北京市丰台区2013届高三下学期统一练习(二)文科数学含解析

丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）
数学（文科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 复数(34)i i +的虚部为
（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 【答案】A
【KS5U 解析】2
(34)3443i i i i i +=+=-+，所以虚部为3，选A. 2. 若a ∈R ，则“a ＝1”是“1a =”的
（A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 【答案】C
【KS5U 解析】若1a =，则1a =±。

所以“a ＝1”是“1a =”的充分而不必要条件，选C. 3. 设向量a =(4，x ),b =(2,-1),且a ⊥b ，则x 的值是 （A ）8 （B ）-8 （C ）2 （D ） -2 【答案】A
【KS5U 解析】因为a b ⊥,所以设420a b x ⋅=⨯-=，解得8x =，选A.
4. 双曲线22
123
x y -=的离心率为
（A （B ） （C （D
【答案】C
【KS5U 解析】由双曲线的方程可知2
2
2,3a b ==，所以a c ===
率c e a =
==
，选C. 5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12
x π
=
对称的是
（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23
x y π
=-
（C ）sin(2)3y x π=- （D ） sin(2)3
y x π
=+
【答案】D
【KS5U 解析】因为函数的周期是π，所以2T π
πω
==，解得2ω=，排除A,B.当12
x π
=
时，
sin(2)sin 11232y πππ
=⨯
+==为最大值，所以sin(2)3y x π
=+图象关于直线12
x π
=对称，选D. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A ）24 （B ） 20+42 （C ）28 （D ）24+ 42 【答案】B
【KS5U 解析】由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，该几何体的下部是边长为2的正方体，所以该几何体的表面积为，
2
152
422422
S =⨯+⨯⨯+选B ．
7.在平面区域02,
02
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y
满足x y b +≤的概率大于18，则b 的取值范围是
（A ） (,1)-∞ （B ） (0,1) （C ）(1,4) （D ） (1,)+∞ 【答案】D
【KS5U 解析】其构成的区域D 如图所示的边长为2的正方形，面积为S 1=4，满足x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的等腰直角三角形，其面积为
222122b S b =⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足x y b +≤的概率2
2248
b b P ==,由题意令
21
88
b >，解得1b >,选D ．
8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下： ①当a=2，m=0时，直线l 与图象G 恰有3个公共点； ②当a=3,m=
1
4
时，直线l 与图象G 恰有6个公共点； ③(1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③ 【答案】D
【KS5U 解析】设[0,2)x ∈，则(2,0]x -∈-，故()(2)()f x x x f x -=-=，所以当[0,2)
x ∈时，()(2)f x x x =-。

当[0,)x ∈+∞时，(2),[0,2)
()(2)(),[2,)
x x x f x x a x x -∈⎧=⎨
--∈+∞⎩。

①当a=2，m=0时，当[0,)x ∈+∞时，2
(2),[0,2)
()(2),[2,)
x x x f x x x -∈⎧=⎨--∈+∞⎩，做出偶函数()f x
的图象如图，
，由图象可知直线l 与图象G 恰
有3个公共点；所以①正确。

②当a=3,m=1
4时，当[0,)x ∈+∞时，(2),[0,2)()(2)(3),[2,)x x x f x x x x -∈⎧=⎨--∈+∞⎩
，做出偶函数()
f x 的图象如图，
，由图象可知偶函数与直线1
4
y =
有5个不同的交点，所以②正确。

③(1,)m ∀∈+∞，偶函数f （x ）（x ∈R ）的图象如下：
(4,)a ∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等．故③正确；
其中正确命题的序号是①②③．选D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 过点(0,2)P 且与直线20x y -=平行的直线方程为 . 【答案】220x y -+=
【KS5U 解析】直线20x y -=的斜率为2，所以与直线20x y -=平行的直线方程为
22(0)y x -=-，即220x y -+=。

10.已知变量,x y 具有线性相关关系，测得(,)x y 的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5)，
其回归方程为ˆ 1.4y
x a =+，则a 的值等于 . 【答案】0.9
【KS5U 解析】样本数据的平均数1(123) 1.54x =
++=，1
(1245)34
y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

11.等差数列{a n }中，a 3=5,a 5=3,则该数列的前10项和S 10的值是_______. 【答案】25 【KS5U
解析】在等差数列中，由
a 3=5,a 5=3,得17,1a d ==-，所以
10109
107(1)252
S ⨯=⨯+
⨯-=。

12.若tan()2x π-=，则tan 2x 的值是 .
【答案】
43
【KS5U 解析】由tan()2x π-=得tan 2x =-。

所以222tan 224
tan 21tan 1(2)3
x x x -⨯=
==---。

13若函数()(0,1)x
f x a a a =>≠在［－2，1］上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是＿＿＿＿. 【答案】
12或116
【KS5U 解析】若1a >，则有2
(1)4,(2)f a f a m -==-==，解得21116
m a =
=。

