(易错题精选)初中数学方程与不等式之一元一次方程知识点总复习附答案解析(1)

（易错题精选）初中数学方程与不等式之一元一次方程知识点总复习附答案解
析(1)
一、选择题
1．点P （x 1，y 1）和点Q （x 2，y 2）是关于x 的函数y ＝mx 2﹣（2m +1）x +m +1（m 为实数）图象上两个不同的点．对于下列说法：①不论m 为何实数，关于x 的方程mx 2﹣（2m +1）x +m +1＝0必有一个根为x ＝1；②当m ＝0时，（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0成立；③当x 1+x 2＝0时，若y 1+y 2＝0，则m ＝﹣1；④当m ≠0时，抛物线顶点在直线y ＝﹣12
x +1上．其中正确的是（ ） A ．①②
B ．①②③
C ．③④
D ．①②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程解的定义对①进行判断；先得到当m=0时，函数解析式为y=﹣x+1，则可计算出
()()2121212()x x y y x x =﹣﹣﹣﹣，于是可根据非负数的性质对②进行判断；当m=﹣1时，解析式为y =﹣2x +x ，可计算出1y +2y =212x x ≠0，于是可对③进行判断；先计算出顶点坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．
【详解】
当x =1时，y =mx 2﹣(2m +1)x +m +1=m ﹣2m ﹣1+m +1=0，
则方程mx 2﹣(2m +1)x +m +1=0必有一个根为x =1，所以①正确；
当m =0时，y =﹣x +1，则y 1=﹣x 1+1，y 2=﹣x 2+1，
所以(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)=(x 1﹣x 2)(﹣x 1+x 2)=﹣(x 1﹣x 2)2，
而点P (x 1，y 1)和点Q (x 2，y 2)是两个不同的点，
所以x 1≠x 2，
则(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)=﹣(x 1﹣x 2)2＜0，所以②正确；
当m =﹣1时，y =﹣x 2+x ，
则y 1=﹣x 12+x 1，y 2=﹣x 22+x 2，
所以y 1+y 2=﹣x 12+x 1﹣x 22+x 2=﹣(x 1+x 2)2+2x 1x 2+(x 1+x 2)，
当x 1+x 2=0时，
y 1+y 2=2x 1x 2≠0，所以③错误；
当m ≠0时，顶点的横坐标为2122b m a m +-
=，纵坐标为()()
22412141444m m m ac b a m m
+-+-==-， 当x =212m m +时，112121112224m m y x m m
+-=-+=-+=n ， 所以抛物线的顶点不在直线112y x =-+上，所以④错误．
综上：①②正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、方程解的定义、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
2．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（）
A．4x－5=3(x－5) B．4x+5=3(x+5)
C．3x+5=4(x+5) D．3x－5=4(x－5)
【答案】D
【解析】
【分析】
设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，根据5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】
设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，依题意，得：
3x﹣5=4（x﹣5）．
故选D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20dm；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30dm，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12dm，且水桶与铁柱的底面半径比为2:1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为（）
A．4.5dm B．6dm C．8dm D．9dm
【答案】D
【解析】
【分析】
由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=4：1，设铁柱底面积为a(dm2)，水桶底面积为4a(dm2)，于是得到水桶底面扣除铁柱底面部分的环形区域面积为4a-a=3a(dm2)，，根据原有的水量为3a×12=36a (dm3)，列出方程，即可得到结论．
∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，
∴水桶底面积：铁柱底面积=4：1，
设铁柱底面积为a(dm2)，则水桶底面积为4a(dm2)，
∴水桶底面扣除铁柱底面部分的环形区域面积为4a−a=3a(dm2)，
∴原有的水量为：3a×12=36a (dm3)，
设水桶内的水面高度变为xdm，
则4ax=36a，解得：x=9，
∴水桶内的水面高度变为9dm．
故选D．
【点睛】
本题主要考查用一元一次方程解决圆柱体的等积变形问题，掌握圆柱体的体积公式是解题的关键．
4．关于x的方程1514
()
2323
mx x
-=-有负整数解，则所有符合条件的整数m的和为
（）
A．5 B．4 C．1 D．－1【答案】D
【解析】
【分析】
先解方程，再利用关于x的方程1514
2323
mx x
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
有负整数解，求整数m即可．
【详解】
解方程1514 2323 mx x
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
去括号得，1512 2323 mx x
-=-
移项得，1152 2233 mx x
-=-，
合并同类项得
11
1 22
m x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，
系数化为1，
2
(1)
1
x m
m
=≠
-
，
∵关于x的方程1514
2323
mx x
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
有负整数解，
∴整数m为0，-1．
∴它们的和为：0+（-1）=-1.故选：D．
本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是用m 表示出x 的值．
5．如图所示是边长分别为60cm 和80cm 的两种正方形地砖，这两种地砖每平方厘米的造价相同，若边长为60cm 的地砖的造价为90元，则边长为80cm 的正方形地砖的造价为（ ）
A ．120元
B ．160元
C ．180元
D ．270元
【答案】B
【解析】
【分析】 设边长为80cm 的正方形地砖的造价为x ，根据每平方厘米的造价相同列方程求出x 的值即可得答案．
【详解】
设边长为80cm 的正方形地砖的造价为x 元，
∵两种地砖每平方厘米的造价相同， ∴
9060608080
x =⨯⨯， 解得：x=160，
故选：B ．
【点睛】 本题考查一元一次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键．
6．解方程
2153132
x x +--=，去分母正确的是（ ） A ．2(21)3(53)1x x +--= B ．21536x x +--= C ．2(21)3(53)6x x +--=
D ．213(53)6x x +--=
【答案】C
【解析】
试题分析：方程两边同乘以6得2（2x+1）-3（5x-3）=6，故答案选C.
