上海陆行中学南校数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)

上海陆行中学南校数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．
【详解】
解：
设2为a，3为b，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C．
【点睛】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．
2．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是
A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】
因为m是整数，
∴将2x2＋mx－3分解因式：
2x2＋mx－3=（x-1）（2x+3）或2x2＋mx－3=（x+1）（2x-3），
故选：B.
【点睛】
此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
3．在矩形ABCD 中，AD =3，AB =2，现将两张边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）
A ．-1
B ．b ﹣a
C ．-a
D ．﹣b
【答案】D
【解析】
【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.
【详解】
∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--
2()()()2(3)()(2)S AB AD a a b AB a a a b a =-+--=-+--
∴21S S -=(2)(2)(3)a a b a -+--2(3)()(2)a a b a -----
32b b b =-+=-
故选D.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.
4．若代数式x 2＋ax ＋64是一个完全平方式，则a 的值是（ ）
A ．－16
B ．16
C ．8
D ．±16
【答案】D
【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.
故选：D
点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。

另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。

算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。

5．在2014，2015，2016，2017这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．
A ．2014
B ．2015
C ．2016
D ．2017 【答案】A
【解析】
由于22()()a b a b a b -=+-，所以
22201510081007=-；222016505503=-；22201710091008=-；因+a b 与-a b 的奇偶性相同，21007⨯一奇一偶，故2014不能表示为两个整数的平方差． 故选A.
6．下列分解因式正确的是( )
A ．22a 9(a 3)-=-
B ．()24a a a 4a -+=-+
C ．22a 6a 9(a 3)++=+
D ．()2
a 2a 1a a 21-+=-+ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解的方法（提公因式法，运用公式法），逐个进行分析即可.
【详解】
A. ()2a 9a 3a 3-=-+）（，分解因式不正确；
B. ()2
4a a a 4a -+=--，分解因式不正确； C. 22a 6a 9(a 3)++=+ ，分解因式正确；
D. ()2
a 2a 1a 1-+=-2，分解因式不正确.
故选：C
【点睛】
本题考核知识点：因式分解.解题关键点：掌握因式分解的方法.
7．下面计算正确的是（ ）
A ．33645x x x +=
B ．236a a a ⋅=
C ．()4312216x x -=
D ．()()22222x y x y x y +-=- 【答案】C
【解析】
【分析】
A.合并同类项得到结果；
B.利用同底数幂的乘法法则计算得到结果；
C.利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果；
D.利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断.
【详解】
A.原式=35x ，错误；
B.原式=5a ，错误；
C.原式=1216x ，正确；
D.原式=224x y -，错误.
故选C.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式运算，熟知其运算法则是解题的关键.
8．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A ．()()2224x x x +-=-
B ．2222()a ab b a b -+=-
C ．()11am bm m a b +-=+-
D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】
A ．属于整式的乘法运算，不合题意；
B ．符合因式分解的定义，符合题意；
C ．右边不是乘积的形式，不合题意；
D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．
9．观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x +a ）（x +b ）=x 2-7x +12，则a ，b 的值可能分别是（ ） A ．3-，4-
B ．3-，4
C ．3，4-
D ．3，4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得规律为712a b ab +=-⎧⎨=⎩
，再逐一判断即可. 【详解】
根据题意得，a ，b 的值只要满足712
a b ab +=-⎧⎨=⎩即可， A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；
B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；
C.3+（-4）=-1,3×（-4）=-12，不符合题意；
D.3+4=7,3×4=12，不符合题意.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.
10．下列式子从左至右的变形，是因式分解的是（ ）
A ．21234x y x xy -=
B ．11(1)x x x -=-
C ．2221(1)x x x -+=-
D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解的意义进行判断即可．
【详解】
因式分解是指将一个多项式化为几个整式的积的形式．
A ．21234x y x xy -=，结果是单项式乘以单项式，不是因式分解，故选项A 错误；
B ．11(1)x x x
-=-，结果应为整式因式，故选项B 错误；
C ．2221(1)x x x -+=-，正确；
D ．22()()a b a b a b +-=-是整式的乘法运算，不是因式分解，故选项D 错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，涉及完全平方公式，本题属于基础题型．
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．已知a-b=4，ab=6，则22a b += _________．
【答案】28
【解析】
【分析】
对完全平方公式进行变形即可解答.
【详解】
解：∵222()216a b a ab b -=-+=
∴22a b +=2()a b -+2ab=16+2×6=28
故答案为28.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.
12．已知25,23a b
==，求2a b +的值为________.
【答案】15．
【解析】
【分析】
逆用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵2a =5，2b =3，
∴2a+b =2a ×2b =5×3=15．
故答案为：15．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
13．把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是_____和_____．
【答案】x +5y ＝0 x ﹣y ＝0
【解析】
【分析】
通过十字相乘法,把方程左边因式分解,即可求解.
【详解】
∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，
∴(x +5y )(x ﹣y )＝0，
∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0，
故答案为：x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0．
【点睛】
该题重点考查了因式分解中的十字相乘法,能顺利的把方程左边因式分解是解题的关键所在.十字相乘法相关的知识点是:必须是二次三项式,并且符合拆解的原则,即可利用十字相乘分解因式.
14．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》
中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了n
(a b)(n +为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：0(a b)1+=，它只有一项，系数为1；系数和为1； 1(a b)a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
222(a b)a 2ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
33223(a b)a 3a b 3ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；⋯，
则n (a b)+的展开式共有______项，系数和为______．
【答案】n 1+ n 2
【解析】
【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b ）n 的项数以及各项系数的和即可．
【详解】
根据规律可得，（a+b ）n 共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b ）n 各项系数的和等于2n
故答案为n+1，2n
【点睛】
本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．
15．计算：532862a a a -÷=（）___________．
【答案】343a a -
【解析】
根据整式的除法—多项式除以单项式，可知：532862a a a -÷=（）8a 5÷
2a 2-6a 3÷2a 2=343a a -.
故答案为：343a a -.
16．已知x ，y 满足方程组x 2y 5x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩
，则22x 4y -的值为______． 【答案】-15
【解析】
【分析】观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得.
【详解】∵x 2y 5
x 2y 3-=⎧+=-⎨⎩
， ∴22x 4y -=（x+2y ）（x-2y ）=-3×5=-15，
故答案为：-15.
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.
17．分解因式：4ax 2-ay 2=________________.
【答案】a （2x+y ）（2x-y ）
【解析】
【分析】
首先提取公因式a ，再利用平方差进行分解即可．
【详解】
原式=a （4x 2-y 2）
=a （2x+y ）（2x-y ），
故答案为a （2x+y ）（2x-y ）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18．若（2x ﹣3）x+5=1，则x 的值为________．
【答案】2或1或-5
【解析】
(1)当2x −3=1时,x=2,此时()2+543-=1，等式成立；
(2)当2x −3=−1时,x=1,此时()15
23+-=1，等式成立； (3)当x+5=0时,x=−5,此时()0
103--=1，等式成立．
综上所述，x 的值为：2，1或−5.
故答案为2，1或−5.
19．若a+b=4，ab=1，则a 2b+ab 2
=________．
【答案】4
【解析】
【分析】
分析式子的特点，分解成含已知式的形式，再整体代入．
【详解】
解：a 2b+ab 2=ab(a+b)=1×4=4．
故答案为：4.
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
20．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.
【答案】31-．
【解析】
首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：
∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．。