例谈波利亚“怎样解题”提示语在高中解题教学中的应用

10数学教学研究第40卷第1期 2021年1月
例谈波利亚“怎样解题”提示语在高中解题教学中的应用
黄海，邹智会
(贵州省六盘水市第二十三中学553000)
摘要：文章以波利亚《怎样解题》的“怎样解题表”为论据，结合课本的实例，阐述解题表中给出的“盯住目标”“未知數是什么？’’“你能不能用不同的方法重新叙述它？”“你以前见过它吗？”“你是否知道一个可能用得上的定理？”“能否想出一个具有类似未知数的熟悉的问题？”等一系列提示语在高中解题教学中的应用.
关键词：怎样解题表；理解题意；解题教学
1“怎样解题”的提示语
数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中，给出 著名的“怎样解题表”，在怎样解题表中，他指出，首 先“你必须理解题意”，即弄清楚题目：未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的 统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？并能够引人适当的 符号，画张一图
波利亚指出，在解题过程中，理解题意是关键的 一步，“理解了题意，往往能直接找到问题的解法
思考要盯住目标，弄清问题的过程中，每一步都是寻 思最初的疑问.除了理解题意的提示语外，“你现在 想到了什么？”“这样就可以了吗？”“接下来该怎么办？”“还有什么知识可以利用？”[23，“你能不能用不同的方法重新叙述它？”“你是否知道一个可能用得上的定理？”“能否想出一个具有类似未知数的熟悉的问题？”等等提示语，在解题过程中都会经常用到.
在解题教学中，要解决学生不会做的题目，或者 比较陌生的问题，首先要从问题的原始起点开始，也 就是弄清问题是什么.厘清问题后，解决问题，而解 决问题必然需要条件，自然条件需要去寻找，而条件 就在题设中，在相关的知识和方法中，所以教师可以 用“怎样解题”提示语去激发学生，使学生在解决问题的过程中体会数学思想方法，学会解题方法.本文 通过深人分析“怎样解题表”，并将其细化到具体解题步骤，希望能为数学解题教学提供一些参考.下面将用波利亚在“怎样解题表”中的提示语来解人教A 版必修2第67页练习第2小题.
2 “怎样解题”的提示语的应用
题目过A A B C所在平面a外一点，作P O丄 a，垂足为〇,连接P A，J°B，P C.
(1) 若 PA=P B=P C，Z C=90°，.则点 O是 AB 边的______点.
(2) 若 PA =P B =P C，则点 O 是 A A B C的______心.
(3) 若 PA丄丄P C，P C丄P A，则点 O 是A A B C的______心.（注：原题无图）
分析此题主要考查学生平面几何、立体几何 及三角形“五心”等知识，重在提高学生分析问题、解 决问题、空间想象能力和作图的能力，培养学生直观 想象、数学抽象和逻辑推理等素养.该题虽然有一定 的难度，但所涉及的主要是一些基本概念、基本知识 和一些常用的数学思想方法，也为课后复习题B组 最后一题第2小问作铺垫.下面将用“怎样解题”的提示语来分析并解答本题.
问题（1):盯住目标！求什么？
点O是边的______点_
你能不能用不同的方法重新叙述它？
点O在AJ3边的什么位置？
你见过类似的问题吗？
能否证明（M=O B?
已知条件是什么？
PO丄a,垂足为 〇，f A=P B=P C,Z C=90°.
收稿日期：2020-04-29
第40卷第1期 2021年1月数学教学研究11
怎么证明O A=O B?有什么方法可以用？
证明O A和O B所在的两个三角形全等.
O A和O B所分别在哪两个三角形中？能看出 来吗？
不能.
现在怎么办？
策略：画一张图.
要使O A，O B所分别在两个三角形中，可以怎么办？
连接〇A，O B，OC.根据以上的分析，作出图1.盯住目标！回到定义.P O丄a，也就垂直于a内的所 有直线.
你现在得到了什么？
△A O P，A B O P,A C O P都是直角三角形.
这样就可以了吗？接下来该怎么办？
盯住目标，回到已知条件.
因为：P A=P B=P C,所以
A A O P^A
B O P^A
C O P,
gp O A=O B=OC.
这样能确定点O在A B边的什么位置吗？
不能.
还有什么条件可以用？
Z C=90°.
Z C=90°,A A B C是否特殊？
A A
B C为直角三角形.
接下来怎么办？还有什么知识可以利用？
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.
R t A A B C的斜边是哪一条？
边A B.
所以，点〇是边上的中点.
问题（2):盯住目标.求什么？
点O是A A B C的_____心.
三角形的“心”，三角形有几心？
“五心”（提示：外心、内心、重心，垂心、旁心）.
