ch1行列式

a11 x1 a12 x2 b1, a21 x1 a22 x2 b2.
D a11 a12 , a21 a22
D a11 a12 , a21 a22
记
D1
b1 b2
a12 , a22
记
D2
a11 a21
b1 . b2
则二元线性方程组的解
为
b1 a12
a11
x1
D1 D
b2 a11
a22 , a12
bm b c1
对换 a,b cn
即 a1 al a b1 bm b c1 cn
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 次相邻对换 a1 al a b b1 bm c1 cn
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 1次相邻对换
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 albb1 bmac1 cn,
- 6-
二阶行列式的计算： 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a21
行标 a12
a11a22 a12a21.
a22
列标
对于二元线性方程组aa1211
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1 , b2.
若记 系数行列式
D a11 a12 , a21 a22
- 7-
a11 x1 a12 x2 b1, a21 x1 a22 x2 b2.
§ 1.1 行列式的定义
1. 二阶、三阶行列式 2. 排列、逆序与对换 1,1,3 n阶行列式的定义
1. 二阶、三阶行列式
1.二元线性方程组和二阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1,
①
a21 x1 a22 x2 b2.
②
①× a22 ： a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22,
3个元素乘积的代a数1j 和a2. j3个a3元j 素乘积可表示为：
1
2
3
j1 j2 j3 为3级排列，当 j1 j2 j3 取遍了3级排列
时，即得到三阶行列式的所有项(不包含符号) ，共
为3！=6项.
每一项的符号是：当这一项元素的行标按自然数 顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则 取正号，是奇排列则取负号.
时，即得到二阶行列式的所有项(不包含符号)，共为
2！=2项.
三阶行列式
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33.
三阶行列式表示所有位于不同的行不同的列 的
x1
b1a22 a12b2 a11a22 a12a21
x2
a11b2 b1a21 . a11a22 a12a21
(1.2)
由方程组的四个系数确定 .
定义 由四个数排成二行二列(横排称行、竖排
称列)的数表
a11 a12
a 21
a22
所确定的表达式
a11a22
a12a21
称为二阶行列式，记为 a11 a12 a21 a22
②× a12 ： a12a21x1 a12a22 x2 b2a12,
两式相减消去 x2 ，得 （a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似的，消去x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
(1.1)
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
1 2 1 D2 2 1 3 10,
1 0 1
1 2 2 D3 2 1 1 5,
1 1 0
故方程组的解为：
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
- 14 -
1.1.2 排列、逆序与对换 1. 排列与逆序 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全 排列(或排列). 特别：把n个不同的数码１、２、…、n组成的 有序数组称为一个n级（阶、元）排列.
若系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
0,
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
t个 偶排列
前两个数对 换
列 故必有s=t.
t个 奇 排 所以 t s
1.1.3 n 阶行列式的定义 二阶行列式
D a11 a21
a12 a22 a11a22a12a21.
二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两
个 元素乘积的代数和. 两个元素的乘积可以表示为
：
a a 1j1 2 j2
j1 j2 为2级排列，当 j1 j2 取遍了2级排列12，21
a1n
a21 a22
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
an1 an2
ann
其中 j1 j2 jn 是自然数 1,2, , n 的一个排列，
( j1 j2 jn ) 是排列 j1 j2 jn 的逆序数，
是对所有排列 j1 j2 jn 求和.
(3) n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个
j1 j2 jn
即 n 阶行列式等于取自不同行不同列的 n 个元 素乘积的代数和,共有 n! 项,正负号各一半,行下标
按 自然顺序排列后,符号由列下标排列的逆序数决定
.
- 28 -
说明
(1) 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程 个 数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；
(2) n 阶行列式是 n！项的代数和；
记作： p1 p2 pn .or. x1x2 xn .
n级排列共有n! 种.
如：２级排列共有２种：12 21
３级排列共有６种：123 132 213 231 312 321
我们规定各元素之间有一个标准次序, n个不同 的 自然数，规定由小到大为标准次序.
定义 在一个排列 p1 pi pj pn 中，若数
线性代数
行列式起源于解线性方程组，但解线性方程 组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求 解线性方程组了. 行列式的价值主要体现在理论 推 导上，是研究方阵性质的重要工具.
其中有三个重要的定理: (1)行列式展开定理; (2)行列式乘法定理; (3) Cramer法则.
第1章 行列式
§1.1 行列式的定义 § 1.2 行列式的性质与计 算 §1.3 行列式展开定理 §1.4 克拉默法则
特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
例如 a1 al a b b1 bm
(1)
a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bm b c1 cn (2)
a1 al b b1 bm a c1 cn
定理1.1 一个排列中的任意两个元素对换， 排 列改变奇偶性.
