四川省雅安中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

雅安中学2015-2016学年高二上期11月半期考试
数学试题（理科）
（ ）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题：60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）
1
．直线y =+的倾斜角是（ ）
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒ 2、若不等式a x 2
+5x +c ＞0的解集为，则a+c 的值为（ ） A ．5
B ．﹣5
C ．7
D ．﹣7
3、二次不等式2
0ax bx c ++<的解集是全体实数的条件是 （ ）
0000
0000
a a a a A B C D >><<⎧⎧⎧⎧⎨
⎨
⎨
⎨
∆>∆<∆>∆<⎩⎩⎩⎩ 4、已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域内运动，
则z x y =-的最大值是( )
A ．1-
B ．2-
C ．2
D ．3 5、设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（ ）
A
π6 B ．43π C ．83π D ．32
3
π
6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，正确的是（ ） A ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ B ．若,//n m n α
β=，则//,//m m αβ
C ．若//,m m n α⊥，则n α⊥
D ．若αβ⊥，m α⊥，则m β∥
7、如图，直二面角α﹣l ﹣β中，AB ⊂α，CD ⊂β，AB ⊥l ，CD ⊥l ，垂足分别为B 、C ，且AB=BC=CD=1，则AD 的长等于（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
14题图
图
8.已知点()()2,33,2,A B --、若直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A. 3
24
k k ≤
≥或 B 324k ≤≤. C.423k k ≤≥或 D. 423k ≤≤
9、若直线mx +n y +2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆（x +3）2+（y +1）2
=1的弦长为2，则13m n +
的
最小值为（ ） A ．4 B ．12 C ．16 D ．6
10、将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
11过点Q （2，4）引直线与圆x 2+y 2
=1交于R ，S 两点，那么弦RS 的中点P 的轨迹为（ ）
A ．圆（x +1）2+（y +2）2=5
B ．圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2
=5
C ．圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y =0的一段弧
D ．圆x 2+y 2
+2x +4y =0的一段弧 12已知点P （t ，t ），t ∈R ，点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221
(2)4
x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．
B ．2
C.3 D ．
第Ⅱ卷（非选择题：90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13 .不等式﹣x 2
﹣2x +3＜0的解集为 ．
14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是 .
15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的直线mx ﹣y ﹣m +3=0交于点P （x ，y ），则 PB PB + 的最大值是 。

16、如图,正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。

则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①当0<CQ<1
2
时，S 为平行四边形； ②当CQ=
1
2时，S 为等腰梯形； ③当CQ=34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R=1
4
④当CQ=1时，S
16题图
A
C
1A 11
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17（本小题满分10分）已知集合A={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B={x |x 2﹣2mx +m 2
﹣9≤0}，m ∈R ． （1）若m =3，求A∩B ；
（2）若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．
18．(本小题满分12分)右图是一个正三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何
体，截面为ABC ．已知111=B A ，14AA =，12BB =，13CC =． （1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的正弦值；
19、(本小题满分12分)如图，棱锥ABCD P -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
22,2===BD AD PA .
（1）求证：BD ⊥平面P AC ； （2）求二面角P —CD —B 的大小； （3）求点C 到平面PBD 的距离.
19题图
18题图
20、(本小题满分12分)三角形ABC 的三个顶点A （1,3）B （1，﹣3）C （3，3），求 （Ⅰ）BC 边上中线AD 所在直线的方程； （Ⅱ）三角形ABC 的外接圆O 1的方程；
（Ⅲ）已知圆O 2：2
2
460x y y +--=,求圆心在x -y -4=0,且过圆O 1与圆O 2交点的圆的方程。

