2015年长沙市学用杯初中数学九年级复赛试题答案

2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛
复 赛 试 题 参 考 解 答
一、选择题（每题7分）
1．选D ．理由：由于图象过点（－1，0）、（0，－1），则有10.c a b c =-⎧⎨
-+=⎩
，
从而1a b c b =-=+，即知112s a b c b b b =++=++-=.又由题设条件知图象开口向上，有0a >且02a
b
-
>，即得20b <.由1b a =-及0a >推知1b >-.故22b >-.有20s -<<. 2．选B ．理由：由边长分别为a ，c 的正方形上方的两个小直角形相似有
b a a
c b c
-=-，即()()b a b c ac --=，化简得b a c =+. 3．选B ．理由：由题设知9<15<16，从而
<4
的整数部分为
3，于
3b =+，即15=9+6b +b 2，亦即b +6b=6.又
4
3
2
4
3
2
2
2
2
2
20()20))2022123762636)(6(6(6b b b b b b b b b b b b b -=-=-=++++++++++ .
4．选A ．理由：由P 3
+3为质数，可知P 为偶数，又P 为质数，则P =2. 从而P 17+33=217+33=（24）4×2+33.因（24）4的末位数为6，则217的末位数为2，因此P 17+33的末位数为5.
5．选D ．理由：如右图，均联结两个直角三角形的锐角顶点. 均考虑四边形ADBC 的面积. 图（1）S 四边形ADBC 211=2
2
ABC ABD S S ab c ∆∆+=+ 又S 四边形ADBC ＝S 梯形BCED －S △AED 211()2
2
a b ab =+- 由221111()2
2
2
2
ab c a b ab +=+-有222a b c +=
图（2）S 四边形ADCB 211=22ADC ACB S S b ab ∆∆+=+
又S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB 211
()22
c a b a =+-
由221111
()2222
b ab
c a b a +=+-有222a b c +=
图（3）S 四边形ACBD 211
=22
ACB ABC S S ab c ∆∆+=+
又S 四边形ACBD ＝ACB S ∆+ABE S ∆+AED S ∆－BDE S ∆
21111
()2222
ab b ab a b a =++-- 由上即有222a b c +=.
此图（3）也可以考虑四边形ABED 的面积.
二、填空题
6．填2015．理由：由两个条件有2()20150a a c d cd ++++=，2()20150b b c d cd ++++=，知a ，b 是关于x 的方程2()20150x c d x cd ++++=的两个不同的根，由韦达定理，有()a b c d +=-+，2015ab cd =+.
因此2()()()a c b c c c a b ab ++=+++[]2()20152015c c c d cd =+-+++=．
7．填5．理由：如图，延长AD 、BC 交于点E ，则△ABE 为正三角形．设AB ＝x ，则DE =x －3，CE =x －1， ∠DEF ＝60°．作DF ⊥CE 于点F ，则∠EDF ＝30°， 从而1
1(3)22
EF DE x ==-
11
1(3)(1)22
CF CE EF x x x =-=---=+．由勾股定理，
有2222DE EF DC CF -=-
即22231(3)()12()2
2
x x x -+-+=-，解得5x =．
8．填15
．理由：能解组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，
32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54共8个，又是偶数的则只有4个：12，24，42，54．故所求概率为4120
5
=．
9．填1911008
．理由：由题设条件有1115a
b
+=，1116a
c
+=，1117b
c
+=，
三式相加有11124a
b
c
++=，
于是由此式分别减去前三式可得1
7a =，18b =，19
c =．
因333222
13()()()()2
a b c abc a b c a b b c c a ⎡⎤++-=++-+-+-⎣⎦，
从而3
3
3
222
311111191
()()()()()227891008
a b c abc a b c a b b c c a ++-=++=++=-+-+-．
10．填50︒．理由：如图，作P F B D ⊥于点F ，作PG AC ⊥于点G ，作PE AB ⊥于点E ， 则PE PF PG ==，从而P 也在∠EAG 的平分线上.由
11
()402
2
BPC PCF PBC ACF ABC BAC ∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒，
得∠BAC ＝80°．于是100EAC ∠=︒，故50CAP ∠=︒．
三、解答题
12
11．（1）由二次函数过点（1，1）得 2
2
n m =
． ………2分
注意到2
211(4)(4)(28)(4)(2)222
n m n n n n n n -+=-+=--=-+
………4分
所以 2
22
42n n p n ⎧≤-≥⎪
=⎨⎪+-<<⎩
当或n 4当n 4 ………8分
再利用图象知，当n =－2时，min 2p =． ………10分 （2）设图象与坐标轴的三个不同交点为212(0),(0),(0)A x B x C n -，，， ………12分 又212x x n =-，若0n =，则与三交点不符， 故2120x x n =-<，
所以12,x x 分别在原点左右两侧. ………16分 又2121x x n = ，所以，存在点0(0,1)P 使得0OA OB OP OC = . ………18分 故A 、B 、C 、P 0四点共圆.即这些圆必过定点0(0,1)P ． ………20分
12．由题设得，3194acb bac bca cab cba ++++=. ………2分 两边加上abc 得222()3194a b c abc ++=+ ………4分 则222()2221486a b c abc ++=⨯++ ………6分 即知86abc +是222的倍数，且14a b c ++> ………10分 设86222abc k +=，因abc 是三位数， 依次取k =1，2，3，4，
分别得出abc 的可能值为136，358，580，802． ………18分 注意到14a b c ++>，知abc 为358． ………20分
13．如右图所示，在凸六边形中有两类对角线： 一类是“长对角线”，它们连接两个相对顶点如A 2A 5； 另一类是“短对角线”，它们连接两个间隔一顶点的顶点 如A 1A 3、A 2A 6、A 2A 4等． ………5分 如果仅作长对角线，题中所要求的性质不能满足，
因此，在所作的对角线中一定要有短对角线 ………10分 但是，一旦作了某条短对角线，如图A 1A 3，那么， 它只能与由A 2所引出的三条对角线在形内相交．
因此，此时就要作短对角线A 2A 4和长对角线A 2A 5；………15分 再对短对角线A 2A 4作类似的考虑，
发现又要作短对角线A 3A 5和长对角线A 3A 6；
继续这种下去，就会发现，所有的对角线都需要作出． 此时，显然不能满足题目要求．………20分
14．如右图，（1）连接AI 、IE ，则IE AE ⊥. ………2分
且1902
AEF DEC C ∠=∠=︒-∠，以及
11
180180(90)9022
AIF AIB C C ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠．
………8分
从而AEF AIF ∠=∠．故A 、I 、E 、F 四点共圆． ………10分
（2）连接AF ，由A 、I 、E 、F 四点共圆，
知90AFI AEI ∠=∠=︒．即知△ABF 为直角三角形．………12分 设直线FN 交AB 于点M ，由MF ∥BC ，
知MFB FBC FBM ∠=∠=∠，从而△MBF 为等腰三角形，………14分 即MF =MB ．
由ABF ∠与BAF ∠互余，MFB ∠与MFA ∠互余， ………16分 则MFA MAF ∠=∠，有MF =MA ．
即知M 为AB 的中点，从而N 为AC 的中点． ………18分 故:1AN NC = ………20分
F
B
D。