【鲁教版】初二数学上期中模拟试卷(含答案)(1)

一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140°
3．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12
AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12
EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）
A ．30°
B ．32°
C ．36°
D ．42°
4．以下说法正确的是（ ）
A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1
C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 5．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）
A ．40°
B ．35
C ．30°
D ．45°
6．下列说法正确的（ ）个．
①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．如图，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）
A ．BD ＋ED ＝BC
B ．∠B ＝2∠DA
C C ．A
D 平分∠EDC
D ．ED ＋AC >AD 8．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A ．1，2，4 B ．5，6，11 C ．3，3，3 D ．4，8，12 9．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，
40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④ 10．如图，ABC 中，55,B D ∠=︒是BC 延长线上一点，且130ACD ∠=︒，则A ∠的
度数是（ ）
A ．50︒
B ．65︒
C ．75︒
D ．85︒
11．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A ．20cm 的木棒
B ．18cm 的木棒
C ．12cm 的木棒
D ．8cm 的木棒 12．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A ．3，5，6
B ．3，2，1
C ．2，2，4
D ．3，6，10 二、填空题
13．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，6AC =，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则ACP △周长的最小值为________．
14．如图，∠MON=30°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点123B B B 、、…在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为1a ，第2个等边三角形的边长记为2a ，以此类推．若11OA =，则2021a =____．
15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．
16．如图，ABC ADE ≅，延长BC ，分别交AD ，ED 于点F ，G ，若
120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，则CFD ∠=________︒．
17．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．
18．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，DAF ∠=________．
19．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则
DAE ∠的度数为_________．
20．如图，AB BE ,分别是ABC 中,BC AC 边上的高，6cm BC ，4cm AC =，若3cm =AD ，则BE 的长为__________cm ．
三、解答题
21．在等边ABC 中，D E 、分别为AB AC 、边上的动点，以DE 为一边作等边DEF ．
（1）如图1，若等边DEF 的顶点F 恰好在BC 上，求证：ADE CEF ≌；
（2）如图2，若2BD AE =，当点D 从点A 向点B 运动（不运动到点B ）时，连接CF ，请判断ECF ∠的大小是否变化并说明理由．
22．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．
（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；
（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．
23．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．
24．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．
（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______；
（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______，根据图2证明你的猜想；
（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）
25．如图，已知点D ，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，//DE BC ．
（1若80ABC ∠=︒，40AED ∠=︒，求A ∠的度数：
（2）若180BFD CEF ∠+∠=︒，求证：EDF C ∠=∠．
26．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
【详解】
解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=12
×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；
∵∠B=∠BAD ，
∴DA=DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
在直角△ACD 中，∠CAD=30°，
∴CD=12
AD ， ∴BC=CD+BD=
12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224
ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344
DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=
⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个
故选：B ．
【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
2．C
解析：C
【分析】
根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
3．B
解析：B
【分析】
根据题中作图知：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，
∵DM 垂直平分AB ，
∴AD=BD ，
∴∠A=∠ABD ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，
∴∠A=32︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据
题意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
对每个选项一一分析即可得到正确答案．
【详解】
解：A、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半；
B、错误，例如a =1，b=2，满足a +b = 3 ，ab = 2，但不满足a -b = 1；
C、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据已知ACB≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．
【详解】
解：∵ACB≌A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，
∵∠ACB′=100︒，
∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，
∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．
【详解】
解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；
②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；
③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.1＜3.2，因此③正
确；
④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；
所以正确的只有③，
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提．
7．B
解析：B
【分析】
利用角平分线的性质定理判断A；利用直角三角形两锐角互余判断B；证明
△AED≌△ACD，由此判断C；利用三角形三边关系得到AC+CD>AD，由此判断D．
【详解】
∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DE=DC，∠BAD=∠DAC，
∵BD+DC=BC，
∴BD+ED=BC，故A正确；
∵∠C=90︒，
∴∠B+∠BAC=90︒，
∴∠B+2∠DAC=90︒，故B错误；
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠C=90︒,
又∵∠BAD=∠DAC，DE=CD，
∴△AED≌△ACD，
∴∠ADE=∠ADC，
∴AD平分∠EDC，故C正确；
在△ACD中，AC+CD>AD，
∴ED＋AC>AD，故D正确；
故选：B．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A 、1+2<4，不能构成三角形；
B 、5+6=11，不能构成三角形；
C 、3+3>3，能构成三角形；
D 、8+4=12，不能构成三角形．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于最大的数．
9．B
解析：B
【分析】
由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：
AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分
BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．
【详解】
∵40AOB COD ∠=∠=︒，
∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠
即AOC BOD ∠=∠