证明：设排列为(1)
对换 a,b
a11 a12 a13 a11 a12
(2) 沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式 .
- 11 -
123
例2 求行列式 D 4 5 6 . 789
解 按对角线法则，有 D 1 5 9 2 6 7 3 4 8
则
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
- 13 -
例4 解线性方程组 x1 2x2 x3 2,
2x1
x2 3x3 1,
x1 x2 x3 0.
1 2 1
解 由于方程组的系数行列式为 D 2 1 3 , 5 0
1 1 1
2 2 1
D1 1 1 3 5,
0 1 1
x2
D2 D
a21 a11
b1 b2 . a12
系数行列式 系数行列式
a21 a22
a21 a22 - 8-
例1 解二元线性方程组 5 x1 2 x2 10, 2 x1 5 x2 8.
解
D 5 2 25 4 21 0, 25
150 2
5 120
DD1 28 5 34, DD2 2 85 20,
a1 al a b b1 bm
a1 al b a b1 bm
易见除a, b 外，其它元素的逆序数不改变
， 若a > b，
对换后，a的逆序数不变，而b的逆序数减1 ； 若a < b，
对换后，a的逆序数增1，而b的逆序数不变 . 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶 性.
设排列为(2)
欲 a1
al a b1
所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性 .
推论1 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 ， 偶排列调成标准排列的对换次数为
推论2 偶数n个. 元素(n＞１)共有n!个n阶排列，其中
奇、偶排列各占一半.
证明:
设共有s个奇对 换
s个 偶排列 所以 s t
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
1
a a j1 j2 j3 1j 2j
a3 j
.
1
2
3
j1 j2 j3
n
阶
a11 a12
a1n
猜行 想列
D a21 a22
例如
a12a21
a a a 13 21 32
a11a23a32
列标排列的逆序数为 负号 奇列标排列的逆序数为偶 正 号 列标排列的逆序数为奇
负号
二阶行列式
D a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
三阶行列式
1
a a j1 j2 1 j 2j
.
1
2
j1 j2
a11 a12 a13
前n个数与后n个数之间构成逆序.
135
000
(13
(2n 1) (2n) (2n 2)
0
0
2
(2n 1)(2n)(2n 2) 2)
42
2n
4
2n
2
2 4 6 （2n 4) (2n 2)
(n 1（)2 2n 2) n(n 1) 故此排列为偶排列. 2
- 18 -
2. 对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不 动，这样的一个变换叫做对换.
pi pj , 则称这两个数组成一个逆序 排在元.素 pi 前面比 pi 大的元素的个数称为元
pi 素 的逆序数.
例如 排列３２５１４中，
逆序
逆序
分析
3
2
5
14
逆序 逆序 逆序
- 16 -
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列
逆的序数. 记为t .or . o.r .N(P1 Pi Pj Pn)
a2n
式
an1 an2
ann
n阶行列式是n!项的代数和;
n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的n 个元素的乘积;
每项a1 j1 a2 j2
a njn
的符号为
1 j1 j2 jn .
猜 Dn
1
a a j1 j2 jn 1j 2
j
anj
.
1
2
n
定义 (n 阶行列式)
a11 a12
a11 a12 a13 a21
记为
a22 a23 a31 a32
a33
三阶行列式的计算：
(1) 对角线法则 a11 a12 a13 a21
a22 a23 a31 a32
a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
x1
D1 D
34 , 21
x2
D2 D
20 . 21
- 9-
2. 三阶行列式
由九个数排成三行三列(横排称行、竖排称列)
a11 a12 a13 构成数表 a21 a22 a23 所确定的表达式，
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
称为三阶行列式.
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
3 5 7 2 4 9 1 6 8 0. 11 1
例3 求解方程 2 3 x 0. 4 9 x2
解 按对角线法则，有 D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6 0,
所以 x 2 .or. x 3. - 12 -
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1, a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2, a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
逆序数为奇数的排列称为奇排列 ； 逆序数为偶数的排列称为偶排 列.
例5 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
.
解 217986354
(1)
２１７９８６３５４ 010 013 44
5
0 1 0 0 1 3 4 4 5 18
故此排列为偶排列. - 17 -
(2) 135…(2n−1)(2n)(2n–2)…2. 解 在此排列中，前n个数135…(2n−1)之间不 成逆序，构后n个数(2n)(2n−2)…2之间构成逆序，且前