2024年浙江省杭州市钱塘区中考数学一模试卷及答案解析

2024年浙江省杭州市钱塘区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）2024年春节档电影《热辣滚烫》引发热议，其中的台词“一切来得及，记得爱自己”“如果没有特别幸运，那就请特别努力”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦，据统计，截至2024年3月14日，电影《热辣滚烫》票房高达34.45亿元．数据34.45亿用科学记数法表示为（）
A．34.45×108B．3.445×109C．3.445×1010D．0.3445×1010
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
册数12345
人数41216171
关于这组数据，下列说法正确的是（）
A．平均数是3B．方差是3C．中位数是3D．众数是17
4．（3分）在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（4，﹣4），（1，3），将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，则关于点A，C的位置关系描述正确的是（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
5．（3分）下列因式分解正确的是（）
A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1）B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a）
C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2
6．（3分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B，点C在直线l2上，连结AC．若∠1＝45°，∠2＝100°，则∠3的度数为（）
A．45°B．50°C．55°D．60°
7．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，C为弧AB的中点．若∠BAC＝2∠OAB，则∠AOB等于（）A．144°B．135°C．130°D．120°
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．若cos A
＝，△BEF的面积为2，则菱形ABCD的面积为（）
A．18B．24C．30D．36
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，则d的值不可能是（）
A．﹣3B．﹣1C．2D．4
10．（3分）如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面
积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（）
A．B．C．D．2
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）计算：（﹣2）3＝．
12．（3分）文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮24秒，黄灯亮6秒，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为．13．（3分）已知x＝1﹣，y＝1+，则x2+3xy+y2的值为．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A
（﹣2，2），B（n，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围是．
15．（3分）如图，分别以等边△ABC的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为2π，则莱洛三角形的面积为．
16．（3分）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝y，则y关于x的函数表达式是．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）解不等式：．
18．（6分）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得；
（2）如图2，在三角形内寻找格点P，使得∠BPC＝2∠A．
19．（8分）某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA，AD⊥BC交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：△ACD≌△BCE．
（2）若AC＝4，DC＝3，求AB的长．
21．（10分）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）
（1）求点D到地面BC的距离；
（2）求该建筑物的高度AB．
22．（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE
交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且．
（1）若AC＝25，求线段AE，GF的长．
（2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积．
23．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝﹣，求该函数图象顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（1，﹣2），（2，﹣5）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若﹣5≤a≤﹣2，当﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，求am﹣n 的最小值．
24．（12分）如图1，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的点，且AC∥OD，连结BC交OD于点E．
（1）求证：OD⊥BC．
（2）如图2，连结CD，AD，BD，若sin∠ABC＝，求△ACD与△OBD的面积之比．
（3）如图3，连结BD，作CP∥BD交AB于点P，连结PD．求证：BD2＝BO•BP．
2024年浙江省杭州市钱塘区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：34.45亿＝3445000000＝3.445×109，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【分析】根据二次根式的性质对各个选项中的式子进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
