课件3：§7.5 正态分布

( B) A．95.45%
B．99.73%
C．4.55%
D．0.27%
【解析】由 X～N(－2，14)，知 μ＝－2，σ＝21，
∴P(－3.5<X≤－0.5)＝P(－2－3×0.5<X≤－2＋3×0.5)
＝0.997 3.
3．已知正态分布总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率 和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值 为________． 【解析】区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线 x＝1 对称， 所以均值 μ 为 1. 【答案】1
课堂检测
1．下列函数可以作为正态分布密度函数的是 ( A )
A．f(x)＝
( x1)2
1e 2 2π
B．f(x)＝σ
1
( xu)2
e 2 2
2π
C．f(x)＝
1
e
(
x u )2 2 2
2πσ
D．f(x)＝21π
e
(
xu 2π
)2
2．若 X～N(－2，41)，则 X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是
归纳领悟 1．在正态分布 X～N(μ，σ2)中，μ 就是随机变量 X 的均值，σ2 就是随机变量 X 的方差，它们分别反映 X 取值的平均大小和 稳定程度． 2．正态密度曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
(3)曲线在
x＝μ
处达到峰值 σ
课堂小结 1.知识清单： (1)正态曲线及其特点. (2)正态分布. (3)正态分布的应用，3σ原则. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价.
本节内容结束 更多精彩内容请登录：

§7.5 正态分布
学习目标
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的 特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－ 3σ，μ＋3σ]内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题.
知识点一 正态曲线与正态分布
1.我们称f(x)＝σ
1 2π
3．设随机变量 X～N(3，1)，若 P(X＞4)＝p，则 P(2＜X＜4)
＝( )
A.12＋p
B.1－p
C.1－2p
D.12－p
【解析】由 X～N(3，1)得 μ＝3，所以 P(3＜X＜4)＝21－p，
即 P(2＜X＜4)＝2P(3＜X＜4)＝1－2p.
【答案】C
4. 正态分布的概率密度函数 P(x)＝2 12πe－（x－85）2在(3， 7]内取值的概率为________．
e
(
x )2 2 2
， x∈R ， 其 中 μ∈R ， σ>0 为 参
数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，
简称正态曲线.
2.若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服 从正态分布，记为 X～N(μ，σ2) .特别地，当μ＝0，σ＝1
时，称随机变量X服从标准正态分布.
3. 若 X ～ N(μ ， σ2) ， 如 图 所 示 ， X 取 值 不 超 过 x 的 概 率 P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
1； 2π
(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1；
(5)当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图①；
(6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越 “尖陡”；σ 越大，曲线越“扁平”，如图②.
预习自测
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)
＝P(ξ＞6Leabharlann ＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于 ( B )
探究二 利用正态分布求概率 典例 2 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)， 求正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率． 解：由题意得 μ＝1，σ＝2，所以 P(－1＜X≤3) ＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6.又因为正态曲线关于 x＝1 对称，所以 P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3) ＝0.341 3.
4．随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1)，如果 P(ξ≤1)＝0.841 3， 求 P(－1<ξ≤0)． 解：如图所示，因为 P(ξ≤1)＝0.841 3， 所以 P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7， 所以 P(ξ≤－1)＝0.158 7， 所以 P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.
【解析】根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线 是一条关于直线 x＝μ 对称，在 x＝μ 处处于最高点，并由该 点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位 于 x 轴的上方，曲线形状由 σ 决定，而且当 μ 一定时，比较 若干个不同的 σ 对应的正态曲线，可以发现 σ 越大，曲线越 “扁平”，σ 越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确． 【答案】①③⑥⑦
知识点二 正态曲线的特点 1.对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方 . 2.曲线与x轴之间的面积为 1 . 3.曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称.
1
4.曲线在 x＝μ 处达到峰值 σ 2π .
5.当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.
6.当 σ 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 μ 的变化而 沿x轴平移，如图①. 7.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”， 表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”， 表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
【解析】由题意可知X～N(5，4)，且μ＝5，σ＝2， 所以P(3＜X≤7)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. 【答案】0.682 6
5．设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2，9)，若 P(ξ＞c＋1)＝ P(ξ＜c－1)，则 c＝________． 【解析】由正态分布的性质及条件 P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c －1)＝2×2，所以 c＝2. 【答案】2
反思感悟 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值. (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ， μ＋3σ]这三个区间进行转化. (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线 与x轴之间的面积为1求出最后结果.
跟踪训练 3.灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 X(单位：小时)，已知 X～ N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为 1000 小时的概率约为 99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？ 解：因为灯泡的使用寿命 X～N(1 000,302)， 故 X 在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为 99.7%， 即 X 在(910,1 090)内取值的概率约为 99.7%， 故灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上．
反思感悟 利用正态分布的对称性求概率 由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.
跟踪训练 2.标准正态分布 N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的 概率分别为 p1，p2，则 p1 与 p2 的大小关系为________．
【解析】根据正态曲线的特点，关于 x＝0 对称，故在区 间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率相等，即 p1＝p2. 【答案】p1＝p2
探究三 正态分布的应用 典例 3 设在一次数学考试中，某班学生的分数 X～ N(110,202)，且知试卷满分 150 分，这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中及格(即 90 分以上)的人 数和 130 分以上的人数．
解：μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20) ＝P(X－μ≥－σ)， ∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ) ＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1， ∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7， ∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
A．0.3
B．0.35
C．0.5
D．0.7
【解析】由题意可得 P(2≤ξ<4)＝1－02.15×2＝0.35，
故选 B．
2.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2，σ2)，则 P(X＜2)等于
()
1
1
1
1
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】由题意知的 X 均值为 2，因此 P(X＜2)＝21.
【答案】D
思考1
正态曲线f(x)＝
1 2πσ
e
(
x )2 2 2
，x∈R中的参数μ，
σ有何意义？
答案 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝μ； σ>0表示标准差，D(X)＝σ2. 一个正态密度函数由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自 变量，x∈R.
思考2 若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？ 答案 若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态 分布的定义：P(a<X≤b)为区域B的面积，X可取(a，b]内的 任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.
题型探究 探究一 正态曲线 典例1 如图所示是一个正态曲线，试根据该图像写出 其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变 量的数学期望和方差．
解：从给出的正态曲线可知，
该正态曲线关于直线 x＝20 对称，
最大值是 1 ，所以 1 ＝ 1 ，
2π
2π·σ 2 π
解得 σ＝ 2.所以正态分布密度函数的解析式是
f(x)＝2
1
π
e
(
x
20 4
)2
，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望 μ＝20，方差 σ2＝( 2)2＝2.
反思感悟
利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点 结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值 1 ，由此特点结合图象
σ 2π
可求出σ.
跟踪训练
1．关于正态曲线 P(x)＝
1 2πσe
σ>0 有以下命题：
，x∈(－∞，＋∞)，
①正态密度曲线关于直线 x＝μ 对称； ②正态密度曲线关于直线 x＝σ 对称； ③正态密度曲线与 x 轴一定不相交； ④正态密度曲线与 x 轴一定相交；
⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数； ⑥曲线对称轴由 μ 确定，曲线的形状由 σ 决定； ⑦当 μ 一定时，σ 越大，曲线越“扁平”，σ 越小， 曲线越“尖陡”． 其中正确的是________(填序号)．
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为 45 人． ∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)， ∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ) ＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1， ∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即 P(X≥130)＝0.158 7. ∴54×0.158 7≈9(人)，即 130 分以上的人数约为 9 人．
知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ 原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ 0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验 中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在 此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情 况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ 原则.