现在该怎么办？有什么工具可以利用？
回忆三角形“五心”的相关知识：三角形的3条 边中垂线的交点叫三角形的外心；三角形的3条内 角平分线的交点叫三角形的内心；三角形3条中线 的交点为三角形的重心；三角形3条高（所在直线）的交点叫三角形的垂心；三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点叫三角形的旁心.
三角形的外心能不能用不同的方法重新叙述它？
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的 外心.
已知条件是什么？
P O丄a,垂足为 0，PA=P B=P C.
你以前见过它吗？
与问（1)部分条件相同.
这里有一个与你现在的问题有关，且已经解决的问题，你能应用它吗？
肯氐
问（1)已知P O丄a,垂足为0，f>A=P B=P C,能得到什么？
O A=O B=OC•即点O到A A P B的3个顶点 A,B，C的距离相等.所以，点O是A A B C的外心.
问题（3):盯住目标.求什么？
点O是A A B C的______心.
类似地，三角形的“心”，三角形有几心？
“五心”(外心、内心、重心，垂心、旁心）.
现在该怎么办？有什么工具可以利用？
回忆三角形“五心”的相关知识，问（2)已回顾，不再赘述.
已知条件是什么？
f«〇丄a,垂足为〇，P A丄P B，P B丄P C，P C丄P A.
已知条件中有与三角形“心”有关的线吗？
没有.
现在怎么办？有什么方法可以用？
策略：画一张图.
怎么画能出现与三角形“心”有关的线？
连接A O并延长交B C于点E,连接B O
并延长
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交A C于点F,连接C O并延长交A C于点G.根据 以上的分析，作出图2.
图2
问到这里，与B C什么关系？
不知道.
盯住目标，回到定义.我们可以发现，P O丄a，也 就垂直于《内的所有直线，可得到PO丄B C.
还有什么条件可以用？
P A±P B,P A±P C.
P B与P C什么关系?
P B与P C交于点P.
你是否知道一个可能用得上的定理？
直线与平面垂直的判定定理.
根据定理得到什么？
P A面P B C.回到定义，可以发现，P A丄面P B C,也就垂直于面P B C内的所有直线，可得到 PA丄 B C.
上面我们从已知条件导出了什么？
PO丄 J3C，PA丄 B C.
P O与P A什么关系？
P O与P A交于点P.
你是否见过相同的问题？能导出什么？
B C±ffi P O A.
盯住目标！问什么？
A£与B C什么关系？
A£与面P O A什么关系？回到定义，可以发现，A EC：面P O A，B C丄面P O A，B C也就垂直于面 P O A内的所有直线，可得到A£1B C.
丄B C，在A A B C中，能不能用不同的方法重新叙述它？
A£是A A B C边上的高.
这样能确定点O是A A B C的什么心了吗？
不能.接下来该怎么办？能否证明B F丄A C,CG丄A B?
不知道.
能否想出一个具有相似未知数的熟悉问题？
类似A£1B C的证明，可证丄A C，C G丄A B.
到这里，在A A B C中，丄j B C，B£：丄A C，CG 丄你能不能用不同的方式重新叙述它？
A£；，B F，C G分另IJ是A A B C的3条高，且交与 点O.所以，点O是A A B C的垂心.
3结束语
以上是运用“怎样解题”的提示语在解题教学中 的实际应用.解决数学问题需要清晰的思路才能获得更有效的方法，而波利亚“怎样解题”正为学生提 供数学问题的思维方向.题目在解题教学中虽然有一定的难度，但从以上过程中可以看出，通过不断的 提示，激发学生回顾与思考，可以帮助学生弄清问题 的本质，从目标开始，找出已知量和未知量之间的联 系，一步步深人问题的核心，在解题中化繁为简、化 难为易、释疑解惑.
在数学解题教学中，教师不但要教学生如何做题，还要教他们理解问题，更要重视学生解题思路的 培养.遇到较难或陌生的题目，教师应先引领学生会 熟读题目，不是一读了事，要能不看题目就能清楚地 把题意讲述出来，再去寻找解题思路.可试着用“怎 样解题”的提示语言进行解题教学，帮助学生理解题 意，弄清问题，根据提示语抓住问题的本质，从而得 到解决问题的方法.让学生养成这种解题的好习惯，将会使其获得一些条理清晰、随时可以将知识融会贯通，并且提高解题能力.这样，通过还学生一个清晰的思路的渐进过程，使学生的思维循序渐进.在师 生长期的解题互动中，让学生将其最终内化成自己解题的提示语.
参考文献
[1][美]G •波利亚.怎样解题[M]•涂泓，译.上海：上海科
技教育出版社，2011.
[2] 吴才鑫，杨孝斌.例谈波利亚“怎样解题”的提示语在解
高考题中的应用—以2015年全国文科数学丨丨卷第
19题为例[J].凯里学院学报（自然科学），2016,34(2):
171-173.。