若01a <<，则有2
(1),(2)4f a m f a -==-==，解得12m a ==。

所以12m =或116
m =
14. 已知直线x=2,x=4与函数2log y x =的图象交于A,B 两点，与函数4log y x =的图象交于C,D 两点，则直线AB,CD 的交点坐标是_________. 【答案】(0,0)
【KS5U 解析】当2x =时，2log 21y ==，41log 22y ==
，即1
(2,1),(2,)2
A C .当4x =时，2log 42y ==，4log 41y ==，即(4,2),(4,1)
B D .所以直线AB 的斜率为1211
422
k -=
=-，所以方程为11(2)2y x -=-，即12y x =。

直线CD 的斜率为21112244
k -==-，所以方程为
11(4)4y x -=
-，即1
4y x =。

联立两式，解得00
x y =⎧⎨=⎩，即直线AB,CD 的交点坐标是(0,0)。

三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 本小题13分） 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,
且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；
（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .
16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm ）的统计数据用茎叶图表示（如图）. （Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；
（Ⅱ）从身高超过180cm 的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率.
17. （本小题13分）如图，多面体EDABC 中，AC ，BC ，CE 两两
垂直，AD //CE ，ED DC ⊥，1
2AD CE =，M 为BE 中点.
（Ⅰ）求证：DM //平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCD .
18. （本小题13分）已知函数
2
1()ln (1)(0)2
f x a x a x x a =-++
≥. （Ⅰ）若直线l 与曲线()y f x =相切，切点是P(2,0)，求直线l 的方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.
15 16 17 18
9 8 8 5 5 1 1 0
2 1 9 6 9 2
3
4 7 2 3 5
第一组
第二组
19.（本小题14分）已知椭圆C ：2
214
x y +=，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM 分
别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,1
2
) 满足0m ≠，且m ≠
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；
（Ⅲ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关.
20. （本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，
1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n c 的前50项和50S ；
（Ⅲ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，写出数列{}n d 的通项公式，并说明理由.
丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）
数学（文科）
一、选择题选择题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题共
6小题，每小题5分，共30分. 9. 2x -y +2=0； 10.0.9；
11.25； 12.
34； 13. 116或2
1
； 14. (0,0). 三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 本小题13分） 已知ABC ∆
的三个内角分别为A,B,C,
且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；
（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S . 解: （Ⅰ） 22sin ()2.B C A +=
22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分
sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴=∴= ……………………….4分
60,0=∴<<A A π °. …………………….6分
（Ⅱ）在ABC ∆中,
60cos 22
2
2
⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==
,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分
3102
3852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=
∴∆ AC AB S ABC . …………………….13分 16.（本小题13分）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组，第一组和第二组学生身高（单位：cm ）的统计数据用茎叶图表示（如图）. （Ⅰ）求第一组学生身高的平均值和方差；
（Ⅱ）从身高超过180cm 的五位同学中随机选出两位同学参加校篮球队集训，求这两位同学在同一小组的概率. 解: （Ⅰ）
11
(168168169170171171175175181182)17310
x cm =
+++++++++=, ………………………….3分
15 16 17 18
9 8 8 5 5 1 1 0
2 1 9 6 9 2
3
4 7 2 3 5
第一组
第二组
()()()()()2222
22211168173168173169173...18117318217323.610S cm ⎡⎤=
-+-+-++-+-=⎣
⎦; ………………………….6分 答: 第一组学生身高的平均值为173cm ,方差为23.62
cm 。

（Ⅱ）设“甲、乙在同一小组”为事件A ， ………………………….7分 身高在180以上的学生别记为a,b,c,d,e,其中a,b 属于第一组，c,d,e 属于第二组。

