新教材高中数学第四章概率与统计25正态分布课件新人教B版选择性

【补偿训练】 设随机变量 X～N(0，1)，
Φ(0.25) ＝0.598 7，Φ(0.51) ＝0.695 0，求：
(1)Φ－0.25 ；
(2)P(0.25<X≤0.51) .
【解析】(1)Φ－0.25 ＝1－Φ(0.25) ＝1－0.598 7＝0.401 3. (2)P(0.25<X≤0.51) ＝P(X<0.51) －P(X<0.25) ＝Φ(0.51) －Φ(0.25) ＝0.695 0－0.598 7
数学考试试卷满分是 150 分，设在一次考试中，某班学生的分数 X 近似服从正态 分布，且均值为 110，标准差为 20. (1)求这个班在这次数学考试中分数在 90 分以上的概率； (2)若这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中 130 分以上的人数．
【解析】(1)由题意可知，分数 X～N(110，202)，μ＝110，σ＝20， P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)， 因为 P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ) ＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以 P(X≤μ－σ)＝0.158 5， 所以 P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.158 5＝0.841 5.
为什么 σ 决定正态曲线的“胖瘦”？ 提示：σ 越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ 越小，
说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
2．正态分布
(1)定义：一般地，如果随机变量 X 落在区间a，b 内的概率，总是等于 φμ，σ(x) 对
应的正态曲线与 x 轴在区间a，b 内围成的_面___积___，则称 X 服从参数为 μ 与 σ 的正 态分布，记作 X～N(μ，σ2)，此时_φ__μ_，__σ_(_x_)__称为 X 的概率密度函数，μ 是 X 的 __均__值___，σ 是 X 的__标__准__差___，σ2 是则D(X)等于( ) A．0.8 B．0.64 C．0.642 D．6.4 【解析】选B.因为X～N(10，0.64)，所以D(X)＝0.64.
3．(教材二次开发：练习改编)若随机变量ξ～N(10，σ2)， P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________． 【解析】由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以 x＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11) ＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2， 又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3. 答案：0.3
求服从正态分布的随机变量在区间内的概率 【典例】某正态概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 1 ，则总体落入
2π 区间(0，2)内的概率为________．
【思路导引】由已知条件求出 μ 和 σ，进而利用 3σ 原则求得概率．
【解析】若正态概率密度函数是 φ(x)＝ σ
1 2π
（x－u）2 e－ 2σ2
为正态曲线．
(2)性质：
①正态曲线关于直线___x_＝__μ___对称，具有“_中__间__高__，__两__边__低____”的特点； ②正态曲线与 x 轴所围成的图形面积为_1_； ③曲线的形状由参数 σ 确定，__σ_越__大___，曲线越“胖”；__σ_越__小___，曲线越“瘦”．
(3)面积：正态曲线与 x 轴在区间μ，μ＋σ 内所围面积约为__0_._3_4_1_3___，在区间 μ＋σ，μ＋2σ 内所围面积约为_0__.1_3_5_9____，在区间μ＋2σ，μ＋3σ 内所围面积约 为___0__.0_2_1__5___．如图：
2．已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3，σ2)，则 P(ξ<3)等于( )
A．15
【解析】由 X～N(2，9)可知，μ＝2，σ＝3. (1)正态曲线关于直线 x＝2 对称(如图所示).
因为 P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有 2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以 c＝2.
(2)根据正态曲线的对称性，所求面积为区间μ，μ＋σ 对应的面积的 2 倍，即约为 2×0.341 3＝0.682 6. (3)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954.
(2)三个特殊区间内取值的概率值：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_6_8_._3_%__， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_9_5_._4_%__， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_9_9_._7_%__． (3)“3σ 原则”：由 P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%知，正态变量 X 在区间[μ－3σ，μ＋3σ] 之外取值的概率约为__0_.3_%__ (这样的事件可看成小概率事件).
4．2.5 正 态 分 布
必备知识·自主学习
1．正态曲线
(1)定义：当 n 充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．具
体地 φ(x)
＝ σ
1 2π
（x－μ）2 e－ 2σ2
，φ(x )
的解析式中含有 μ 和 σ 两个参数，其中 μ
＝E(X)，即 X 的均值，σ＝ D（X） ，即 X 的标准差．一般地 φ(x) 对应的图像称
(2)因为 P(X≥130)＝P(X≥110＋20)＝P(X≥μ＋σ)， 所以 P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝0.683＋2P(X≥μ＋σ)＝1， 所以 P(X≥μ＋σ)＝0.158 5，即 P(X≥130)＝0.158 5. 所以 54×0.158 5≈9(人)，即 130 分以上的人数约为 9 人．
，x∈(－∞，＋∞)是偶函
数，则 μ＝0.因为 φ(x) 的最大值为 φ(u) ＝ 1 ＝ 1 ，所以 σ＝1，所以 P(0<X<2)
σ 2π 2π
＝12 P(－2<X<2)＝12 P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝21 ×0.954 4＝0.477 2.
