历年数学中考试题(含答案) (68)

益阳市普通初中毕业学业考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．1
2016
- 的相反数是
A ．2016
B ．2016-
C ．1
2016
D ．1
2016
-
答案：C
考点：相反数的概念。

解析：12016- 的相反数是1
2016
，注意与倒数的区别。

2．下列运算正确的是
A ．22x y xy +=
B ．2222x y xy ⋅=
C ．222x x x ÷=
D ．451x x -=-
答案：B
考点：考查单项式的四则运算。

解析：A 、把加法误算成乘法，错误；C 、正确答案为2
x
；D 、不是同类项不能相加减，只有B 、2222x y xy ⋅=正确。

3．不等式组3,
213x x -<⎧⎨-≤⎩
的解集在数轴上表示正确的是
A B C D
答案：A
考点：考查不等式组的解法。

解析：不等式组化为：3
2
x x >-⎧⎨≤⎩，解为32x -<≤，故选A 。

4．下列判断错误．．
的是 A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B ．四个内角都相等的四边形是矩形
C ．四条边都相等的四边形是菱形
D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 答案：D
考点：考查特殊四边形的判定。

解析：两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形才是正方形，故D 是错误的。

5．小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为
A ．67、68
B ．67、67
C ．68、68
D ．68、
67
答案：C
考点：考查众数和中位数。

解析：将数据由小到大排列：66、67、67、68、68、68、69、71，显然众数是68，中位数也是68，故选C 。

6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是
A ．360°
B ．540°
C ．720°
D ．900°
答案：D
考点：多边形的内角和，图形的分割，动手能力。

解析：如图，一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边（含三角形）设为M 和N ，有以下三种情况，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个五边形和三角形， ∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个四边形和一个三角形， ∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，此时矩形分割为两个三角形， ∴M+N=180°+180°=360°． 故选D ．
7．关于抛物线221y x x =-+，下列说法错误．．
的是 A ．开口向上
B ．与x 轴有两个重合的交点
C ．对称轴是直线1x =
D ．当1x >时，y 随x 的增大而减小
答案：D
考点：二次函数的图象及其性质。

解析：因为a ＝1＞0，开口向上，故A 正确；△＝0，故B 也正确；对称轴为12b
x a
=-=，C 正确；
当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故D 是错误的。

8．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB C 'α=（B C '为水平线），测角仪B D '的高度为1米，则旗杆PA 的高度为 P
A ．1
1sin α
-
B ．1
1sin α
+
C ．
1
1cos α-
D ．
1
1cos α
+
答案：A
考点：考查三角函数定义的应用。

解析：依题意，PB'＝PA ，设PA ＝x ，则PC ＝x －1 在Rt △P 'B C 中，1sin 'PC x PB x α-=
=
，解得：1
1sin x α
=-，故选A 。

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡．．．
中对应题号后的横线上
9．将正比例函数2y x =的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第 象限． 答案：四
考点：考查函数图象的平移，一次函数的图象。

解析：正比例函数2y x =的图象向上平移3个单位后变为：23y x =+，图象经过一、二、三象限，不经过第四象限。

10．某学习小组为了探究函数2||y x x =-的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m = ．
x
… –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y
…
2
0.75
–0.25
–0.25
m
2
…
答案：0.75
考点：列表法，实数运算。

解析：x ＝1.5代入求解可得：y ＝0.75，或者x ＝1.5时y 的值与x ＝－1.5时y 的值是相同的。

11．我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数3
y x
=-
的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 ． 答案：答案不唯一，如：(-3,1) 考点：开放性试题。

解析：答案不唯一，如：(-3,1)，（1，－3）都可以。

12．下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 ．（结果保留π）
答案：24π
考点：考查三视图，圆柱体的侧面展开图。

解析：由三视图可知，圆柱体的高为6，底面半径为2，圆柱体的侧面展开图为矩形，它的面积为：
S＝226
π⨯⨯＝24π
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P=40°，则∠D的度数为．
答案：115°
考点：圆的切线性质，圆内接四边形性质定理，等腰三角形性质。

解析：连结OC，因为PC为切线，所以，OC⊥PC，所以，∠BOC＝90°－40°＝50°，
又OB＝OC，所以，∠OBC＝1
2
（180°－50°）＝65°，
又ABCD为圆内接四边形，所以，∠D＝180°－65°＝115°
14．小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋子，第２个图案有３枚棋子，第３个图案有４枚棋子，第４个图案有６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是枚．
答案：13
考点：规律探索。

解析：如下表，棋子按照顺序，中间缺少的数字是2、5、8、11等，因此，第9个图案棋子
序
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 棋
子
1 3 4 6 7 9 10 1
2 13
2 5 8 11
三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
15．计算：
3
132 (1)
223
⎛⎫⎛⎫
-+---⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
考点：实数的运算。

解析：原式=
12
11()
23
-+-⨯-=
12
23
-+=
1
6
．…………………………………8分
16．先化简，再求值：
2
2
11
()
111
x
x x x
-÷
+--
，其中
1
2
x=-．
考点：分式的化简，求值。

第17题图 解析：原式2
221(1)11x x x x x --+-=⨯-2
x
=-
． …………………………………6分 当1
2
x =-时，原式=4． ………………………………………………8分
17．如图，在ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，
CF ⊥BD 于F ， 连接AF ，CE . 求证：AF =CE .
考点：三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质和判定。

