08-09第三次三校联考(理科)

08-09学年度第三次三校联考
数学试题(理科)
本试卷满分:150分 考试时间：120分钟
命题人:
一．选择题：(本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.复数
=---+2)1(11i i
i
A.i
B.-i
C. 3i
D.－3i
2. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(2
)0(log )(2x x x x f x ,若21)(=a f ,则=a
A.1或2-
B.-1或2
C.2或1
D.-1或2
3. 已知集合}0)1(log |{2
1>-=x x A ,}023|{2
≥-+=x x x B ,则=⋂B A A.]23
,1( B.]23,1[- C.)2,23[ D.)2,2
3[]1,(⋃--∞ 4. 向量a b 、满足3
||1,||,2
a a
b =-=a 与b 的夹角为60°
，则||b =
A.1
C.1212
5. 设函数)0(1)6
sin()(>-+=ωπ
ωx x f 导数)(x f '的最大值为3，则)(x f 图象的一条
对称轴方程是
A.9
π
=
x B.6π
=
x C.3π
=
x D.2
π
=
x
6. 将函数)(x f y =的图像向左平移1个单位,再向下平移2个单位后与函数x
a y = )1,0(≠>a a 的图像关于直线x y =对称,若4)3(=f ,则=a
A.62
B.64
C.2
D.2
7. 在正三棱锥S —ABC 中，侧棱与底面所成的角的余弦值为3
3
,E 为SA 的中点，F 为∆ABC 的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是
A.90︒
B.60︒C．45︒D.30︒
8. 设a ∈R ，函数()e e x
x
f x a -=+⋅的导数是()f x '，且()f x '是奇函数,若曲线()
y f x =的一条切线斜率是3
2
，则切点的横坐标为 A.ln 22-
B.ln 2-
C.ln 2
2
D.ln 2 9. 设数列}{n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,满足:36,563==S a ,数列}{n b 满足:31=b , 121
-=+n n b b )(*
N n ∈,则=+-∞→n
S b n n n 2)1(log lim 22 A.2B.1C.1
2
D.0
10. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知: 2
7
2cos 2sin 42=-+C B A ,a+b=5，c =7,则∆ABC 的面积为 A.
839 B.233 C.89D.2
3
11. 0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字的四位数中,其中2、3相邻的有 A.72个 B.64个 C.60个 D.54个
12. 以AB 为直径的圆有一内接等腰梯形ABCD ,且//AB CD .若双曲线C 以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线C 的离心率为 A.
2
2
1+ B.21+
C.
2
3
1+
D.31+
二、填空题：（本大题每小题5分，共20分）
13.已知,x y 满足约束条件50,
0,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则y x z 2-=的最大值为_________.
14.8
2
1(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为.（用数字作答） 15.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥
B AD
C -的外接球的表面积为.
16.已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 与抛物线)0(42
>=p px y 的焦点重合,另外两个顶点B 、C 在该抛物线上,若2||=
AB ,则p =___________.
三、解答题：(本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本题满分10分）
已知函数()2cos f x x x =-. (1) 若[]0x π∈，,求()f x 的最大值和最小值.
(2) 若()0f x =,
求
2
2cos sin 124x
x x π--⎛⎫
+ ⎪
⎝
⎭的值.
18. (本题满分12分）
甲、乙两名跳高运动员各进行n 次2米高度的试跳,甲每次成功的概率是
3
2
,乙每次成功的概率是
2
1
.假设两人试跳成功与否相互独立,每人每次试跳成功与否相互之间没有影响. (1) 当3=n 时：求甲成功次数比乙成功次数多两次的概率. (2) 当2=n 时：① 求甲、乙两人至少有一人成功一次的概率.
② 设甲、乙成功的次数之和为随机变量ξ,求ξ的分布列和期望.
19.(本题满分12分）
已知函数2
()2ln(1)()f x ax x a R =+-∈.
(1) 若()f x 在[3,2)--上是增函数,某某数a 的取值X 围.
(2) 是否存在正实数a ,使得()f x 的导函数()f x '
有最大值1-若存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由.
20.(本题满分12分）
如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,,BC PB ⊥CD PD ⊥,
且PC 与底面ABCD 所成的角的正切值为2
2
,E 为PD 中点. (1) 求二面角D AC E --的大小.
(2) 在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离
为5
52.若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.
21. (本题满分12分）
已知F 1、F 2分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点,O 是坐标原点,点)22,1(-P 在椭圆上,线段PF 2与y 轴的交点M 满足02=+M F PM ;⊙O 是以F 1F 2为直径的圆,直线
m kx y l +=:与⊙O 相切,并与椭圆交与不同的两点A 、B.设AOB ∆面积为S.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设λ=⋅OB OA ,当]4
3
,32[∈λ时,求)(k S S =的最大值. 22. (本题满分12分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知:0>n a ,211
42
n n n S a a =+()n N *∈. (1) 求数列{}n a 的通项公式n a .
