．8 B ．12 C ．－8
D ．－12
25．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{
}n
a B ．2
2log ()n a
C ．1{}n n a a ++
D ．12{}n n n a a a ++++
26．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得
64m n a a =，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．数列{}n a 为等比数列
C ．22
212413
n
n a a a -++
+=
D ．m n +为定值
27．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{
}21
n
a n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =
B ．2
21
n a n =
- C ．21
n n
S n =
+ D ．1n n S na +=
28．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有
n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）
A ．等差数列不可能是收敛数列
B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-
C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
一定是收敛数列
29．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为
n S ，则（ ）
A ．2q
B ．2n
n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<
30．已知等比数列{a n }的公比2
3
q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0
B ．a 9＞a 10
C ．b 10＞0
D ．b 9＞b 10
31．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；
32．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2
{}n a 是等比数列
B ．若32a =，732a =，则58a =±
C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列
D ．若数列{}n a 的前n 和1
3n n S r -=+，则1r =-
33．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，991001
01
a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -<
C ．100T 的值是n T 中最大的
D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于198
34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( )
A ．数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和为100
B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =
C ．若
11
16
25n
i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则
116m n
+的最小值为25
12
35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1
n n
n
b a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；
C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；
D ．若112n
n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.
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一、等比数列选择题 1．C 【分析】
根据(
)*
122n n a S n N ++=∈可求出n
a
的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合
不等式可求n 的最大值. 【详解】
1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，21
2
a =
；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n
⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210
n
⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9.
故选：C 2．C 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】
2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
11
3n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，A 正确； 1113S a ==，1
13S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以1
3n S n =，B 正确； 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；
1313n n S +=
，数列113n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 3．B 【分析】
根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】
解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，
1
4
14
22f f -==.
6
6
112
2
f f -
=
=.
所以第五个单音的频率为1122f =.
所以第八个单音的频率为12
6
2f f =
故选：B. 4．C 【分析】
首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】
因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2
155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 5．A 【分析】
根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为
2020
1
b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1
n n n
b a b +=
，所以3201920202020
24
12320182019123
201820191
b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()
()123
201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
22
22019
201910101010
1010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==
所以
20192020
12b b =，又114
b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
6．D 【分析】
根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=
，2454a a +=，
所以2
4135
1
452
2
q a a a a =++==， 因此()()11
1
1111112
21112n n
n
n n n n n n
a q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪
--⎝⎭=
=
==--⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：D. 7．C 【分析】
题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】
根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为
1a ，则有()717
1238112
a S ⋅-=
=-，解得13a =，中间层灯盏数3
4124a a q ==，
故选：C. 8．B 【分析】
由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q
q
---===+---求解. 【详解】
在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得2
12
q =
所以4142
42212(1)1311(1)12
1a q S q q q a q S q q
---===+=---， 故选：B 【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题,
9．D 【分析】 根据1a ，
312a ，22a 成等差数列可得3121
222
a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将
910
78
a a a a ++化简即可求解.
【详解】
因为{}n a 是正项等比数列且1a ，31
2
a ，22a 成等差数列， 所以
3121
222
a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，
解得：1q =+
1q =
(
22
2
2910787878
13a a a q a q q a a a a ++====+++，
故选：D 10．B 【分析】
由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1
122n n T n +=-⋅+，即可得解.
【详解】
由题意，()()*
21n n n S a a n N
=+∈，
当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，
所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，
因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，
所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，
()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，
所以()()2
3
4
1
11212222222
212212
n n
n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=
-⋅=-⋅--，
所以()1
12
2n n T n +=-⋅+，
所以876221538T =⨯+=，9
87223586T =⨯+=，
所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用.
11．无
12．C 【分析】
根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为12a =，且53a a =，所以2
1q =，解得1q =±， 所以9
1012a a q ==±.
故选：C. 13．B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得
515(12)
512a S -==-，解得1531
a =
，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，
由题意得515(12)
512a S -==-，解得1531a =
， 5
(12)
3120
12
n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=
∴该女子所需的天数至少为7天．
故选：B 14．C 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 当1q =时，
41
21
422S a S a ==，不合题意；
当1q ≠时，()
()4142422
2111115111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，解得2q =±. 故选：C. 15．A 【分析】
根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2
x q =，即可求得x 的值. 【详解】
由题意知：216x =，且若令公比为q 时有2
0x q =>，
∴4x =， 故选：A 16．B 【分析】
根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】
解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以2
31a =. 所以31a =，2
11a q ∴=，因为1
3
q =
，所以19a =. 因此()3131131a q S q
-==-.
故选：B 17．B 【分析】
首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+∴，
2332a a =+∴，
解得32a =或31a =-（舍去） 又11
2
a =
， 23
1
4a q a =
=， 解得2q
，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 18．D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2
260q q --=，∴2q 或3
2
q =-（舍去），
∵416a =，∴4
13
2a a q =
=， ∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--， 故选：D.
