广东省汕头市金山中学高一数学上学期入学试卷(含解析)

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）入学数学试卷
一、选择题
1．下列叙述正确的是( )
A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|＞|b|，则a＞b C．若a＜b，则|a|＞|b| D．若|a|=|b|，则a=±b
2．已知关于x的方程x2+kx﹣2=0的一个根是1，则它的另一个根是( )
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
3．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于( )
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
4．函数y=﹣x2+x﹣1图象与x轴的交点个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．无法确定
5．如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则α+β的取值范围为( ) A．α+β≥B．α+β≤C．α+β≥1 D．α+β≤1
6．不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+8的值( )
A．总是正数 B．总是负数
C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
7．方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，则方程x2+3x ﹣1=0的实根x0所在的范围是( )
A．0＜x0＜ B．＜x0＜C．＜x0＜D．＜x0＜1
8．下列四个说法：其中正确说法的个数是( )个
①方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7；
②方程x2﹣2x+7=0的两根之和为﹣2，两根之积为7；
③方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3x2+2x=0的两根之和为﹣2，两根之积为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为( )
A．B．C．D．
10．等式成立的条件是( )
A．x≠2 B．x＞0 C．x＞2 D．0＜x＜2
二、填空题
11．方程2x2+2x﹣1=0的两根为x1和x2，则|x1﹣x2|=__________．
12．已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径等于5cm，则梯形ABCD的面积为__________．
13．分解因式：x2﹣xy+3y﹣3x=__________．
14．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）
15．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2，则m的取值范围为__________．
16．已知x=，y=，则3x2﹣5xy+3y2的值是__________．
三、解答题
17．若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3=0的两个根，求：
（1）|x1﹣x2|的值；
（2）+和+的值；
（3）x12+x22和x13+x23的值．
18．二次函数y=﹣x2﹣mx﹣1与x轴两交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2＜3，求m 的取值范围．
19．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1，过圆心O做BC 的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD．
20．已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止，如图②）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG，设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．
（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；
（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．
2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）入学数学试卷
一、选择题
1．下列叙述正确的是( )
A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|＞|b|，则a＞b C．若a＜b，则|a|＞|b| D．若|a|=|b|，则a=±b
【考点】分析法和综合法．
【专题】计算题；方案型；推理和证明．
【分析】直接利用绝对值的几何意义判断即可．
【解答】解：若|a|=|b|，则a=b，显然a、b异号不成立；
若|a|＞|b|，则a＞b，利用a=﹣3，b=1，满足条件，不满足结果，B不正确；
若a=0＜b=5，则|a|＞|b|不成立，C不正确；
若|a|=|b|，则a=±b，成立．
故选：D．
【点评】本题考查绝对值的几何意义，是基础题．
2．已知关于x的方程x2+kx﹣2=0的一个根是1，则它的另一个根是( )
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设方程x2+kx﹣2=0的另一个根是a，由韦达定理可得答案．
【解答】解：设方程x2+kx﹣2=0的另一个根是a，
由韦达定理可得：1×a=﹣2，
即a=﹣2，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理是解答的关键．
3．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于( )
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC=BC，再用
PQ是△EFC中位线，PQ=CF，即可求得答案．
【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE=BC，AE=BE，AD=CD，
∴∠EDB=∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP=BP，
∵在△DEP与△BFP中，∠EDB=∠DBF，DP=BP，∠EPD=∠BPF，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF=DE=BC，P是EF中点，
∴FC=BC，
PQ是△EFC中位线，PQ=FC，
∴PQ：BC=1：4．
故选：B．
【点评】本题考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的合理运用．
4．函数y=﹣x2+x﹣1图象与x轴的交点个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．无法确定
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】利用二次函数的性质判断求解即可．
【解答】解：函数y=﹣x2+x﹣1，开口向下，又△=1﹣4×（﹣1）（﹣1）=﹣3＜0．