3．【分析】先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．
【解答】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
（1×4+2×12+3×16+4×17+5×1）÷50＝2.98；
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是3，
∴这组数据的中位数为3，
∵这组样本数据的平均数为2.98，
∴这组样本数据的方差不是整数．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
4．【分析】根据平移规律确定C的坐标即可得出结论．
【解答】解：∵将点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，
∴C的坐标为（4，4），
∵A点的坐标是（4，﹣4），
∴A与C关于x轴对称．
故选：A．
【点评】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．
5．【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可．
【解答】解：A．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意；
B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），故本选项符合题意；
C．a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2，故本选项不符合题意；
D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了利用公式法分解因式，能熟记平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．6．【分析】由平行线的性质得到∠ABC＝∠1＝45°，由三角形外角的性质即可求出∠3＝∠2﹣∠ABC＝55°．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠ABC＝∠1＝45°，
∴∠3＝∠2﹣∠ABC＝100°﹣45°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠ABC＝∠1．
7．【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，结合等腰三角形的性质进而求出∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，再根据三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：连接OC，如图：
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠BAC＝∠AOC＝∠BOC，
∵∠BAC＝2∠OAB，
∴∠OAB＝∠BAC＝∠AOC＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠AOB，
∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝144°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．
8．【分析】过点F作FG⊥AB于点G，证明△ADE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，则BE＝BF，设BE＝BF ＝3a，再由平行线的性质得∠FBG＝∠A，进而由锐角三角函数定义得BG＝BF＝2a，则FG＝a，由三角形面积公式求出3a2＝4，然后由勾股定理求出DE＝3a，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFG＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠A＝∠C，AD∥BC，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF，
设BE＝BF＝3a，
∵AD∥BC，
∴∠FBG＝∠A，
∴cos∠FBG＝＝cos A＝，
∴BG＝BF＝2a，
∴FG＝＝＝a，
＝BE•FG＝•3a•a＝2，
∵S
△BEF
∴3a2＝4，
∵cos A＝＝＝，
∴BE＝AB，
∴AB＝3BE＝9a，
∴AE＝AB＝6a，
∴DE＝＝＝3a，
＝AB•DE＝9a•3a＝9×4＝36，
∴S
菱形ABCD
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
9．【分析】根据y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解．
【解答】解：如图，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵该二次函数的图象经过点M（3，m+1），N（d，m）两点，
∴点M（3，m+1）关于对称轴的对称点为（﹣5，m+1），
∴﹣5＜d＜3，
∴d不可能是4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，结合图象求解．10．【分析】根据，设S1＝4k2，S2＝49k2，则正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，即FG＝2k，NP＝7k，设NC＝a，PC＝b，依题意得BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，则，解得，则NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，证BC∥MO，得△BNC∽△MNO，则BN：MN＝NC：NO，即4.5k：7k＝2.5k：NO，由此得NO＝，则OC＝NO﹣NC＝，进而得OP＝CP﹣OC＝，据此可得的值．
【解答】解：，
∴设S1＝4k2，S2＝49k2，
∴正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，
即FG＝2k，MN＝NP＝7k，
设NC＝a，PC＝b，
依题意得：△AMB，△AFB，△BNC，△BGC，△CPD，△XHD，△DQA，△DEA都全等，
∴BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，
∴BG﹣BF＝FG，NC+CP＝NP，
∴，解得，