21．(本小题满分12分)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．
（Ⅰ）若AB ＝42
3
，求MQ 及直线MQ 的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点．
22. (本小题满分12分)若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切， 从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切线PT ，T 为切点， （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且PT PQ =， 试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l 与x 轴的交点为F ，点,M N 是直线6x =上两动点，且以,M N 为
直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．
雅安中学高2015—2016学年高二年级上期期中考试
数 学 试 题 答 案 （理科）
二、填空题13 (,3)(1,)-∞-⋃+∞ 14 30 ②④
三．解答题（共9小题）
17解：集合A={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}={x |﹣1≤x ≤3}， B={x |x 2﹣2m x +m 2﹣9≤0}={x |m ﹣3≤x ≤m+3} （1）由于B={x |m ﹣3≤x ≤m+3}
故当m=3时，B={x |0≤x ≤6}∴A∩B=[0，3]
（2）由于集合A={x |﹣1≤x ≤3}，B={x |m ﹣3≤x ≤m+3} ∵
18．（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．
则11OD BB CC ∥∥，因为O 是AB 的中点，所以1111
()32
OD AA BB CC =
+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A ；
则OC ∥面111A B C ．
（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ，作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ．连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．
因为23=
BH ，AB =10
15
sin ==∠AB BH BAH ． 19（1）在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2，
ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A .
又∵P A ∩AC =A ∴BD ⊥平面P AC .
（2）由P A ⊥面ABCD ，知AD 为PD 在平面ABCD 的射影，又CD ⊥AD ， ∴CD ⊥PD ，知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角.
又∵P A =AD ，∴∠PDA=450 . （3）∵P A =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ，设C 到面PBD 的距离为d ，
由PBD C BCD P V V --=，有
d S PA S PBD BCD ∙∙=∙∙∆∆3
1
31， 即d ∙∙∙=⨯⨯⨯∙0260sin )22(21312222131，得33
2=d
20解：（1）设BC 的中点为D ，由中点坐标公式得：D （2,0）， 所以AD 所在直线的斜率为 k= —3
所以AD 所在直线的方程为y-3=-3(x-1)，即3x+y-6=0
(2）由题知直线AB 的斜率不存在，直线BC 的斜率为0， 故三角形ABC 是角A 为直角BC 为斜边的直角三角形； 由（1）知，线段BC 上的中点D （2,0）， 所以圆O 1的圆心坐标（2,0
）半径r DA ===； 三角形ABC 的外接圆的方程为x 2
+y 2
-4x-6=0或2
2
(2)10x y -+=． （3）方法一：设经过两圆交点的圆系方程为
222246(46)0(1)x y x x y y λλ+--++--=≠-
即224422601111+x y x y λλ
λλλλ
+-
--=+++所以圆心的坐标为（,）
又圆心在直线x-y-4=0上，所以24--4=01+1+λ
λλ
则
221
62603
x y x y λ=-+-+-=所以所求圆的方程为
方法二：2222
460
460
x y x y x x y y ⎧+--=⎪=⎨+--=⎪⎩由得两圆公共弦所在直线为 12221213
13+460
y x x x y y x y y ==-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-=--=⎩⎩⎩由解得或
所以两圆的交点分别为A （-1，-1），B （3,3），
线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y-1=-(x-1)
1(1)3401
y x x x y y -=--=⎧⎧⎨⎨--==-⎩⎩由得 所以所求圆的圆心为（3，-1），半径为4
所以所求圆的方程为22
(3)(1)16x y -++=
21．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝22
3，
又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，
得|MP |＝12－89＝1
3.(2分)
又∵|MQ |＝|MA |2
|MP |，∴|MQ |＝3.(4分)
设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5， 则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．(6分)
从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(8分)
(2)设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以MQ 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得
AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，32.(12分)
22. （Ⅰ）设圆心(,)C m n 由题易得3m = 半径1r n =-=， 得4n =-，5r =
所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=
（Ⅱ）由题可得PT CT ⊥，
PQ =
= 整理得240a b -+=
所以点P 总在直线240x y -+=上
（Ⅲ）(4,0)F - 由题可设点1(6,)M y ，2(6,)N y ， 则圆心12
(6,
)2
y y E +，半径1
22y y r -= 从而圆E 的方程为2
2
21212()(6)()24
y y y y x y +--+-=
整理得22
121212()360x y x y y y y y +--+++= 又点F 在圆E 上，故0FM FN →→
⋅=得12100y y =- 所以221212()640x y x y y y +--+-=
令0y =得212640x x --=， 所以16x =或4x =- 所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-。