解析：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD =BC ，∠ADB =∠CBD ． …………………………………2分 又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，
∴∠AED =∠CFB ，AE ∥CF ． …………4分 ∴AED ∆≌CFB ∆．………………………6分 ∴AE =CF ．
∴四边形AECF 是平行四边形．
∴AF =CE ． ………………………………………………………8分
四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
18．在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a = ，b = ，并将统计图补充完整； （2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以
上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这
两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
分 组 频数 频率
第一组（015x ≤<） 3 0.15 第二组（1530x ≤<） 6 a 第三组（3045x ≤<） 7 0.35 第四组（4560x ≤<） b 0.20
考点：统计知识，会从统计图表中获取信息，解决问题；考查概率，会用列表法或树形图求概率。

解析：解:（1）a =0.3，b =4 ………………………………………………………2分
…………………………………4分
（2）180(0.350.20)99⨯+=（人） …………………………………7分
（3） 甲 乙
1
乙2
甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙 甲1 甲2 甲3 乙
31
124
p == ……………………………………………………………10分
19．某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件
数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？
考点：考查二元一次方程组，不等式，应用数学知识解决问题的能力。

解析：（1）设该班男生有x 人，女生有y 人，
依题意得：4223x y x y +=⎧⎨=-⎩
， 解得27
15x y =⎧⎨=⎩．
∴该班男生有27人，女生有15人．…………………………………5分
（2）设招录的男生为m 名，则招录的女生为(30)m -名，
依题意得：5045(30)1460x x +-≥ ，解之得，22x ≥，
答：工厂在该班至少要招录22名男生．…………………………10分
20．在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成．．．．．．．．．．．．．
解答过程．．．．
． 考点：考查勾股定理，三角形的面积的求法。

解析：如图，在△ABC 中，AB =15，BC =14，AC =13，
设BD x =，∴14CD x =-． ……………………………………………2分
由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-，
2222213(14)AD AC CD x =-=--， ∴2215x -=2213(14)x --，
解之得：9x =．……………………………… 7分
∴12AD =． ………………………………………8分
∴12ABC S BC AD ∆=g 1
1412842
=⨯⨯=．…………10分
五、解答题（本题满分12分）
21．如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ， 交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的
周长最小，求出P 点的坐标．
考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。

解析：（1）∵抛物线顶点为(3,1)A ，
设抛物线对应的二次函数的表达式为2(3)1y a x =-+，
将原点坐标（0，0）代入表达式，得1
3a =-．
∴抛物线对应的二次函数的表达式为：2123
3y x x =-+． …………3分
（2）将0y = 代入2123
3y x x =-+中，得B 点坐标为：(23,0)，
设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将(3,1)A 代入表达式y kx =中，得3
k =
， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为3
y x =．
∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为3
y x b =+， 将B (23,0)代入3
y x b =
+中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为3
2y x =-．
由23
21233y x y x x ⎧=
-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
得交点D 的坐标为(3,3)--， 将0x =代入3
2y x =
-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , 23OB OD ==．
在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴△OAB ≌△OCD ．……………………8分
（3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD
的周长最小．
过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '∆∽C DQ '∆．
∴
PO C O DQ C Q '=',即25
3=，∴23
PO =
， ∴ 点P 的坐标为23
(,0)-．………………………………………………………12分
六、解答题（本题满分14分）
22．如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，D 为AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）．
（1）计算矩形EFGH 的面积；
（2）将矩形EFGH 沿AB
向右平移，F 落在BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩
形与△CBD 重叠部分的面积为3
16
时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E FG H ，将矩形1111
E FG H 绕1G 点按顺时针方向旋转，当1H 落在CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形2212E
F
G
H ，设旋转角为α，求cos α的值．
考点：综合应用数学知识解决问题的能力，考查三角形的中位线定理，矩形的面积，三角形的面积公式，勾股定理。

解析：（1）如22题解图1，在ABC ∆中，
∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，∴AB =2,
又∵D 是AB 的中点，∴AD =1，1
12
CD AB ==．
又∵EF 是ACD ∆的中位线，∴1
2
EF DF ==，
在ACD ∆中，AD=CD, ∠A =60°, ∴∠ADC =60°． 在FGD ∆中,sin GF DF =⋅60°3
=
， ∴矩形EFGH 的面积133
2S EF GF =⋅=⨯=
． ……………………………3分 （2）如22题解图2，设矩形移动的距
离为,x 则1
02
x <≤，
当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，
则1
04
x <≤，
22题解图1
C
A
D
B
1
2
S x
==
∴
1
4
x=>．（舍去）．
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则
11
42
x
<≤，
重叠部分的面积
11
24
-⨯=, ∴
3
8
x=．
即矩形移动的距离为
3
8
时，矩形与△CBD
．…………8分
（3）如22题解图3，作
2
H Q AB
⊥于Q．
设DQ m
=
，则
2
H Q=，又
1
1
4
DG=，
21
1
2
H G=．
在R t△H2QG1
中，222
11
)()()
42
m
++=，
解之得m=（负的舍去）．
∴1
21
1
164
cos
1
2
QG
H G
α
+
===．……………………………………14分
22题解图3
1
H
1
E
1
F
1
G
C
A
2
H
2
E
2
F
D
Q。