高邮市第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

高邮市第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f
（+x ）=f （﹣x ），则f
（
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
2． 设函数f （x ）=，f （﹣2）+f （log 210）=（ ）
A ．11
B ．8
C ．5
D ．2
3． 已知幂函数y=f （x
）的图象过点（
，），则f （2）的值为（ ）
A
．
B
．﹣
C ．2
D ．﹣2
4． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜3
5．
若(z a ai =+为纯虚数，其中∈a R ，则
7
i 1i
a a +=+（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-
6． 已知集合A={x|x 是平行四边形}，B={x|x 是矩形}，C={x|x 是正方形}，D={x|x 是菱形}，则（ ） A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D
7． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（e ﹣1，1） C ．（0，e ﹣1） D ．（1，e ）
8． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
9． 已知向量，，其中．则“”是“
”成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 10．设数集M={x|m ≤x ≤
m+}，N={x|n
﹣≤x ≤n}，P={x|0≤x ≤1}，且M ，N 都是集合P 的子集，如果把b ﹣a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
11．已知菱形ABCD 的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A ．15π B
．
C
．
π
D ．6π
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
12．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ． =﹣0.2x+3.3
B ． =0.4x+1.5
C ． =2x ﹣3.2
D ． =﹣2x+8.6
二、填空题
13．已知
是等差数列，
为其公差,
是其前项和，若只有
是
中的最小项,则可得出的结论中
所有正确的序号是___________ ①
②
③
④
⑤
14．已知A （1，0），
P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则
+
的最大值为 ．
15．函数f （x ）=x 2e x 在区间（a ，a+1）上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．
16．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2
ln f x x x =-的单调递增区间为__________．
18．已知函数y=log （x 2
﹣ax+a ）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知斜率为2的直线l 被圆x 2+y 2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l 的方程．
20．（本小题满分12分）
已知函数()
23cos cos 2
f x x x x =++
. （1）当6
3x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；
（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间23
6π
π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．
21．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=．
（1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力． 22．
设函数()x
f x e =，()ln
g x x =．
（Ⅰ）证明：()2e g x x
≥-
； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．
23．已知等比数列{a n }中，a 1=，公比q=．
（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n =
（Ⅱ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．
24．已知函数f （x ）=，求不等式f （x ）＜4的解集．
高邮市第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意：函数f（x）=2sin（ωx+φ），
∵f（+x）=f（﹣x），
可知函数的对称轴为x==，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f（）=2或﹣2
故选D．
2．【答案】B
【解析】解：∵f（x）=，
∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，
=5，
∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，
∴α=，即f（x）=，
故f（2）==，
故选：A．
4．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5． 【答案】C
【解析】∵z 为纯虚数，∴a =
∴7i 3i i
1i 3
a a +-====-+． 6． 【答案】B
【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ， 矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ， 正方形是矩形，所以C ⊆B ． 故选B ．
7． 【答案】 D
【解析】解：由题意知：f （x ）﹣lnx 为常数，令f （x ）﹣lnx=k （常数），则f （x ）=lnx+k ． 由f[f （x ）﹣lnx]=e+1，得f （k ）=e+1，又f （k ）=lnk+k=e+1， 所以f （x ）=lnx+e ，
f ′（x ）=，x ＞0．
∴f （x ）﹣f ′（x ）=lnx ﹣+e ，
令g （x ）=lnx ﹣+﹣e=lnx ﹣，x ∈（0，+∞）
可判断：g （x ）=lnx ﹣，x ∈（0，+∞）上单调递增，
g （1）=﹣1，g （e ）=1﹣＞0， ∴x 0∈（1，e ），g （x 0）=0，
∴x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（1，e ） 故选：D ．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．
8． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交． 故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9． 【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A
10．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
11．【答案】A
【解析】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AB的中点，OF=x，则CF=，EF=
R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，
∴x=
∴R2=
∴球的表面积为15π．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．
12．【答案】A
【解析】解：变量x与y负相关，排除选项B，C；
回归直线方程经过样本中心，
把=3，=2.7，代入A成立，代入D不成立．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】①②③④
【解析】
因为只有是中的最小项，所以，，所以，故①②③正
确;
，故④正确;
，无法判断符号，故⑤错误，
故正确答案①②③④
答案：①②③④
14．【答案】．
【解析】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），
令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
16．【答案】[]．
【解析】解：由题设知C41p（1﹣p）3≤C42p2（1﹣p）2，
解得p，
∵0≤p≤1，
∴，
故答案为：[]．
17．【答案】⎛ ⎝⎭
【解析】
18．【答案】 a ≤4 ．
【解析】解：令t=x 2
﹣ax+a ，则由函数f （x ）=g （t ）=log
t 在区间[2，+∞）上为减函数，
可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （2）＞0，
故有
，解得a ≤4，
故实数a 的取值范围是a ≤4， 故答案为：a ≤4
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x 2+（y+7）2
=25，
所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…
因为直线l 被圆所截得的弦长是，
所以，弦心距为
，
即圆心到所求直线l 的距离为．…
因为直线l 的斜率为2，所以可设所求直线l 的方程为y=2x+b ，即2x ﹣y+b=0．
所以圆心到直线l 的距离为，…
因此，
解得b=﹣2，或b=﹣12．… 所以，所求直线l 的方程为y=2x ﹣2，或y=2x ﹣12．
即2x ﹣y ﹣2=0，或2x ﹣y ﹣12=0．…
【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．
20．【答案】（1）332⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，；（2）．
【解析】
试题分析：（1）化简()sin 226f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，结合取值范围可得1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭⇒值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）
易得()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，，由()g x 在23
6π
π⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，上是增函数⇒222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤
-
++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，⇒ 22332
26
32k k ωππ
ππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨
⎪+≤+⎪⎩⇒534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩⇒151212k -<<，Z k ∈⇒0k =⇒1ω≤⇒ω的最大值为
. 考
点：三角函数的图象与性质. 21．【答案】（1）3
B π
=；（2）[1,2).
【
解
析
】
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）令
e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+=-+，22
1e e ()x F x x x x
-'∴=-=
由()0e F x x '>⇒> ∴()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增，
∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即e
()2g x x
≥-成立． …… 5分
（Ⅱ） 记()()()x x
h x f x f x ax e e ax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，
()e x x
h x e a -'=+-， ∵ ()()e 00x x h x e x -''=-≥≥，
∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分 ∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增， 则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分 ② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，
即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分 23．【答案】
【解析】证明：（I ）∵数列{a n }为等比数列，a 1=，q=
∴a n =×
=
，
S n =
又∵==S n
∴S n=
（II）∵a n=
∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．24．【答案】
【解析】解：函数f（x）=，不等式f（x）＜4，
当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；
当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1．
综上x∈（﹣3，0）．
不等式的解集为：（﹣3，0）．。