在AOC △和BOD 中
OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
AOC BOD ≅（SAS ）
∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；
∴OAC OBD ∠=∠，
由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，
∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；
作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：
则90OGC OHD ∠=∠=，
在OCG 和ODH 中
OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
OCG ODH ≅（AAS ），
∴OG=OH
∴MO 平分BOC ∠，④正确；
∴AOB COD ∠=∠
∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，
假设∠=∠DOM AOM
∵AOC BOD ≅
∴COM BOM ，
∵MO 平分BMC ∠
∴∠=∠CMO BMO ，
在COM 和BOM 中 OCM BOM OM OM
CMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴
COM BOM ≅（ASA ）
∴OB=OC ，
∵OA=OB ，
∴OA=OC ，
与OA OC >矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据三角形的外角性质求解．
【详解】
解：由三角形的外角性质可得：
∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD-∠B=130°-55°=75°，
故选C．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质定理并能灵活运用是解题关键．11．C
解析：C
【分析】
设选取的木棒长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．
【详解】
解：设选取的木棒长为xcm，
∵两根木棒的长度分别为5cm和13cm，
∴13cm-5cm＜x＜13cm+5cm，即8cm＜x＜18cm，
∴12cm的木棒符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
12．A
解析：A
【分析】
根据三角形三边长关系，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. ∵3+5＞6，∴长度为3，5，6的三条线段能组成三角形，故该选项符合题意，
B. ∵1+2=3，∴长度为3，2，1的三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意，
C. ∵2+2=4，∴长度为2，2，4的三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意，
D. ∵3+6＜10，∴长度为3，6，10的三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意，故选A
【点睛】
本题主要考查三角形三边长的关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键．
二、填空题
13．18【分析】因为BC的垂直平分线为DE所以点C和点B关于直线DE对称所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值再结合题目的已知条件求出AB的长即可【详解】解：如图∵P为BC边的垂直平分线DE上一
解析：18
【分析】
因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【详解】
解：如图，
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，
∵AP+CP=AP+BP=AB=12，
∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18，
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．14．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出
A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出
A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2即：a1=1a2=2a3
解析：2020
2
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2，即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，进而得出答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1=1，
∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A 2B 2=2B 1A 2=2，A 3B 3=2B 2A 3，
∴A 3B 3=4B 1A 2=4，
A 4
B 4=8B 1A 2=8，
A 5
B 5=16B 1A 2=16，
即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，
，
以此类推：a n =2n-1．
∴2021a =20202，
故答案是：20202． ．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．
15．5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时当AQ=10时利用全等三角形的判定及性质定理得到结论【详解】分两种情况：当AQ=5时
∵∴AQ=BC ∵AD ⊥AC ∴∠QAP=∠ACB=∵AB=PQ ∴≌△PQA （
解析：5或10
【分析】
分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．
【详解】
分两种情况：
当AQ=5时，
∵5
BC=，
∴AQ=BC，
∵AD⊥AC，
∴∠QAP=∠ACB=90︒，
∵AB=PQ，
∴ABC≌△PQA（HL）；
当AQ=10时，
AC=，
∵10
∴AQ=AC，
∵AD⊥AC，
∴∠QAP=∠ACB=90︒，
∵AB=PQ，
∴△ABC≌△QPA，
故答案为：5或10．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
16．95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定
解析：95
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
≅，
解：∵ABC ADE
∴()
∠=∠=-÷=，
12010255
BAC DAE
∴85
∠=∠+∠=，
ACF BAC B
∴18085
∠=-∠-∠=，
CFA ACF CAD
∴1808595
∠=-=．
CFD
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．
17．22【分析】由三角形全等性质可得mn中有一边为5pq中有一边为3mn与pq中剩余两边相等再由三角形三边关系可知mn与pq中剩余两边最大为7如此即可得到m+n+p+q的最大值【详解】∵△ABC≌△DE
解析：22
【分析】
由三角形全等性质可得m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等，再由三角形三边关系可知m 、n 与p 、q 中剩余两边最大为7，如此即可得到m+n+p+q 的最大值．
【详解】
∵△ABC ≌△DEF ，
∴m 、n 中有一边为5，p 、q 中有一边为3，m 、n 与p 、q 中剩余两边相等，
∵3+5=8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q 的最大值为：3+5+7+7=22．
【点睛】
本题考查三角形全等与三角形三边关系的综合运用，灵活运用三角形全等的性质及三角形三边关系的应用是解题关键 ．
18．【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°再由三角形的内角和定理即可解答【详解】∵AF 是的高∴在中∴
解析：20︒
【分析】
根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD 度数，再由三角形内角与外角的性质可求出∠ADF 的度数，由AF ⊥BC 可求出∠AFD=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．
【详解】
∵AF 是ABC 的高，∴90AFB ∠=︒，
在Rt ABF 中，36B ∠=︒，
∴90BAF B ∠=︒-∠9036=︒-︒54=︒．
又∵在ABC 中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，
∴18068BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒，
又∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422
BAD CAD BAC ∠=∠=
∠=⨯=︒， ∴DAF BAF BAD ∠=∠-∠
5434=︒-︒ 20=︒．
故答案为：20︒．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的高线、及三角形的角平分线等知识，难度中等． 19．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出
∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别
是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B
解析：20°
【分析】
根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．
【详解】
∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，
∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，
∴∠BAE=
12∠BAC=12
×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．
故答案为：20°．
【点睛】 本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 20．【分析】三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半别以BCAC 为底写出△ABC 的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数
据进行计算即可解答题目【详解】S △ABC=BC·
AD=AC· 解析：92
【分析】
三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，别以BC 、AC 为底，写出△ABC 的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目.