答案：0.477 2
1．求正态曲线与 x 轴在区间内所围成的面积常根据如图所示图形与数据：正态曲线 与 x 轴在区间u，u＋σ 内所围成的面积为 0.341 3，在区间u＋σ，u＋2σ 内所围成 的面积为 0.135 9，在区间u＋2σ，u＋3σ 内所围成的面积为 0.021 5.如图．
1．已知随机变量 X～N(2，σ2)，若 P(X<a)＝0.32，则 P(a≤X<4－a)＝________． 【解析】由正态分布图像的对称性可得：
P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36. 答案：0.36
2．设随机变量 X～N(2，9)，若 P(X>c＋1)＝P(X<c－1). (1)求 c 的值； (2)求曲线与 x 轴在区间－1，5 内所围的面积； (3)求 P(－4<X≤8).
关键能力·合作学习
类型一 正态曲线及性质的应用(数据分析、数学运算) 求正态曲线与 x 轴在区间内所围成的面积
【典例】正态曲线与 x 轴在区间μ＋σ，＋∞ 内所围的面积为( ) A．0.5 B．0.341 3 C．0.158 7 D．0.021 5 【思路导引】利用正态曲线的对称性求解． 【解析】选 C.根据正态曲线的对称性，所求区间的面积约为 0.5－0.341 3＝0.158 7.
1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)正态曲线是一条钟形曲线．( √ ) 提示：由正态分布曲线的形状可知该说法正确． (2)正态曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝σ对称．( × ) 提示：正态曲线关于直线x＝μ对称． (3)Φ（2）＝0.841 3.( × ) 提示： Φ （2）＝P（x＜2）＝0.5＋0.341 3＋0.135 9＝0.977 2.
＝0.096 3.
课堂检测·素养达标
1．设两个正态分布 N(μ1，σ21 )(σ1>0)和 N(μ2，σ22 )(σ2>0)的概率密度函数图像如图所 示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】选 A.根据正态分布的性质：对称轴方程 x＝μ，σ 表示正态曲线的形状．由 题图可得选项 A 正确．
3．标准正态分布
(1)标准正态分布的定义：_μ_＝__0_且___σ_＝__1__的正态分布称为标准正态分布．
(2)Φ(a) 的概念：如果 X～N(0，1)，那么对于任意 a，通常记 Φ(a) ＝P(X<a) ，即 Φ(a)
表示 N(0，1)对应的正态曲线与 x 轴在区间－∞，a 内所围的面积．
(3)Φ(a) 的性质：Φ－a ＋Φ(a) ＝_1_．
所以由 Φ－a ＋Φ(a) ＝1 得，Φ－0.42 ＝1－Φ(0.42)
＝1－0.662 8＝0.337 2.
2．设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，已知 Φ－0.18 ＝0.428 6，求 P(|X|<0.18) .
【解析】由正态曲线的对称性知，
Φ－0.18 ＝PX<－0.18 ＝P(X>0.18) ＝0.428 6，
所以 P(|X|<0.18) ＝P－0.18<X<0.18
＝1－2PX<－0.18 ＝1－2×0.428 6＝0.142 8.
求标准正态分布的概率问题的关注点 (1)标准正态曲线特点：关于 y 轴对称，σ＝1；
(2)Φ(a) 的含义：Φ(a) ＝P(X<a) ；
(3)解题思路： ①当 a＝±1，±2，±3 时，利用 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ ＋3σ)的概率值求解； ②当 a 为其他值时，可查表求解．
类型二 正态分布的实际应用(数学建模、数学运算) 【典例】数学考试试卷满分 150 分，设在某次数学考试中，某校考生的分数 X 服从 正态分布，即 X～N(90，100). (1)求此次考试中分数 X 位于区间(70，110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试分数在(80，100)间的考生大约有多少 人？
正态曲线与 x 轴在区间u＋2σ，＋∞ 内所围成的面积为______，在区间 －∞，u－3σ 内所围成的面积为________． 【解析】根据正态曲线的对称性，正态曲线与 x 轴在区间u＋2σ，＋∞ 内所围成的 面积为 0.5－0.341 3＋0.135 9 ＝0.022 8， 在区间－∞，u－3σ 内所围成的面积为 0.5－(0.341 3＋0.135 9＋0.021 5)＝0.001 3. 答案：0.022 8 0.001 3
四步
理解 题意
思路 探求
内容 条件：①考生的分数 X～N(90，100)；②共有 2 000 名考生． 结论：求分数 X 位于区间(70，110)上的概率；估 计分数在(80，100)间的考生的人数．
先确定出 μ＝90，σ＝10，再结合 3σ 原则求解．
解答正态分布的实际应用题的关注点 (1)方法：转化法，把普通的区间转化为 3σ 区间，由特殊区间的概率值求出． (2)理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线与 x 轴之间的面积为 1；③P(μ－σ≤X≤μ ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．
类型三 标准正态分布(数学运算) 1．设随机变量 X～N(0，1)， (1)求 Φ－3 的值；
(2)若 Φ(0.42) ＝0.662 8，求 Φ－0.42 .
【解析】(1)因为 X～N(0，1)，所以 Φ－3 ＝
PX<－3 ＝12 1－P－3≤X≤3 ≈
1 2
1－0.997
＝0.001 5.
(2)因为 X～N(0，1)且 Φ(0.42) ＝0.662 8，
2．求服从正态分布的随机变量在区间内的概率的两个方法：(1)对称法：由于正态曲 线是关于直线 x＝μ 对称的，且概率的和为 1，故关于直线 x＝μ 对称的区间上概率相 等．如：(1)P(X<a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). (2)“3σ”法：利用 X 落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概 率分别是 0.683，0.954，0.997 求解．