∴NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，
∵AM＝AF，
∴点A在线段AF的垂直平分线上，
∴BF＝BM，
∴点B在线段AF的垂直平分线上，
∴AB是线段AF的垂直平分线，
即AB⊥MO，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴BC∥MO，
∴△BNC∽△MNO，
∴BN：MN＝NC：NO，
即4.5k：7k＝2.5k：NO，
∴NO＝，
∴OC＝NO﹣NC＝﹣2.5k＝，
∴OP＝CP﹣OC＝4.5k﹣＝，
∴＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．【分析】（﹣2）3表示3个﹣2相乘．
【解答】解：（﹣2）3＝﹣8．
【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
12．【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：由题意得，当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
13．【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y、xy，根据完全平方公式把所求的式子变形，代入计算即可．
【解答】解：∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x+y＝（1﹣）+（1+）＝2，xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，
则x2+3xy+y2
＝x2+2xy+y2+xy
＝（x+y）2+xy
＝22﹣1
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．14．【分析】利用待定系数法求得点B坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y2＝的图象经过点A（﹣2，2），B（n，﹣1），
∴﹣1×n＝（﹣2）×2，
∴n＝4．
∴B（4，﹣1）．
由图象可知：第二象限中点A的右侧部分和第四象限中点B右侧的部分满足y1＜y2，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜4．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．
15．【分析】根据莱洛三角形的周长，可求出等边△ABC的边长，进而可求出莱洛三角形的面积．【解答】解：由题知，
莱洛三角形的周长可转化为半径长为AB的圆周长的一半．
又因为莱洛三角形的周长为2π，
所以，
则AB＝2，
所以等边△ABC的边长为2．
过点A作BC的垂线，垂足为M，
则BM＝．
在Rt△ABM中，
AM＝．
所以莱洛三角形的面积为：．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，能根据所给莱洛三角形的周长得出等边三角形的边长是解题的关键．16．【分析】首先解析的性质证明△AFD∽△FEC，然后利用相似三角形的性质和折叠的性质即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠FEC+∠EFC＝90°，
由折叠得：
BE＝EF，AB＝AF＝DC＝DF+CF，∠B＝∠AFE＝90°，
∵∠EFC+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠FEC，
∴△AFD∽△FEC，
∴＝，
∴＝，
而＝y，
∴y＝，
∴y＝1+，
∴y＝1+．
故答案为：y＝1+．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），函数关系式，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：，
去分母，得：3（x+1）﹣6≤2（2x﹣1），
去括号，得：3x+3﹣6≤4x﹣2，
移项及合并同类项，得：﹣x≤1，
系数化为1，得：x≥﹣1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．【分析】（1）分别取格点M，N，使AM：CN＝1：4，且AM∥CN，连接MN，交AC于点D，结合相似三角形的判定与性质可知，点D即为所求．
（2）分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点P，结合线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质可知，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1，分别取格点M，N，使AM：CN＝1：4，且AM∥CN，连接MN，交AC于点D，
则△ADM∽△CDN，
∴＝，
则点D即为所求．
（2）如图2，分别作线段BC，AC的垂直平分线，相交于点P，
连接BP并延长，交格点于点D，连接CP并延长，交格点于点E，
则∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，
∴∠APD＝∠ABP+∠BAP＝2∠BAP，∠APE＝∠ACP+∠CAP＝2∠CAP，
∴∠DPE＝∠APD+∠APE＝2（∠BAP+∠CAP）＝2∠BAC，
∴∠BPC＝∠DPE＝2∠BAC，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．【分析】（1）由“优秀”的有36人，占45%，可求被抽样调查的学生人数；
（2）由（1）可求出“良好”的人数，继而补全条形统计图；根据被抽样调查的学生人数和求“合格”
人数可得扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解答】解：（1）被抽样调查的学生人数是：36÷45%＝80（人），
故答案为：80；
（2）“良好”的人数：80﹣36﹣16﹣4＝24（人），
补全图形如下：
360°×＝72°，
∴扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；
（3）估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的人数为：
1600×＝1600×＝400（人），
答：估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为400人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．【分析】（1）由“AAS”可证△ACD≌△BCE；
（2）由勾股定理可求AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠CBA，
∴AC＝BC，
