2020版江苏省高考文科数学三轮复习 创新迁移类精选试题(9页)

小题分类练(六)创新迁移类
(建议用时：50分钟)
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x －y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
2．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．
3．定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：
(1)2※2 017＝1；
(2)(2n＋2)※2 017＝(2n)※2 017＋3.
则2 018※2 017＝____________．
4．如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为____________．
5．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有________人．
6．已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成，记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①S有5个不同的值；
②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关；
③若a ∥b ，则S min 与|b |无关；
④若|b |>4|a |，则S min >0；
⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2
，则a 与b 的夹角为π4. 7．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩
⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y . 设a ，b 为平面向量，则下列说法正确的序号为________． ①min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}；
②min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}；
③max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2；
④max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2.
8．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－2，3)且法向量为n ＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x ＋2)＋(－
1)×(y －3)＝0，化简得4x －y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B (1，2，3)且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为____________．
9．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：
①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；
②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；
③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；
④z 1*z 2＝z 2*z 1.
则真命题的个数是________．
10．(2019·长春市质量监测)对定义在[0，1]上，并且同时满足以
下两个条件的函数f (x )称为M 函数：(1)对任意的x ∈[0，1]，恒有f (x )≥0；
(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立．
则下列3个函数中不是M 函数的个数是________．
①f (x )＝x 2；②f (x )＝x 2＋1；③f (x )＝2x －1.
11．当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两个
集合构成“偏食”．对于集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12，1，B ＝{x |ax 2＝1，a ≥0}，若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”，则a 的取值集合为________．
12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．
13．在平面直角坐标系中，定义d (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到M (－1，0)，N (1，0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x ＝0；
④到M (－1，0)，N (1，0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中真命题有________个．
14．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＜c 恒成立，则称函数f (x ) 为区间D 上的“平顶型”函数．给出下列结论：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②函数f (x )＝x －|x －2|为R 上的“平顶型”函数；
③函数f (x )＝sin x －|sin x |为R 上的“平顶型”函数；
④当t ≤34时，函数f (x )＝⎩⎨⎧2（x ≤1）log 12
（x －t ）（x ＞1）是区间[0，＋∞)
上的“平顶型”函数．
其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
小题分类练(六)
1．解析：列举得集合B ＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，
2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含有10个元素．
答案：10
2．解析：当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1，2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B 均有1种情况，
所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个． 答案：17
3．解析：设a n ＝(2n )※2 017，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.
于是，数列{a n }是等差数列，且首项为1，公差为3.
故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3
025.
答案：3 025
4．解析：从长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中任选四个顶点的选法有C 48＝70(种)，以A 为其中一个顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有A ­A 1D 1C 1，A ­A 1B 1C 1，A ­BB 1C 1，A ­BCC 1，A ­DCC 1，A ­DD 1C 1，共6个．
同理，以B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1为其中一个顶点的三棱锥也各有6个，但所有列举的三棱锥均出现2次，所以四个面都是直角
三角形的三棱锥有12×8×6＝24(个)．
故所求的概率P ＝2470＝1235.
答案：1235
5．解析：假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．
答案：3
6．解析：因为x i ，y i (i ＝1，2，3，4，5)均由2个a 和3个b 排列而成，
所以S ＝ i ＝15
x i y i 可能情况有以下三种：
(1)S ＝2a 2＋3b 2；
(2)S ＝a 2＋2a ·b ＋2b 2；
(3)S ＝4a ·b ＋b 2.
因为2a 2＋3b 2－(a 2＋2a ·b ＋2b 2)＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |·cos θ≥0，a 2＋2a ·b ＋2b 2－4a ·b －b 2＝a 2＋b 2－2a ·b ≥0，所以S 的最小值为S min ＝b 2＋4a ·b .因此S 最多有3个不同的值，故①不正确．当a ⊥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2与|a |无关，故②正确．
当a ∥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2＋4|a ||b |或S min ＝b 2－4|a ||b |与|b |有关，故③不正确．
当|b |>4|a |时，S min ＝b 2＋4|a ||b |cos θ≥b 2－4|a ||b |＝|b |(|b |－4|a |)>0.故④正确．
当|b |＝2|a |时，由S min ＝b 2＋4a ·b ＝8|a |2知，
4a ·b ＝4a 2，即a ·b ＝a 2，
所以|a ||b |cos θ＝a 2，所以cos θ＝12，
所以θ＝π3，故⑤不正确．
因此正确命题的编号为②④.
答案：②④
7．解析：对于①，当a ＝0，b ≠0时，不等式不成立；对于②，
当a ＝b ≠0时，不等式不成立； 对于③，④，设OA
→＝a ，OB →＝b ，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，max {|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立，故④正确．
答案：④
8．解析：由题意可设Q (x ，y ，z )为所求平面内的任一点，则根据BQ
→⊥m ，得BQ →·m ＝0，所以(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z
－3)＝0，化简得x ＋2y －z －2＝0.故所求平面方程为x ＋2y －z －2＝0.
答案：x ＋2y －z －2＝0
9．解析：由题意得(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3＝z 1*z 3＋z 2*z 3，故①正确；z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，故②正确；(z 1*z 2)*z 3＝z 1z 2 z 3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1z 2z 3，故③错误；z 1*z 2＝z 1z 2，而z 2*z 1＝z 2z 1，故④不正确．
答案：2
10．解析：(1)在[0，1]上，3个函数都满足．
(2)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，
对于①，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，
满足；
对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋
1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足；
对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 1·2x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．
答案：1
11．解析：因为B ＝{x |ax 2＝1，a ≥0}，所以若a ＝0，则B 为空集，满足B ⊆A ，此时A 与B 构成“全食”．若a ＞0，则B ＝{x |ax 2
＝1，a ≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，－1a ，由题意知1a ＝1或1a
＝12，解得a ＝1或a ＝4.故a 的取值集合为{0，1，4}．
答案：{0，1，4}
12．解析：由已
知得 h （x ）＋4－x 2
2
＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2> 4－x 2，3x ＋b > 4－x 2恒成立． 在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b 10
>2，即b >210. 答案：(210，＋∞)
13．解析：设到原点的“折线距离”为1的点为(x ，y )，则|x |＋|y |＝1，这是以点(1，0)，(0，1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形，故命题①为真命题．命题②为假命题．设到M ，N 两点的“折线距离”相等的点为(x ，y )，则|x ＋1|＋|y |＝|x －1|＋|y |，即|x ＋1|＝|x －1|，两边平方即得x ＝0，命题③为真命题．设到M ，N 两点的“折线距离”差的绝对值为1的点为(x ，y )，则||x ＋1|＋|y |－|x －1|－|y ||＝1，即||x ＋1|－|x －1||＝1，当x ≥1时，不成立，当x ≤－1时也不成立，当－1
＜x ＜1时，||x ＋1|－|x －1||＝1，即|2x |＝1，即x ＝±12，所以命题④为
真命题．
答案：3
14．解析：由于“平顶型”函数在区间D 上对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＜c 恒成立，所
以“平顶型”函数在定义域内有最大值c ，①正确；
对于函数f (x )＝x －|x －2|，当x ≥2时，f (x )＝2，当x ＜2时，f (x )＝2x －2＜2，所以②正确；
函数f (x )＝sin x －|sin x |是周期为2π的函数，所以③不正确； 对于函数f (x )＝⎩⎨⎧2（x ≤1）log 12
（x －t ）（x ＞1）(t ≤34)，当x ≤1时，f (x )＝2，当x ＞1时，f (x )＜2，所以④正确．
答案：①②④。