19．无
20．C 【分析】
利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】
根据题意，等比数列{}n a 满足2
2
37610216a a a a a ++=， 则有22
2
288216a a a a ++=，即()2
2816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ．
二、多选题 21．无 22．无
23．BCD 【分析】
利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】
A ，当10
1a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；
B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；
C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；
D ，若10a >，
1
1n
n a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 24．AC 【分析】
求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】
57216
24
a q q a ==⇒=±， 当2q
时，65428a a q ==⨯=，
当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】
本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 25．AD 【分析】
主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】
1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，
由等比数列的定义知1{}n
a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】
本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．
【分析】
由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数
列前n 项和公式，求出 1
22
212443
n n a a a +-++
+=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式
得到62642m n +==，所以选项D 正确. 【详解】
由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =， 当2n ≥时，1122n n S a --=-，
所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，
所以1
2n
n a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，
故选项A 错误，选项B 正确； 数列{}2
n
a 是以首项214a
=，公比14q =的等比数列，
所以()
()211122
2121
141444114
3
n n n n
a q a a a q +-⨯--++
+=
=
=
--，故选项C 错误； 6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.
故选：BD 【点睛】
本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 27．ABD 【分析】
由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21
n
a n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】
由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即2
21n a n =-，而122211
a =
=⨯-也成立， ∴221n a n =
-，*n N ∈，故数列{}21
n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，
∴111111111121 (133557232121212121)
n n
S n n n n n n =-
+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD
关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21
n
a n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 28．BCD 【分析】
根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】
当0n S >时，取2111222
222n d d d
d d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=
+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r
+->1112222
d
a ra dr r
n N d dr -+
-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错； 对于B ，1
1n n x x q -=，若1q >，则对任意正数r ，
当11log 1q r n x ⎛⎫
+>+ ⎪
⎪⎝⎭
时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立， 若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()1
11n n x x -=-，
只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；
若()1,1q ∈-，取0a =，1
log 11q r
N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
，
当n N >时，1
11
1
0n n r
x x q x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1
sin cos sin 0222
n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比
1
r
更大的正数，
当n N
>=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD
关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 29．ABD 【分析】
由条件可得32
242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.
【详解】
由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q
（负值舍去），选项A 正确；
1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；
()12212221
n n n S +⨯-=
=--，所以102046S =，选项C 错误；
13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．
故选：ABD 【点睛】
本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 30．AD 【分析】
设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】
数列{a n }是公比q 为2
3
-
的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8
912()3
a a =-，9
1012()3
a a =-， ∴a 9•a 102
17
12()3
a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；
∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-
）8＞12+8d ，a 1（2
3
-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <
故 90b <或100b <，且b 1＝12
可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列
的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 31．ABD 【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，
若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，
可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；
对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为
12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，
即为2
2322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，
故C 正确；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，
比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故
D 不正确. 故选：ABD . 【点睛】
本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 32．AC 【分析】
在A 中，数列{}
2
n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，
数列{}n a 是递增数列；在D 中，13
r =-. 【详解】
由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，
22221n n a a q -=，
22221122221n
n n n a a q q a a q
+-∴==是常数， ∴数列{}
2n a 是等比数列，故A 正确；
在B 中，若32a =，732a =
，则58a =，故B 错误；
在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则
01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；
在D 中，若数列{}n a 的前n 和1
3n n S r -=+，
则111a S r ==+，
()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，
1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，
()461r ∴=+，
解得1
3
r =-
，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】
本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 33．ABD 【分析】
由已知9910010a a ->，得0q >，再由
991001
01
a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列
的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·
T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.
【详解】 对于A ，
9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2
981··1a q q ∴>.
11a >，0q ∴>.
又
991001
01
a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；
对于B ，2
99101100100·01
a a a a ⎧=⎨<<⎩，991010?
1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确； 对于C ，由于10099100·
T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误； 对于D ，()()()()19812198119821979910099100·
····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确.
∴不正确的是C .
故选：ABD . 【点睛】
本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．AB 【分析】
由已知可得:43n a n =-,2
2n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为
11111=44341i i a a n n +⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭
,通过裂项求和可求得11
1
n
i i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】
由已知可得:43n a n =-,2
2n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002
+.所以A 正确;
1,a 3,a m a 成等比数列,则2
31=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;
因为
11111=44341i i a a n n +⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭
所以11
11111116
=1=45549413245
1n
i i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++
-> ⎪
++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以
()()1161116116125=1161724121212
12n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.
故选:AB. 【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35．ACD 【分析】
根据新定义进行判断． 【详解】
A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111
111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1
1
10n n a a -+
<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正
确；
B ．31n a n =-，则1
3131n b n n =--
-，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则1
3131
n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，
C 正确；
D ．若112n
n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2
n n n b =-----， 首先函数1
y x x
=-在(0,)+∞上是增函数，
当n 为偶数时，11()(0,1)2
n
n a =-∈，∴10n n
n b a a =-<， 当n 为奇数时，11()2
n
n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1
n n n
b a a =-
也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为1325
0236
b =
-=>， ∴15
6b =
是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。