【详解】
S △ABC =12BC·AD=12
AC·BE ， 将AD=3cm ，BC=6cm ，AC=4cm 代入， 得：
1136422
BE ⨯⨯=⨯ 92
BE =cm 故答案为：92
【点睛】 本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键.
三、解答题
21．（1）见解析；（2）不变，理由见解析．
【分析】
（1）根据AAS 证明ADE CEF ≌即可；
（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，根据等边△ABC 和等边△DEF 的性质证明△ADE HEF ≅∆可得FH CH =，得∠FCH HFC =∠，进一步可得∠30ECF =︒．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形
∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF
∵∠DEF=60°，
∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°
∵∠C=60°
∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°
∴∠DEA EFC =∠
在△ADE 和△CEF 中，
A C DEA EFC DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
ADE CEF ≌；
（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，
设,AE CH x ==等边△ABC 的边长为a
∵22BD AE x ==
∴2AD EH a x ==-
∵△ABC 是等边三角形
∴∠60A =︒
∴∠120ADE DEA +∠=︒
∵△DEF 是等边三角形
∴∠60,DEF DE EF =︒=
∴∠120AED FEC +∠=︒
∴∠ADE FEC =∠
∴△()ADE HEF SAS ≅∆
∴∠60,FHE A FH AE x =∠=︒==
∴FH CH =
∴∠FCH HFC =∠
∵∠60FCH HFC FHE +∠=∠=︒
∴260FCH ∠=︒
∴∠30FCH =︒
即∠30ECF =︒
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】
（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，
再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，
从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明
QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．
【详解】
证明：（1）∵ABC 为等边三角形，
∴,60BA BC ABC =∠=︒
∵D 为AC 的中点，
∴DB 平分ABC ∠，
∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，
∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，
∴DBC DPB ∠=∠，
∴DB DP =．
（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．
∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，
∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．
∵//DE BC ，
∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，
∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，
∴4AD ED AE ===，
∴ED CD 4==． ∵120QDP EDC ∠=∠=︒，
,QDE EDP EDP PDC ∴∠+∠=∠+∠
∴QDE PDC ∠=∠．
∵,60ED CD AED C =∠=∠=︒，
∴QDE PDC ≌，
∴EQ PC =，
∴4AQ PC AQ QE AE +=+==．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．见解析
【分析】
根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．
【详解】
证明：∵DE=BF ，
∴DE+EF=BF+EF ；
∴DF=BE ；
∵AF BD ⊥，CE BD ⊥
∴∠AFD=∠CEB=90°
∵//AD CB
∴∠B=∠D
在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴Rt △ADF ≌Rt △BCE
∴AF CE =
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
24．（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β
【分析】
（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；
（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据
OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；
（3）根据（1）与（2）直接得到结论．
【详解】
（1）证明：设AF 交BO 于G ，
∵60AOB DOE ∠=∠=︒，
∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵
OGA FGB ∠=∠，
∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，
∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；
（2）AD BE =，90°
证明：设AF 交BO 于G ，
∵90AOB DOE ︒∠=∠=，
∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵OGA DGB ∠=∠，
∴90AFB AOB ∠=∠=︒；
故答案为：AD BE =，90°；
（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=
故答案为：AD BE =，β．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
25．（1）60A ∠=︒；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得80ADE ABC ∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求得A ∠的度数；
（2）根据三角形外角的性质可得BFD EDF DEF ∠=∠+∠，再结合
180BFD CEF ∠+∠=︒可得180EDF DEC ∠+∠=︒，根据两直线平行同旁内角互补即可证明结论．
【详解】
解：（1）∵//DE BC ，80ABC ∠=︒，
∴80ADE ABC ∠=∠=︒，
∵40AED ∠=︒，
∴18060AE A ADE D ∠=︒-∠=∠-︒；
（2）∵BFD EDF DEF ∠=∠+∠,180BFD CEF ∠+∠=︒，
∴180EDF DEF CEF ∠+∠+∠=︒，即180EDF DEC ∠+∠=︒，
∵//DE BC ，
∴180C DEC ∠+∠=︒，
∴EDF C ∠=∠．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．能正确理解定理，根据图形得出角度之间的关系是解题关键．
26．8
【分析】
先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n ，根据内角和公式建立关于n 的方程，解之即可．
【详解】
解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，
∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，
设这个多边形的边数为n ，
则（n ﹣2）•180°＝1080°，
解得n ＝8，
答：该多边形的边数为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n 为整数）．。