《数列求和》教学设计

《数列求和》教学设计
高三文科数学第一轮复习（第1课时）
邵武一中杜海光
一、学情分析：
学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。

本节课作为一节专题探究课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。

二、教法设计：
本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。

采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。

先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。

在教学过程中采取如下方法：
①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；
②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；
③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

三、教学设计：
1、教材的地位与作用：
对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。

化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。

因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。

2、教学重点、难点：
教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习并项分组求和与裂项法求和。

教学难点：解题过程中方法的正确选择。

3、教学目标：
(1)知识与技能：
会根据通项公式选择求和的方法，并能运用并项分组求和与裂项法求数列的前n项。

(2)过程与方法：
①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；
②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

(3)情感、态度与价值观：
①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；
②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好
思维习惯；
③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

＝－2k －[－(4k －1)]＝2k －1＝n ．
综上所述,有S n ＝(－1)n －1
n ．
（３）
)10321(++++= n S +（1021
814121++++ ）＝56－1021 （４）2
122n n +-+
变式1 (１)S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
，求S n.
(2) (教材习题改编)(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n －3×5
－
n
)＝________.
(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n
－12n ，其前n 项和S n ＝321
64
，则项数n 等于( )
A ．13
B ．10
C ．9
D ．6
解答： (1) S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
(2) 解析：(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n －3×5－n
) ＝(2＋4＋…＋2n )－3(5－1＋5－2＋…＋5－n
)
＝n ＋2n 2－3×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n 1－
15
＝n (n ＋1)－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n ＝n 2
＋n ＋34·5－n －34
. (3)解析：选D ∵a n ＝2n
－12n ＝1－12n ，
∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －1＋12n . ∴n －1＋12n ＝32164＝51
64
，解得n ＝6
问题 2 (1) 11×4＋14×7＋17×10＋…＋
1
n －n ＋
＝ 。

(2)
)
2(1531421311+++⨯+⨯+⨯n n = . (3) 1+n
+++++
+++++ 3211
3211211 =
(4)已知数列{a n }的通项公式是1
1++=
n n a n ，若
10=n S ，则n= .
解析： (1) ∵
1
n －n ＋
＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －2－13n ＋1，
∴
11×4＋14×7＋1
7×10
＋…＋1
n －n ＋
＝13⎣⎢⎡
⎝
⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
17－110＋…＋
⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13n ＋1＝n 3n ＋1. (2)
)2)(1(23243+++-n n n (3)1
2+n n
(4)120
变式 2 (1) 数列{a n }的通项公式为a n ＝1
3
n ，设b n ＝log 3a 1＋
log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 的前n 项和．
(2) 已知函数f (x )＝x 2
＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1
f
n
(n ∈N *
)的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为( ) A.
2 0092 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012 D.2 012
2 013
解析：
(1) b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－
n n ＋
2
. 故1
b n
＝－
2n n ＋
＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1.
1
b 1＋1b 2
＋…＋1b n
师重点讲解对通项的处
理，以及消去的项和留下的项的处理 教师小结：
１、注意点：使用裂项
相消法求和时，要注意
正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，
切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前
后对称的特点． 2、常见的拆项公式
(1)1n n ＋k ＝
1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； (2)
1
n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1； (3)
1n n ＋n ＋＝
1
2
错误!
(4)1n ＋n ＋k ＝1
k (n ＋k －n ).
学生练习、讨论，教师提问、引导
＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1
＝－
2n n ＋1
. 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n
n ＋1.
(2)解析：选D 由于f ′(x )＝2x ＋b ，据题意则有f ′(1)＝2＋b ＝3，故b ＝1，即f (x )＝x 2
＋x ，从而1
f n
＝
1
n n ＋
＝
1n －1
n ＋1
， 其前n 项和S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
，
故S 2 012＝2 012
2 013
.
,7,816
5＋9－13＋17
五、课后反思：
数列求和的题型多样，求和的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。

等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。

转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

因而数列求和问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。

求数列的前n项和的方法策略是：公式法、并项分组法、裂项法、错位相减法、倒序相加法等。

只要仔细辨析数列通项的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出前n项和的关键。