1.1 菱形的性质和判定 课时练习(含答案解析)

北师大版数学九年级上册第一章第一节菱形的性质与判定课时练习
一、单选题（共15题）
1.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接△EF，则的AEF的面积是（）
A．43B．33C．23D．3
答案：B
解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=23
∴EF=AE=23
过A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF的面积是：
11
EF AM=×23×3=33
22
故选：B．
分析:首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积
2.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG ∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）
A．6.5B．6C．5.5D．5
答案：C
解析：解答:∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE-4（8-AE）=12，
解得：AE=5.5，
故选C
分析:根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可
3.如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）
A．
1
2
3
B．2C．D．3
3
答案：D
解析：解答:∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵CE⊥AB，点E是AB中点，
∴BE=
1
2
BC
∴∠ABC=60°，
∴∠EBF=30°，
∴∠BFE=60°，
∴tan∠BFE的值为3
故选D．
分析:首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案4.如图，菱形中，对角线A C、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）
A．3.5B．4C．7D．14
答案:A
解析：解答:∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=
11
AB=×7=3.5．
22
故选A．
分析:根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可
5.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）
A．18B．183C．36D．363
答案:B
解析：解答:过点A作AE⊥BC于E，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，
∴∠ABC=60°
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，
∴AE=33
∴菱形ABCD的面积是6×33=183
故选B
分析:本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键
6.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）
A．63米B．6米C．33米D．3米
答案:A
解析：解答:∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），
∵∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），
在
△
Rt AOB中，根据勾股定理得：OA=62-32=33（米），
则AC=2OA=63米，
故选A．
分析:由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长
7.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=
k
x（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）
A．-12B．-27C．-32D．-36
答案:C
解析：解答：解：∵A（-3，4），
∴OA=32+42=5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为-3-5=-8，
故B的坐标为：（-8，4），
将点B的坐标代入y=
k k
得，4=
x8
解得：k=-32．
故选C．
分析:根据点A的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=3，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A．4B．43C．47D．28
答案:C
解析：解答:∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=3
∴AC=2EF=23
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=
11
AC=3，OB=BD=2，
22
∴AB=AO2BO2=7
∴菱形ABCD的周长为47故选：C．
分析:首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可
9.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
答案:D
解析：解答:A.不正确，两组对边分别平行；
B.不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C.不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D.菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
分析:根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直
10.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）
A．20m B．25m C．30m D．35m
答案:C
解析：解答:如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，
∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，
∴∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BG=GM=2.5（m），
同理可证：AF=EF=2.5（m）
∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），
∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），
故选：C．
分析△:根据题意和正六边形的性质及等边三角形的性质得出BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长
11.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）
A．108°B．72°C．90°D．100°
答案:B
解析：解答:连接P A，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP=∠CDP=
1
2∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，
∴P A=PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴P A=PD，
∴PD=PC，
∴∠PCD=∠CDP=36°，
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；
故选：B．
分析:本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键
12.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）
A．60°B．55°C．45°D．30°
答案:A
解析：解答:如图，连接AC，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAE=30°，
同理可得∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．
故选A．
分析:连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得A B=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解
13.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）
A．10B．20C．24D．48
答案:C
解析：解答：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，
∴这个菱形的面积是：
1
2×6×8=24．
故选C．
分析:由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
14.在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）
A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO
答案:D
解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，
故A，B，C正确，D错误．
故选D．
分析:根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案
15.如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）
A．30B．24C．18D．6
答案:B
解析：解答：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD 的周长=6×4=24，
故选B．
分析:根据题意得PQ是△ADC的中位线，从而可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了
二、填空题（共5题）
16.如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥△AB，则ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．
答案:AB=AC或∠B=∠C
∴DE=
1
解析：解答:需加条件AB=AC，这样可根据三线合一的性质，得出D是BC的中点，
根据中位线定理可得，DE平行且等于AF，则AEDF为平行四边形，又可得AE=AF，则四边形AEDF为菱形．
则添加条件：AB=AC．
当∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．
故答案为：AB=AC或∠B=∠C．
分析:由三角形的中位线的性质，可得四边形AEDF为平行四边形，如AE=AF，则四边形AEDF为菱形，则添加条件：AB=AC
17.如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________
就可以证明这个多边形是菱形
答案:AB=AC，答案不唯一
解析：解答:添加：AB=AC，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，
1
AC，DF=AB，
22
∵AB=AC，
∴ED=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
故答案为：AB=AC．
分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形
18.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．
答案:AB=AD，答案不唯一
解析：解答:添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB=AD
分析:由条件OA=OC，OB=OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定
19.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于
1
2
AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________
答案：菱形
解析：解答：∵分别以A和B为圆心，大于
1
2AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC是菱形．
故答案为：菱形．
分析:根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形20.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：__________，可使它成为菱形
答案：AB=BC｜AC⊥BD等
解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=BC或AC⊥BD等
分析:菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案
三、解答题（共5题）
21.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）求证：BC=ED．
答案：（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，
∴EA=EC，
∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．
∴△ACD≌△ACE，
∴EA=EC=DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，
∴CD∥AE且CD=AE，
∵AE=EB，
∴CD∥EB且CD=EB
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴DE=BC．
解析：分析:(1)利用直线对称性得出△ACD≌△ACE，进而得出EA=EC=DA=DC，求出即可；
（2）利用平行四边形的判定得出四边形BCDE为平行四边形，进而得出答案
22.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．
∴EF=
1
答案:解答：（△1）证明：∵ABC与△CDE都是等边三角形
∴AB=AC=BC，ED=DC=EC
∵点E、F分别为AC、BC的中点
11
AB，EC=AC，FC=BC
222
∴EF=EC=FC
∴EF=FC=ED=DC，
∴四边形EFCD是菱形．
（2）解：连接DF，与EC相交于点G，
∵四边形EFCD是菱形
∴DF⊥EC，垂足为G
∵EF=
1
2
AB=4，EF∥AB
∴∠FEG=∠A=60°
在△Rt EFG中，∠EGF=90°
∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=43
解析：分析：（1）利用三角形的中位线定理即可得到四边形EFCD的四边相等，即可证得；
（2）连接DF，与EC相交于点△G，EFC是等边三角形，则△EFG是直角三角形，利用三角函数即可求得GF的长，根据DF=2GF即可求得
23.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
答案：解答：
（1）∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）直角三角形．
理由：∵AE=EC
∴∠2=∠4，
∵AE=EB，
∴EB=EC，
∴∠5=∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，
∴∠ACB=∠4+∠5=90°，
∴△ACB为直角三角形．
解析：分析:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；
（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．
24.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CE∥AD交AB于E，AE=AD．求证：四边形AECD 是菱形
答案：解答：证明:∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE=AD，
∴四边形AECD是菱形；
解析：分析:首先根据定义证明四边形AECD是平行四边形，则以及菱形的定义即可证得25.如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明
答案：解答：四边形ABCD是菱形．
理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形
解析：分析:作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AP=AQ得平行四边形ABCD是菱形。