考点：去分母.
7．等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
8．方程834x ax -=-的解是3x =，则a 的值是（ ）.
A ．1
B ．1-
C ．3-
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】
把3x =代入方程834x ax -=-，得出一个关于a 的方程，求出方程的解即可．
【详解】
把3x =代入方程834x ax -=-得：
8-9=3a-4
解得：a=1
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程和一元二次方程的解，能够得出关于a 的一元一次方程是解此题的关键．
9．一船由甲地开往乙地，顺水航行要4小时，逆水航行比顺水航行多用40分钟，已知船在静水中的速度为16千米/时，求水流速度. 解题时，若设水流速度为x 千米/时，那么下列方程中正确的是( )
A ．()()24164163x x ⎛
⎫+=+- ⎪⎝⎭ B ．()24164163x ⎛
⎫⨯=+- ⎪⎝⎭
C ．()()()41640.416x x +=+-
D ．()24164163x ⎛⎫+=+⨯ ⎪⎝
⎭ 【答案】A
【解析】
【分析】 由已知条件得到顺水航行的速度为（16+x ）千米/时，逆水航行的速度为（16-x ）千米/时，根据时间关系列方程即可.
【详解】
由题意得到：顺水航行的速度为（16+x ）千米/时，逆水航行的速度为（16-x ）千米/时，
∴()()24164163x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝
⎭， 故选：A.
【点睛】
此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解顺水航行和逆水航行的速度是解题的关键.
10．下面是一个被墨水污染过的方程：
11222x x -=-，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个
常数是（）
A．2 B．﹣2 C．﹣1
2
D．
1
2
【答案】A
【解析】
【分析】
设被墨水覆盖的数是y，将x=-1代入，解含有y的方程即可得到答案.【详解】
设被墨水覆盖的数是y，则原方程为：
11
2
22
x x y
-=-，
∵此方程的解是x=-1，
∴将x=-1代入得：
11
2
22
y --=-- ,
∴y=2,
故选：A.
【点睛】
此题考查解一元一次方程，一元一次方程的解.
11．在800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于（）
A．10分 B．15分 C．20分 D．30分
【答案】C
【解析】解：根据题意列方程得：260t+800=300t，解得：t=20，故选C．
点睛：此题要把握再相遇时甲比已多跑了800米，这是一个追及问题，别把它混为相遇问题就能解决．
12．某同学在解方程3x－1＝□x＋2时，把□处的数字看错了，解得x＝－1，则该同学把□看成了（）
A．3 B．1
3
C．6 D．－
1
6
【答案】C
【解析】
把x=﹣1代入方程3x﹣1=□x+2，得 3×（﹣1）﹣1=﹣1□+2，即﹣4=﹣1□+2，解得□=6．
故选C．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的解，解题时先把x的值代入到方程中，把方程转换成求未知系数的方程，然后解得未知系数的值．
13．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25％，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x元，则得到方程（）
A ．0150250x =⨯
B ．0251500
x ⋅= C ．
0015025x x
-= D ．0150250x -= 【答案】C
【解析】
【分析】 等量关系为：成本×（1+利润率）=售价，把相关数值代入即可
【详解】 解：设这种服装的成本价为x 元，那么根据利润=售价-成本价，
可得出方程：150-x=25%x ；
15025%x x
-= 故应选C
14．若关于x 的一元一次方程x −m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是
A ．m ≥2
B ．m ＞2
C ．m ＜2
D ．m ≤2
【答案】C
【解析】
试题分析：∵程x ﹣m+2=0的解是负数，∴x=m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ． 考点：解一元一次不等式；一元一次方程的解．
15．有一下式子：①0x =；②325+=；③14x
=；④29x =；⑤23=x x ；⑥34x -；⑦2(1)2x +=；⑧20x y +=．其中是一元一次方程的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】B
【解析】
【分析】
我们将只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程称之为一元一次方程，据此进一步判断即可.
