高考数学 6.2 算术平均数与几何平均数随堂检测(含解析)

6.2 算术平均数与几何平均数 随堂检测（含答案解析）
1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )
A ．(－∞，14]
B ．(0，14
) C ．(－14，0) D ．(－∞，14
) 解析：选 A.由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤(a ＋b 2)2＝14
，故选A. 2．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，
若A B →＝λAE →(λ>0)，A C →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ
的最小值是( ) A ．9
B.72 C ．5 D.92
解析：选D.由题意得，A B →＋A C →＝2AD →＝λAE →＋μAF →⇒A D →＝λ2AE →＋μ2
A F →，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52
＋2＝92
，当且仅当2λ＝μ时取等号． 3．(2013·福建厦门模拟)已知a 、b 、c 都是正实数，且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，则使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，2 B ．[0,22) C ．[2,23) D ．(0,25]
解析：选D.因为a 、b 都是正数，log 9(9a ＋b )＝log 3ab ，
所以log 3(9a ＋b )＝log 3(ab )，故9a ＋b ＝ab, 即9b ＋1a
＝1， 所以4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫9b ＋1a ＝13＋36a b ＋b a
≥13＋236a b ·b a ＝25， 当且仅当36a b ＝b a ，即b ＝6a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＝52，b ＝15时等号成立． 而c >0，所以要使4a ＋b ≥c 恒成立，则0<c ≤25.
4．(2013·柳州检测)若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为
________．
解析：∵a ，b ，c >0，a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，
∴a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝4，∴(a ＋b )(a ＋c )＝4.
又∵(a ＋b )(a ＋c )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋a ＋c 22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋b ＋c 22， ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋b ＋c 22≥4，∴(2a ＋b ＋c )2≥16，∴2a ＋b ＋c ≥4.
答案：4。