(2) 若数列{}n b 满足：()2
1123,1n n n b b n b b +=--+≥， ()
*n N ∈
①证明：2
n
n a b ≥
.
②设123
111
13333n n T b b b b =
++++
++++,证明：1
2
n T <.
B
C
D
A E
P
word
08-09学年第三次三校联考
数学答题卡(理科)
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．14．
15．16．
三．解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。

）
17（10分）
18（12分）
学校_____________________ 班次 某某 考号 密 封 线 内 不 准 答 题
19（12分）
20（12分）
21（12分）B C
D A
E
P
22（12分）
08-09学年度第三次三校联考
理科数学参考答案
13. 914.-4215.5π16.2
1
2- 三、解答题 17(10分)
解:(1)()2cos f x x x =-14cos 2x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭
4sin 6x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭……2分 又[]0x π∈∵，，ππ5π
666x -∴-
≤≤，π24sin 6x ⎛⎫∴-- ⎪⎝
⎭≤≤4……2分
max min ()4()2f x f x ==-∴，． ………………………5分
(2) 由于()0f x =，所以2cos x x =解得 tan
x =………………7分
3211tan 1tan 1sin cos sin cos )sin(21sin cos 23
13
1422-=+-=+-=+-=+--x x x x x x x x x
π……………10分 18（12分）
解:(1) 甲成功次数比乙成功次数多两次分两种情况:
①甲恰好成功2次, 乙成功0次,其概率为:181)21(31)
3
2
(32
2
31=⋅=C p ②甲成功3次, 乙恰好成功1次,其概率为:9
1
)21()32(31331=⋅=C p
∴甲成功次数比乙成功次数多两次的概率61
9118121=+=+=p p P ………3分
(2) ①甲、乙两人2次试跳都未成功的概率为:361
)21()31(22==p
∴甲、乙两人至少成功一次的概率为:36
353611=-………6分②ξ可能取0,1,2,3,4 36
1
)21()31()0(22===ξp
6
1366)21()31()21(3132)1(2
122212=
=+⋅⋅==C C p ξ
36
13)21(3132)21()31()21()32()2(2
121222222222=
⋅⋅++⋅==C C C C p ξ 3
13612)21(3132)21()32()3(2
2212212222==⋅+==C C C C p ξ
9
1364)21()32()4(2
22222====C C p ξ
所以,ξ的分布列为:
E ξ=0×361+1×61+2×3613+3×31+4×91=3
7………12分 19(12分)
(1)由已知得()x f 的定义域为()1,∞-,()x
ax x f --='12
2. ………2分 由题意得()012
2≥--
='x
ax x f 对一切[)2,3--∈x 恒成立, .
41
211
12
2+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=
+-≤
∴x x
x a 当[)2,3--∈x 时,641212
-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ,………5分 6141211
2-≥+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--∴x 故61-≤a . ………6分
(2)假设存在正实数a ,使得()221max -='x f 成立.
()()a a x x a a x ax x f 42212122122-≤⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-+--=--
='. ………8分 由()x x a -=
-1212,得()a x 112
=-,a x 11±=∴.由于111>+
=a
x ,故应舍 ∴a
x 11-
=时,().422max a a x f -='………10分
令221422-=-a a 得21=a 或222
9
-=a . ………12分
另解:假设存在正实数a ,使得()221max -='x f 成立. 设()()x ax x f x g --
='=12
2,则()()
2
122x a x g --='. ………8分由()()012
22
>--
='x a x g ,解得a
x 11-
<或a
x 11+
>.
因为()1,∞-∈x ()x g ∴在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
∞-a 11,上单调递增,在⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-1,11a 上单调递减.…10分 ()a a a g x f 4211max -=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-='∴.
令22142-=-a a ,解得21=
a 或222
9
-=a . ………12分 20 (12分）
解法一：（1）∵底面ABCD 为正方形,∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥,∴⊥BC 平面PAB , ∴PA BC ⊥. 同理可证PA CD ⊥，∴⊥PA 平面ABCD .
PCA ∠∴为直线PC 与底面ABCD 所成的角,2=∴PA ………2分
设M 为AD 中点，连结EM ，又E 为PD 中点，可得PA EM //， 从而⊥EM 底面ABCD ．过M 作AC 的垂线MN ，垂足为N ,连结EN ． 由三垂线定理有AC EN ⊥，∴ENM ∠为二面角D AC E --的平面角.………4分
在EMN Rt ∆中，可求得,2
2,1=
=MN EM ∴tan EM
ENM MN ∠==．
∴二面角D AC E --的大小为2arctan ．………6分 （2）由E 为PD 中点可知, 要使得点E 到平面PAF 的距离为
552，即要点D 到平面PAF 的距离为5
5
4. 过D 作AF 的垂线DG ，垂足为G ,
∵⊥PA 平面ABCD ，∴平面⊥PAF 平面ABCD ，∴⊥DG 平面PAF ， 即DG 为点D 到平面PAF 的距离.………9分
∴554=DG ，∴552=AG ．设x BF =，由ABF ∆与DGA ∆相似可得GA
DG
BF AB =，∴
22
=x
，
即1=x ．∴在线段BC 上存在点F ，且F 为BC 中点，使得点E 到平面PAF 的距离为
5
5
2．………12分 解法二：（1）∵底面ABCD 为正方形,∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥,∴⊥BC 平面PAB , ∴PA BC ⊥. 同理可证PA CD ⊥，∴⊥PA 平面ABCD .
