基础数学实验示例-实验指导书

第三章 基础实验
基础实验方法—基础实验示范：函数与简单函数表示
第一部分 实验指导书
一、实验目的
1．理解Taylor 公式的意义；
2．认识Taylor 公式的地位和作用； 3．了解较复杂函数的简单函数表示。

二、实验使用的软件
Mathematica 5.0或以上版本.
三、实验的基本理论及方法
1．Taylor 公式
1．1带皮亚诺余项的Taylor 公式
设函数)(x f 在0x 处n 阶可导, 则
=)(x f
))(()(!
)
(000
0)(n k n
k k x x x x k x f -+-∑
=ο. 特别地00=x ，即得Maclaurin 公式
=)(x f
)(!
)0(0
)(n k
n
k k x x k f ο+∑
=. 1．2带拉格朗日余项的Taylor 公式
设函数,)()
(] ,[n b a C x f ∈且,)()
1() ,(+∈n b a C x f ],[,0b a x x ∈, 则
=
)(x f k
n
k k x x k x f )(!)(00
0)(-∑
=10)1()()!
1()(++-++n n x x n f ξ 其中ξ介于x 与0x 之间.
特别地00=x ，即得Maclaurin 公式
=
)(x f k n
k k x k f ∑
=0
)(!)0(1
)1()!
1()(++++n n x n f ξ 其中ξ介于x 与0之间.
2．幂级数展开
给定函数)(x f 及任意一点0x 是否能找到一个幂级数
)(0
0∑∞
=-n n
x x a
，在其收敛区间内
的和函数恰好就是给定的函数)(x f 呢？如果能找到这样的幂级数，我们就说)(x f 在0x 能展开成幂级数，而该幂级数就称为)(x f 的在该点处的幂级数展开式。

3．傅里叶级数展开
对波的研究在物理学和工程技术中显得非常重要，它反映了物质作周期运动的运动规律，我们常常用一个以T 为周期的周期函数)()(T t f t f +=来描述它。

而简谐振动是最简
单的一种周期运动，其运动规律为)sin(
ϕω+=t A y ，其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 表示振幅，ϕ是初相，ω为角频率.那么其它的波能否用无穷多个简谐波的叠加来表示是傅里叶级数所要解决的问题。

若函数)(x f 是以2π为周期的周期函数，且在区间],[ππ-上连续或只有有限个第一类间断点，而且只有有限个极值点（上述条件称为狄里克雷充分条件），则有 （1）当x 是)(x f 的连续点时，
)sin cos (2)(1
0∑∞
=++=n n n nx b nx a a x f (1)
其中的系数n n b a , 由式（2）确定
1()cos ,0,1,2,1()sin ,1,2,n n a f x nxdx n b f x nxdx n ππ
π
πππ--⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
⎰⎰ （2） 其中，式(1)的右端称为函数)(x f 的傅立叶级数；式（2）称为傅立叶系数公式。

（2）当x 是)(x f 的间断点时，傅立叶级数收敛于
)]0()0([2
1
++-x f x f 四、实验的内容与步骤
1.编写Mathematica 程序，从图象上观察多项式与函数的接近或逼近
在同一坐标系里分别作出多项式函数x y =，2
2x
x y +=，2x y =，3x x y -=，
!33x x y -=，4
3!
3x x x y +-=，!5!353x x x y +-=，…和函数x y sin =的图象．观察这些
多项式函数的图象向x y sin =的图象逼近的情况．
函数)(x f 、x x g sin )(=在区间],[b a 上图象可用如下Mathematica 程序画出
f[x_]=expr ;
g[x_]=Sin[x];
Plot[{f,g}，{x ，a ，b},{PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,1,0]}}] 思考：哪些多项式函数能与x y sin =逼近？在什么范围内逼近？其它函数？
2.构造多项式与函数逼近
设多项式函数n
n n x a x a a x p +++= 10)(与函数)(x f 逼近，则
n k k f a k k ,,1,0,!
)0()( ==
Mathematica 计算程序如下
n=n0;
f[x_]=expr ;
a[x,k_]=D[f,{x,k}]/k!; Table[a[0,k],{k,0,n}];
p[x_,n]=Sum[a[0,k]*x^k,{k,0,n}]
先对x sin 分别构造一阶、二阶、…、十五阶Maclaurin 多项式，并从图象观察逼近程度与范围。

取10=x 对x sin 分别构造一阶、二阶、…、十五阶Taylor 多项式，并从图象观察逼近程度与范围。

再取3/0π=x 对x sin 分别构造一阶、二阶、…、十五阶Taylor 多项式，并从图象观察逼近程度与范围。

当∞→n 时，Maclaurin(Taylor)多项式函数趋向于什么函数?
3．傅立叶级数
分别取10,20n =，画出函数()x k k y n
k 12sin 121
1
--=∑
=在区间[]ππ3,3-上的图象．当∞→n 时，这个函数趋向于什么函数?
Mathematica 程序是：
输出结果：
图3.1.1
Mathematica 程序是：
输出结果：
图3.1.2
Mathematica 没有专门的命令将一个周期函数进行傅里叶级数展开，但我们可以通过下列的程序将一个以2π为周期的周期函数展开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数
n=Input[“n=”]; f[x_]=
Input[＂f[x]=＂]
L=(1.0/Pi*NIntegrate[f[x],{x,-Pi,Pi}]; For[i=1,i<=n,i++,
L=L+(1.0/Pi)*NIntegrate[f[x]*Cos[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Cos[i*x]+(1.0/Pi) *NIntegrate[f[x]*Sin[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Sin[i*x];]; L
例 编辑一个程序从图形上演示傅里叶级数逐步逼近锯齿波 ⎩
⎨⎧≤<≤<-+=πππx x x x x f 0,0
,)(
的过程。

解
n ＝Input[“n=”];f[x_]=
Which[x>=-Pi&&x<0,x+Pi,x>=0&&x<=Pi,x];
L=(1.0/Pi)*NIntegrate[f[x],{x,-Pi,Pi}];
For[i=1,i<=n,i++,L=L+(1.0/Pi)*NIntegrate[f[x]*Cos[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Cos[i*x]+1.0/P i*NIntegrate[f[x]*Sin[i*x],{x,-Pi,Pi}]*Sin[i*x];
Plot[L,{x,-2.0*Pi,2.0*Pi},Axes->True];]
图3.1.3
图3.1.4
图3.1.5
图3.1.3、图3.1.4及图3.1.5分别是锯齿波的10阶、20阶傅里叶和式及其本身的图形。

从这些图形我们可以观察出，随着n的增大，傅里叶和式的图形越来越接近锯齿波的图形，因此傅里叶和式的图形在n 时的极限状态即为锯齿波。

作业：
1．解读实验指导书。

（做几件事？目的？）
2．制订实验计划。

（实验程序；实验思路。

）。