抛物线与x轴没有交点，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力．
5．如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则α+β的取值范围为( ) A．α+β≥B．α+β≤C．α+β≥1 D．α+β≤1
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，则△=4（1﹣m）2﹣4m2≥0，解出m的范围，结合韦达定理，可得答案．
【解答】解：如果关于x的方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0有两实数根α，β，
则△=4（1﹣m）2﹣4m2≥0，
解得：m≤，
则α+β=2（1﹣m）≥1，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根与系数的关系，难度中档．
6．不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+8的值( )
A．总是正数 B．总是负数
C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数
【考点】不等关系与不等式．
【专题】配方法．
【分析】利用配方法把代数式a2+b2﹣2a﹣4b+8变形为几个完全平方的形式后即可判断．【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+8=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+3=（a﹣1）2+（b﹣2）2+3≥3，故不论a、b取何值代数式a2+b2+4b﹣2a+6恒为正数．
故选A．
【点评】本题考查了完全平方的形式及非负数的性质，关键是正确变形为完全平方的形式后进行判断，属基础题．
7．方程x2+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标，则方程x2+3x ﹣1=0的实根x0所在的范围是( )
A．0＜x0＜ B．＜x0＜C．＜x0＜D．＜x0＜1
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；构造法；函数的性质及应用．
【分析】先构造函数F（x）=x+3﹣，再根据F（）•F（）＜0得出函数零点的范围．【解答】解：根据题意，构造函数F（x）=x+3﹣，
当∈（0，+∞）时，函数F（x）单调递增，
且F（）=+3﹣4=﹣＜0，F（）=+3﹣3=＞0，
因此，F（）•F（）＜0，
所以，x0∈（，），
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理，涉及到函数的单调性，属于基础题．
8．下列四个说法：其中正确说法的个数是( )个
①方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7；
②方程x2﹣2x+7=0的两根之和为﹣2，两根之积为7；
③方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3x2+2x=0的两根之和为﹣2，两根之积为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】方程思想；数学模型法；简易逻辑．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
【解答】解：①方程x2+2x﹣7=0的两根之和为﹣2，两根之积为﹣7，正确；
②方程x2﹣2x+7=0的两根之和为2，两根之积为7，因此不正确；
③方程3x2﹣7=0的两根之和为0，两根之积为，正确；
④方程3x2+2x=0的两根之和为﹣，两根之积为0，不正确．
综上可知：正确的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为( )
A．B．C．D．
【考点】归纳推理．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，列出前几个三角形的周长，发现从第二项起，每个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半，由此进行归纳即可得到第2003个三角形的周长．
【解答】解：根据题意，设第k个三角形的周长记为a k，（k=1、2、3、…）
∵△ABC周长为1，∴a1=1
∵第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点
∴第二个三角形的周长为a2=a1=
依此类推，第三个三角形的周长为a3=a2=，…第k个三角形的周长为a k=，…∴第2003个三角形周长为a2003=．
故选C
【点评】本题以三角形的周长规律为载体，考查了归纳推理的一般方法和等比数列的通项公式的知识，属于基础题．
10．等式成立的条件是( )
A．x≠2 B．x＞0 C．x＞2 D．0＜x＜2
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：x＞2，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查了二次个数的性质，是一道基础题．
二、填空题
11．方程2x2+2x﹣1=0的两根为x1和x2，则|x1﹣x2|=．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据根与系数之间的关系进行转化进行求解即可．
【解答】解：∵方程2x2+2x﹣1=0的两根为x1和x2，
∴x1+x2==﹣1，x1x2=，
则|x1﹣x2|=====，
故答案为：
【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解，根据根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
12．已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径等于5cm，则梯形ABCD的面积为7cm2或49cm2．
【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；推理和证明．
【分析】过点O作OE⊥AB，E为垂足，OF⊥CD，F为垂足，由勾股定理得OE=3， OF=4，当圆心O在梯形ABCD内部时，EF=3+4=7，当圆心O在梯形ABCD外部时，EF=4﹣3=1，由此能求出梯形ABCD的面积．
【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，
过点O作OE⊥AB，E为垂足，OF⊥CD，F为垂足，
E，O，F三点共线．
等腰三角形OAB中，AE==4，
由勾股定理得，OE==3
同理得，OF==4，
当圆心O在梯形ABCD内部时，
EF=3+4=7，
∴梯形ABCD的面积S==49（cm2）
当圆心O在梯形ABCD外部时，
EF=4﹣3=1，
∴梯形ABCD的面积S=（cm2）．
故答案为：7cm2或49cm2．
【点评】本题考查梯形面积的求法，是中档题，解题时要注意勾股定理的合理运用，易错点是容量丢解．
13．分解因式：x2﹣xy+3y﹣3x=（x﹣y）（x﹣3）．
【考点】因式分解定理．
【专题】转化思想；数学模型法；推理和证明．
【分析】x2﹣xy+3y﹣3x变形为x（x﹣y）﹣3（x﹣y），再提取公因式即可得出．
【解答】解：x2﹣xy+3y﹣3x=x（x﹣y）﹣3（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣3），
故答案为：（x﹣y）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则可判断点O是的中点，由折叠的性质可