从五位同学中随机选出两位的结果是如下10种： (a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e).
其中两位同学在同一小组的4种结果是：(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) . ……….11分
∴5
2
104)(==
A P . 答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为
2
5
. ………………………….13分 17. （本小题13分）如图，多面体EDABC 中，AC ，BC ，CE 两两垂直，AD //CE ，ED DC ⊥，
1
2AD CE =，M 为BE 中点.
（Ⅰ）求证：DM //平面ABC ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCD . 解：（Ⅰ）设N 为BC 中点，连结MN ，AN ,
M 为BE 中点,
∴MN//EC ，且MN=21EC ,
AD //EC ，且AD =
2
1
EC ,
∴四边形ANMD 为平行四边形, ……………………….3分
∴ AN //DM DM ⊄平面ABC ，AN ⊂平面ABC , ∴ DM //平面ABC ; ……………………….6分
（Ⅱ） CE BC AC BC ⊥⊥,,C CE AC = ,∴⊥BC 平面ACED ,
⊂DE 平面ACED ,∴⊥BC DE , ……………………….9分
∵DE ⊥DC ,
又 ⊥DE BC ,C DC BC = ,∴ DE ⊥平面BCD . ……………………….12分
⊂DE 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD . ……………………….13分
19. （本小题13分）设函数 2
1()ln (1)(0)2
f x a x a x x a =-++
≥. （Ⅰ）若直线l 与曲线()y f x =相切，切点是P(2,0)，求直线l 的方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.
解：（Ⅰ）∵P (2,0)在函数f (x )的图象上，∴f (2)=0 ∴02)1(22ln =++-a a ,即(ln 22)0,a -=,
ln 220,0a -≠∴=. ……………………….2分
∴f (x )=
2
12
x x -，∴()1f x x '=-, ∴(2)1f '=, ……………………….4分 ∴直线l 的方程为y =x -2，即x -y -2=0 . ……………………….5分 （Ⅱ）()f x 的定义域为{|0}x x >, ……………………….6分
(1)()
()(1)a x x a f x a x x x
--'=
-++=
, ………………………7分 由()0f x '=得1,x x a ==或,
①当1a =时,()0f x '≥在（0，+∞）上恒成立，当且仅当x=1时，()0f x '=，
∴()f x 的单调递增区间是（0，+∞）
； ………………………8分 ②当a =0时，,()01f x x '>⇔>，()001f x x '<⇔<<，
∴()f x 的单调递增区间是（1，+∞），()f x 的单调递减区间是（0，1）；……9分 ③当01a <<时,()001f x x a x '>⇔<<>，或，()01f x a x '<⇔<<，
∴()f x 的单调递增区间是（0，a ）和（1，+∞），()f x 的单调递减区间是（a ，1）； ………………………11分
④当1a >时,()001
f x x x a '>⇔<<>，或，()01f x x a '<⇔<<， ∴()f x 的单调递增区间是（0，1）和（a ，+∞），()f x 的单调递减区间是（1，a ）.
19.（本小题14分）已知椭圆C ：2
214
x y +=，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM 分别与椭
圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,
12) 满足0m ≠，
且m ≠
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ；
（Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；
（Ⅲ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关.
解：（Ⅰ）依题意知2a =,3=
c ,23=∴e ; ………… 3分 （Ⅱ） )1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12
)，且0m ≠， ………………………4分 ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m
23, ∴直线AM 的方程为y =121+-x m
,直线BM 的方程为y =123-x m , ……………6分 由⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+,121,1422
x m y y x 得()22140m x mx +-=，
240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭
………………………8分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422
x m y y x 得()
229120m x mx +-=， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝
⎭； ………………………10分 （Ⅲ）据已知，20,3m m ≠≠，
∴直线EF 的斜率22
2222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m
---+-++===---++23,4m m +- …………………12分
∴直线EF 的方程为 2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭
, ………………13分
令x =0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ………………14分
20. （本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，
1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c .
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}n c 的前50项和50S ；
（Ⅲ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，写出数列{}n d 的通项公式，
并说明理由.
解：（Ⅰ）设等比数列{}n b 的公比为q ，
11431,18b a b a ===+=，则q 3=8，∴q =2，∴b n =2n -1， ………………………3分 （Ⅱ）根据数列{a n }和数列{}n b 的增长速度，数列{}n c 的前50项至多在数列{a n }中选50项，数列{a n }的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，由2n -1<148得，n ≤8,数列{b n }的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a n }中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a 46=136>128，故数列{c n }的前50项应包含数列{a n }的前46项和数列{b n }中的2，8，32，128这4项. …………………6分
所以S 50=14646()28321282
a a +++++=3321; ………………………8分 （Ⅲ）据集合B 中元素2，8，32，128∉A ，猜测数列{}n d 的通项公式为d n =22n -1. …9分 d n =
b 2n ，∴只需证明数列{b n }中，b 2n-1∈A ，b 2n ∉A （n N *∈） ……………………11分 证明如下：
b 2n +1-b 2n-1=22n -22n -2=4n -4n -1=3×4n -1,即b 2n +1=b 2n -1+3×4n -1，
若∃m ∈N *,使b 2n -1=3m -2，那么b 2n +1=3m -2+3×4n -1=3(m +4n-1)-2，所以，若b 2n -1∈A ，则b 2n +1∈A .因为b 1∈A ，重复使用上述结论，即得b 2n -1∈A （n N *∈）。

同理，b 2n+2-b 2n =22n +1-22n -1=2×4n -2×4n -1=3×2×4n -1,即b 2n +2=b 2n +3×2×4n -1，因为“3×2×4n -1” 数列{}n a 的公差3的整数倍，所以说明b 2n 与b 2n +2()n N *∈同时属于A 或同时不属于A ， 当n =1时，显然b 2=2∉A ，即有b 4=2∉A ，重复使用上述结论，
即得b2n∉A，∴d n=22n-1；………………………………………14分。