又∵∠D＝∠E＝90°，∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
（2）解：∵AC＝4，DC＝3，
∴AD2＝AC2﹣CD2＝7，BD＝7，
∴AB＝＝＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，根据三角函数的定义得到CE＝5，根据勾股定理得到DE＝＝5（m）；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5m，设BC＝x m，则BE＝DF＝（5+x）m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵cosα＝，
解得CE＝5，
∴DE＝＝5（m）．
∴点D到地面BC的距离为5m．
（2）过点D作DF⊥AB于点F，
则BF＝DE＝5m，
设BC＝x m，则BE＝DF＝（5+x）m，
在Rt△ABC中，tan60°＝，
解得AB＝x，
∴AF＝（x﹣5）m，
在Rt△ADF中，tan30°＝＝＝，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解且符合题意，
∴AB＝＝15（m）．
∴该建筑物的高度AB为15m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．【分析】（1）根据平行四边形的性质求出DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，即可判定△ADE∽△ABC，△BFG∽△BCE，根据相似三角形的性质及比例的性质求解即可；
＝75，再结合比例的性（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出S
△BCE 质、三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵AC＝25，
∴AE＝10，
∴CE＝25﹣10＝15，
∵＝＝，
∴＝，
∵DF∥AC，
∴△BFG∽△BCE，
∴＝＝，
∴GF＝9；
（2）∵△BFG∽△BCE，＝，
∴＝＝，
+S四边形GFCE＝S△BCE，
∵S
△BFG
∴＝＝，
∵四边形GFCE的面积为48，
＝75，
∴S
△BCE
∵＝，AE+CE＝AC，
∴＝，
∴＝，
＝125．
∴S
△ABC
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）当a＝﹣时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+，化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点（2，﹣5），代入解析式即可求得a＝﹣1，从而求得抛物线的解析式；
（3）二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a，由﹣5≤a≤﹣2得出﹣≤≤﹣，抛物线开口向下，即可得出x
＝时，y＝m，x＝﹣3时，y＝n，进而得出am﹣n＝﹣a2+2a﹣1﹣8a﹣8＝﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2，根据﹣5≤a≤﹣2求得最小值为﹣4．
【解答】解：（1）当a＝﹣时，二次函数y＝﹣x2﹣2x+＝﹣（x+2）2+，
∴顶点坐标为（﹣2，）；
（2）∵y＝ax2﹣2x+2﹣a
＝a（x2﹣1）﹣2（x﹣1）
＝a（x+1）（x﹣1）﹣2（x﹣1）
＝（x﹣1）（ax+a﹣2），
当x＝1时，y＝0≠﹣2，因此不过（1，﹣2）点，
当x＝﹣1时，y＝4≠1，因此不过（﹣1，1）点，
故抛物线过点（2，﹣5），代入得，4a﹣4+2﹣a＝﹣5，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）∵二次函数y＝ax2﹣2x+2﹣a，
∴对称轴为直线x＝，
∵﹣5≤a≤﹣2，
∴﹣≤≤﹣，抛物线开口向下，
∵﹣3≤x≤0时，y＝ax2﹣2x+2﹣a的最大值记为m，最小值记为n，
∴x＝时，y＝m，x＝﹣3时，y＝n，
∴m＝﹣+2﹣a＝2﹣a﹣，n＝9a+6+2﹣a＝8a+8，
∴am＝﹣a2+2a﹣1，
∴am﹣n＝﹣a2+2a﹣1﹣8a﹣8＝﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2，
∵﹣5≤a≤﹣2，
∴当a＝﹣5时，am﹣n有最小值，为﹣4．
【点评】本题是主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据题意用关于a的式子表示出m、n．
24．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据平行线的性质得到∠BEO＝∠ACB＝90°，求得OD⊥BC；
＝，由AC∥OD，得到S△ACD （2）由（1）知，OD⊥BC，根据三角形的面积公式得到S
△OBD
＝AC•BC，根据sin∠ABC＝，得到AB＝AC，根据勾股定理得到BC＝＝S
△ABC
＝2AC，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由（1）知，OE⊥BC，根据垂径定理得到，求得∠1＝∠3，根据平行线的性质得到∠PCB ＝∠3，得到∠PCD＝2∠1，由∠BOD＝2∠1，得到∠BOD＝∠PCD，推出点P，O，D，C四点共圆，记为⊙M，根据圆周角定理得到∠CPD＝∠COD，求得∠CPD＝∠DOB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥OD，
∴∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC；
（2）解：由（1）知，OD⊥BC，
＝，
∴S
△OBD
∵AC∥OD，
＝S△ABC＝AC•BC，
∴S
△ACD
∵sin∠ABC＝，
∴AB＝3AC，
∴BC＝＝2AC，
∵AB＝2OD，BE＝BC，
＝•BE•OD＝AC2，
∴S
△OBD
＝S△ABC＝AC2，
∴S
△ACD
：S△OBD＝2：3；
∴S
△ACD
（3）证明：连接OC，
由（1）知，OE⊥BC，
∴，
∴∠1＝∠3，
∵CP∥DB，
∴∠PCB＝∠3，
∴∠1＝∠PCB＝∠3，
∴∠PCD＝2∠1，
∵∠BOD＝2∠1，
∴∠BOD＝∠PCD，
∵∠POD+∠POD＝180°，
∴∠PCD+∠POD＝180°，
∴点P，O，D，C四点共圆，记为⊙M，∴∠CPD＝∠COD，
∵，
∴∠COD＝∠DAB，
∴∠CPD＝∠DOB，
∵CP∥DB，
∴∠CPD＝∠BDP，∠DBO＝∠PBD，
∴△BDO∽△BPD，
∴，
∴BD2＝BO•BP．
【点评】本题考查了相似形的综合题，考查了勾股定理，圆周角定理，平行线的性质，四点共圆，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键。