人教A版高中数学选修2-1课件曲线和方程(2)

直线 BC 的斜率
kBC＝
x
y
5
（x≠5）；
由题意，得 kACkBC＝m，
所以， y × y ＝m（x≠±5）． x5 x5
写成
x2 － y2 ＝1（x≠±5）．
25 25m
一、转移代入法
这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点 P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点P(x，y) 依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式 x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F例(x1’: ,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程 已知点A(3，0)，点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y>0)， ∠AOP的Q平为分AP线中交点PA于Q，求点Q的轨迹方程．
求证：不论m取任何实数，方程 (3m＋4)x＋(5－2m)y＋7m－6＝0 所表示的曲线必经过一个定点，并求出 这一点的坐标。
8 是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点。
y2 x2
y x
已知ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(5,0),(5,0),
且AC, BC所在直线的斜率之积等于m(m 0),试探求
顶点C的轨迹方。程
解：设 C（x，y）．由已知，得 直线 AC 的斜率
kAC＝
x
y
5
（x≠－5）；
三、参数法
根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的 坐标x和y，间接地把坐标x和y联系起来，得到用参数表示 的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．
例3：在边长为a的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一 个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的 交点P的轨迹方程．
1. 建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上
任意点;
２. 几何列式：写出满足条件的点Ｍ的集合
｛Ｍ/Ｐ(M) ｝;
３. 代数方程：将Ｍ点坐标（x,y）代入几何条件，
列出方程 f (x,y) =0;
4. 化简：化方程为最简形式； ５. 证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是
已知点的轨迹。
提示：利用“定比分点坐标公式”
同类变式
已知△ABC，A(一2，0)，B(0，一2)，第三个顶点c在 曲线y=3x2-1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程
二、几何法
就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法
例2：已知线段lABl＝a，端点A在z轴正半轴上(包括原点) 运动，端点B在射线l： y (x≤3Ox)上运动，过点A 且垂直于x轴的直线与过点B且垂直于直线l的直线相
解析建立直角坐标系后，注意 到|BQ|=|CR|，即|AQ|=|BR| 而P为两直线AR与DQ的交点 因而应引进参数，用参数法求 其轨迹方程
同类变式
已知两点P(-2，2)，Q(0，2)以及一条直线l：y=x，设长为 2 的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的
轨迹方程．
思考题
交于P，求P点的轨迹方程．
求出轨迹方程后，注意考查曲 线的完备性和纯粹性，以防 “疏漏”和“不纯”．本例容 易忽视考虑纯粹性，即漏掉 O≤x≤n，y>0．
同类变式
线段AB长为a+b，其中a>0，b>0，其两端点A，B分别在 x轴，y轴上，P为AB上的一个定点，且|BP|=a，求当A,B 分别在两轴上滑动时点P的轨迹方程
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复习回顾
曲线的方程和方程的曲线的概念： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一
个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做 方程的曲线.
求曲线方程的一般步骤：
一点，作MB⊥x轴，垂足
为B,那么点M属于集合
P={M︱︱MF︱－︱MB︱=2}
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2 ( y 2)2 y 2
移项后两边平方，得 x2 ( y 2)2 ( y 2)2
化简得y 1 x2 8
因为曲线在x轴的上方，所以y 0.虽然原点O的 坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线， 所以曲线的方程应是y 1 x2(x 0),它的图形
例3 已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距 离是2。一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系， 求这条曲线的方程。
y 解：如图，取直线l为x轴，
过点F且垂直于直线l的直线 为y轴，建立坐标系xOy. 设点M(x,y)是曲线上任意
F
M
OB
x