【详解】
①0x =，满足定义，是一元一次方程；
②325+=，未含有未知数，故不是一元一次方程； ③14x
=，分母含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程； ④29x =，未知数次数为2，故不是一元一次方程；
⑤23=x x ，满足定义，故是一元一次方程；
⑥34x -，不是等式，故不是一元一次方程；
⑦2(1)2x +=，满足定义，故是一元一次方程；
⑧20x y +=，含有两个未知数，故不是一元一次方程；
综上所述，一共有3个一元一次方程，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.
16．《算法统宗》是我国明代数学家程大位的一部著作.在这部著作中，许多数学问题都是以诗歌的形式呈现.“以碗知僧”就是其中一首。

巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧；三百六十四只碗，看看用尽不差争；三人共食一碗饭，四人其吃一碗羹；请问先生明算者，算来寺内几多僧？”意思是说：山林中有一个古寺，寺里共有364个碗，平均三个僧人共用一个碗吃饭，四个僧人共用一个碗喝汤，问寺中有多少个僧人？（ ）
A ．364
B ．91
C ．624
D ．100
【答案】C
【解析】
【分析】
读懂题中的诗句，找出条件，共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．可以列出方程．
【详解】
设寺中有x 个僧人，根据题意列方程，得 36434
x x +=， 解得624x =，
∴寺中有624个僧人．
故选：C.
【点睛】
解决本题的关键是找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案．
失分的原因：对题意理解的不准确．
17．已知∠1：∠2：∠3=2：3：6，且∠3比∠1大60°，则∠2=（ ）
A ．10°
B ．60°
C ．45°
D ．80°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据∠1：∠2：∠3=2：3：6，则设∠1=2x ，∠2=3x ，∠3=6x ，再根据∠3比∠1大60°，列出方程解出x 即可.
【详解】
解：∵∠1：∠2：∠3=2：3：6，
设∠1=2x ，∠2=3x ，∠3=6x ，
∵∠3比∠1大60°，
∴6x-2x=60，
解得：x=15，
∴∠2=45°，
故选C.
【点睛】
本题是对一元一次方程的考查，准确根据题意列出方程是解决本题的关键.
18．某车间有22名工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套 ，设有x 名工人生产螺钉，其他工人生产螺母，根据题意列出方程（ ）
A ．20001200(22)x x =-
B ．212002000(22)x x ⨯=-
C ．220001200(22)x x ⨯=-
D ．12002000(22)x x =- 【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程
【详解】
设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母． 由题意得：2×1200x=2000（22-x ），
故选：B ．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于根据题意列出方程．
19．今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）
A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
【答案】B
【解析】
【分析】
设小虎足球队踢平场数是所负场数的k 倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k 表示的负场数，因为负场数和k 均为整数，据此求得满足k 为整数的负场数情况．
【详解】
解：设小虎足球队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，依题意得
17316x y z x y y kz ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩
①②③，
把③代入①②得(1)17316x k z x kz ++=⎧⎨
+=⎩， 解得z=3523
k +（k 为整数）． 又∵z 为正整数，
∴当k=1时，z=7；
当k=2时，z=5；
当k=16时，z=1．
综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用．解答方程组是个难点，用了换元法．
20．若关于x 的不等式组12246
x k x k k -⎧≥⎪⎨⎪-≤+⎩有解，且关于x 的方程()()2232kx x x =--+有非负整数．．．．
解，则符合条件的所有整数k 的和为( ) A ．-5 B ．-9 C ．-12
D ．-16
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据不等式组有解得k 的取值，利用方程有非负整数解，将k 的取值代入，找出符合条件的k 值，并相加．
【详解】 12246x k x k k -⎧≥⎪⎨⎪-≤+⎩①②
， 解①得：x≥1+4k ，
解②得：x≤6+5k ，
∴不等式组的解集为：1+4k≤x≤6+5k ，
1+4k≤6+5k ，
k≥-5，
解关于x 的方程kx=2（x-2）-（3x+2）得，x=-61k +，
因为关于x的方程kx=2（x-2）-（3x+2）有非负整数解，
当k=-4时，x=2，
当k=-3时，x=3，
当k=-2时，x=6，
∴-4-3-2=-9；
故选B．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、方程的解，有难度，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．。