高三数学暑假天天练09

2013届高三数学暑假作业
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析:若b∥c,由已知c∥a,所以a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故c与b不可能平行.
答案:C
2.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A、B、C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
解析:由题意知,C∈γ,A∈γ,B∈γ,从而AB⊂γ,又M∈AB,所以M∈γ.故C､M都在γ内.由M∈l,l⊂β,知M∈β,又C∈β,故C、M都在β内.
所以γ和β的交线过点C和点M.
答案:D
3.以下四个命题中,正确命题的个数是( )
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A､B､C､D共面,点A､B､C､E共面,则A､B､C､D､E共面;
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①正确,此问用反证法.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C 共线,则结论不对.③不正确,共面不具有传递性.④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上.
答案:B
4.已知直线l,若直线m 同时满足以下三个条件:m 与l 是异面直线;m 与l 的夹角为3π (定值);m 与l 的距离为π.那么,这样的直线m 的条数为( )
A.0
B.2
C.4
D.无穷
解析:作一个与l 平行的平面α,l 到平面α的距离为π(定值),在α上作一条直线m 与l 的夹角为3
π,则α上与m 平行的直线均同时满足三个条件.故选D. 答案:D
5.如图,E ､F 是AD 上互异的两点,G ､H 是BC 上互异的两点,由图可知,①AB 与CD 互为异面直线;②FH 分别与DC ､DB 互为异面直线;③EG 与FH 互为异面直线;④EG 与AB 互为异面直线.其中叙述正确的是( )
A.①③
B.②④
C.①④
D.①②
解析:根据图形AB 与CD 互为异面直线,故①正确;当F 点与D 重合时,B 、F 、C 、H 四点共面,FH 与DC 、DB 不为异面直线,故②错误;由于EG 与FH 不可能共面(否则A 、B 、C 、D 四点共面),所以EG 与FH 互为异面直线,故③正确;当G 与B 重合时,AB 与EG 为共面直线,故④错误.所以应选A.
答案:A
6.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E ､F 分别是A 1B 1､CC 1的中点,则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( )
1342....5555A B C D 解析:取DD 1的中点G,连接AG,则∠GAE 为异面直线AE ､BF 所成的角;设AB=2,则
AE=5,5AG =,连接EG,则6EG =
,∴cos∠GAE=5564225105+-==⨯,故选D. 答案:D
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.在空间四边形ABCD 中,各边边长均为1,若BD=1,则AC 的取值范围是________.
解析:取BD 的中点O,连接AO,CO,则AO=CO=3,2
由三角形的三边关系定理知 0<AC< 3.
答案:0<AC<3
8.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DD 1的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成角的大小等于________.
答案:90°
9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出下列五个命题:
①直线AC1在平面CC1B1B内;
②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O､O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;
③由点A､O､C可以确定一个平面;
④由A､C1､B1确定的平面是ADC1B1;
⑤若直线l是平面AC内的直线,直线m是平面D1C内的直线;若l与m相交,则交点一定在直线CD上.
其中真命题的序号是________.
解析:①错误,若AC1⊂平面CC1B1B,又BC⊂平面CC1B1B,∴AB⊂平面CC1B1B,与AB⊄平面CC1B1B 矛盾;
②正确.O､O1是两平面的两个公共点;
③错误.因为A､O､C共线;
④正确.A､C1､B1不共线,∴确定平面α,又AB1C1D为平行四边形,AC1､B1D相交于O2点,而
O2∈α,B1∈α,
∴B1O2⊂α,而D∈B1O2,∴D∈α;
⑤正确.若l与m相交,则交点是两平面的公共点,而直线CD为两平面的交线,所以交点一定在直线CD上.
答案:②④⑤
10.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M､N分别为棱C1D1､C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).
解析:直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.
答案:③④
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯
形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥1
2
AD,BE∥
1
2
FA,G､H分别为FA､FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.
(2)C､D､F､E四点是否共面?为什么? 解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,
所以GH∥1
2
AD,
又BC∥1
2
AD,故GH∥BC.
所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C､D､F､E四点共面,理由如下:
由BE∥1
2
AF,G是FA的中点知,BE∥GF,所以EF∥BG.
由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC､FH共面.又点D在直线FH上,所以C､D､F､E四点共面.
12.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
分析:要求EF与AB所成的角,可经过某一点作两条直线的平行线,考虑到E、F为中点,故可过E或F作AB的平行线即可.取AC的中点,平移AB、CD,使已知角和所求的角在一个三角形中求解.
解:取AC的中点G,连接EG、FG,
则EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
∴∠GE F(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF或它的补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°,
∴∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;
当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
13.如图所示,S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且
∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,M、N 分别是AB 和SC 的中点,求异面直线SM 和BN 所成角的余弦值.
解:如图所示,设正三角形ABC 的边长为4a,则 SA=SB=SC=222,2AB a =12SM = AB=2a,SN=12,2
SC a =
2210,BN SB SN a +=取MC 的中点O,连接BO,NO,则
11,322
NO SM a OM CM a ====, 227OM MB +在△ONB 中, cos∠BNO=222102BN ON BO oBNoON +-=又∵ON∥SM,∴∠BNO 是异面直线SM 与BN 所成的角,10。