得OD=OE=R=2，在Rt△OBD中求出∠OBD=30°，继而得出∠AO C，求出扇形AOC的面积即可
得出阴影部分的面积．
【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO=S弓形CO，
在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴S阴影=S扇形AOC==．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
15．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2，则m的取值范围为1＜m＜2．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】设f（x）=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，由题意可得：以
，即可解得m的取值范围．
【解答】解：设f（x）=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，
因为一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2，
所以，解得1＜m＜2，
故答案为：1＜m＜2．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握实根分布问题解决的方法．
16．已知x=，y=，则3x2﹣5xy+3y2的值是289．
【考点】方根与根式及根式的化简运算；有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知利用分母有理化求出x=5﹣2，y=5+2，由此能求出3x2﹣5xy+3y2的值．【解答】解：∵x==（）2=5﹣2，
y==（）2=5+2，
∴3x2﹣5xy+3y2=3（x+y）2﹣11xy
=3×102﹣11（5﹣2）（5+2）
=289．
故答案为：289．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根式性质、分母有理化、完全平方式的合理运用．
三、解答题
17．若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3=0的两个根，求：
（1）|x1﹣x2|的值；
（2）+和+的值；
（3）x12+x22和x13+x23的值．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据根与系数的关系，化简求值即可．
【解答】解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=﹣，x1•x2=，
（1）∵（x1﹣x2）2==，
∴|x1﹣x2|=
（2））+==，
x12+x22===，
+==，
（3）x12+x22===，
x13+x23===．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，培养学生的计算能力．
18．二次函数y=﹣x2﹣mx﹣1与x轴两交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2＜3，求m 的取值范围．
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用x1＜x2＜3，建立不等式，即可求m的取值范围．
【解答】解：设函数f（x）=﹣x2﹣mx﹣1，则
∵函数的两根x1＜x2＜3，∴有，
解得m的取值范围为﹣＜m＜﹣2或m＞2．
【点评】本题考查二次函数的性质，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1，过圆心O做BC 的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】连接OC，则OP⊥AC，从而OP=，由已知推导出△OCP∽△ODC，由此能求出OD
的长．
【解答】解：如图所示，连接OC，
因为OD∥BC，又BC⊥AC，所以OP⊥AC，
又O为AB线段的中点，所以OP=，
在Rt△OCD中，OC=，
由于OP⊥AC，因此∠CPO=∠OCD，∠COP=∠DOC，
因此△OCP∽△ODC，，
所以OC2=OP•OD，即=8．
【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质的合理运用．
20．已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止，如图②）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG，设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．
（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；
（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；二次函数的性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）首先求出一次函数y=﹣x+与x轴、y轴的交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；
（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若四边形ADEF为菱形，则DE=AD=t，由DE=2DO列式求得t值；
（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情况，需分类讨论，①若∠ADF=90°时，如图，则有DF∥OB．然后由图形列式求出t值，再求出G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的方程，求出点M的坐标，再利用顶点式求出抛物线的解析式；
②若∠AFD=90°，采用①的思路进行求解．
【解答】解：（1）在y=﹣x+中，分别令x=0、y=0求得A（1，0），B（0，），
∴OA=1，OB=，
∴tan，则∠OAB=60°，
∴AB=2OA=2，
∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°，
∴EF==，
BF=2EF=2t，EF=t，AF=AB﹣BF=2﹣2t（0≤t≤1）；
（2）在Rt△DOE中，EO=，DO=1﹣t，
∴DE═，
∵EF=t，AD=t，EG∥OA，∴四边形ADEF为平行四边形．
若四边形ADEF为菱形，则有AD=DE，∴t=2（1﹣t），
解之得t=，即当t=时四边形ADEF为菱形；
（3）①当∠ADF=90°时，如图，则有DF∥OB．
∴，即，
∴t=，
又由对称性可知EG=2AO=2，
∴B（0，），E（0，），G（2，）．
设直线BG的解析式为y=kx+b，把B、G两点的坐标代入有：
，解得．
∴，
令x=1，则y=，∴M（1，），
设所求抛物线的解析式为，又E（0，），∴，解之得．
故所求解析式为；
②当∠AFD=90°时，如图，
在Rt△AD F中，∠ADF=30°，
由AD=t，∴AF=t，
由（1）有AF=2﹣2t，
∴，解得：t=．
∴B（），E（0，），G（2，），
设直线BG的解析式为y=mx+n，把B、G两点的坐标代入有：
，解之得：．
∴．
令x=1，则y=，∴M（1，）．
设所求抛物线的解析式为．
又E（0，），∴，解得a=﹣．
故所求解析式为．
综上所求函数的解析式为：或．
【点评】本题考查二次函数的性质，考查直线与抛物线的位置关系，训练了利用待定系数法求解函数解析式，注意（3）中的分类讨论，是中档题．。