PCA ∠∴为直线PC 与底面ABCD 所成的角,2=∴PA ………2分
建立如图的空间直角坐标系xyz A -，，，，)000(A ，，，)022(C )110(，，E . 设m ),,(z y x =为平面AEC 的一个法向量，则m AE ⊥，m AC ⊥． 又),1,1,0(=AE ),0,2,2(=AC
⎩
⎨
⎧=+=+∴.022,
0y x z y 令,1=x 则,1,1=-=z y 得m
,1(-=又)2,0,0(=AP 是平面ACD 的一个法向量， 设二面角D AC E --的大小为θ， 则3
3
2
32,cos cos =
⋅=
>=
<=AP m θ．∴二面角D AC E --的大小为3
3
arccos
．(6分) （3）解：设),20()02(≤≤t t F ，，n ),,(c b a =为平面PAF 的一个法向量， 则n AP ⊥，n AF ⊥．又)2,0,0(=AP ，
),0,,2(t AF =
⎩⎨
⎧=+=∴.
02,
02tb a c 令,t a =则,0,2=-=c b 得n )0,2,(-=t ．………9分
又),1,1,0(=AE ∴点E 到平面PAF 的距离4
22
+=
=
t ，
∴
=
+4
22t 5
5
2，解得1=t ，即)012(，，F ，∴在线段BC 上存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为5
5
2,且F 为BC 中点………12分 21（12分）
解:(1)∵02=+M F PM ∴点M 是线段PF 2的中点,
∴OM 是△PF 1F 2的中位线,有OM ⊥F 1F 2, ∴PF 1⊥F 1F 2 ………………2分
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=2222
21211
1c
b a b a
c 解得:a 2=2,b 2=1,c 2=1. ∴椭圆的标准方程为12
22
=+y x ………………4分 (2)∵圆O 与直线l 相切 ∴
11
|
|2=+k m ,即 122+=k m ………………5分 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m
kx y y x 1222
消去0224)21(:2
22=-+++m kmx x k y
∵直线l 与椭圆交于两个不同的点, ∴002
>⇒>∆k .
设2
2212212211212
2,214),,(),,(k
m x x k km x x y x B y x A +-=+-=+则………………7分 又2
22
212122121211)())((k k m x x km x x k m kx m kx y y +-=+++=++=
令2
222222121211
2112122k k k k k m y y x x OB OA ++=+-++-=+=⋅=λ………………9分
由12
1432113243322
2
2≤≤≤++≤≤≤k k k 得即λ……………10分 212
2124)(1211||21)(x x x x k AB S k S AOB
-++=⋅==∆=1
)(4)(22424+++k k k k
设142)(,243,2
4+=≤≤+=u u k S u k k u 则……………11分
3
2
)(S ,,2]43[)(max =∴k k S 上是增函数在 ………………12分22（12分）
解：（1）21142n n n S a a =+211111
(2)42
n n n S a a n ---∴=+≥…………………1分
2211
11111
()4242
n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=+-+ 得)2(21≥=--n a a n n ………3分 又12a =2n a n ∴=………………………4分
（2）①即证n b n ≥()*n N ∈
用数学归纳法证明如下：（10）当1n =时，11b ≥，原不等式成立；………5分 （20）假设n k =时原不等式成立，即k b k ≥()*k N ∈………6分 那么当1n k =+时，
()()()21232323231k k k k k k k b b k b b b k b k k b k +=--+=-++≥-++=+>+
∴当1n k =+时原不等式也成立
由（1）（2）可知n b n ≥()*n N ∈………8分
②证明：由()()2
1232323n n n n n n b b n b b b n b +=--+=-++≥+，而30n b +>，
∴
13
23
n n b b ++≥+………10分
∴134b +≥，
21323b b +≥+，32323b b +≥+
，43323
b b +≥+，，
13
23
n n b b -+≥+
∴1
32n n b ++≥()*n N ∈，∴111
032n n b +<
≤+………11分 ∴2341
123111
1111
1333
3222
2
n n n T b b b b +=
++++
≤++++++++ ∴11111
1142122212
n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤
=-<-∴12n T <()*n N ∈………12分。