山东临沂市莒南县第三中学2022-2023学年数学高一上期末统考试题含解析
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【详解】（1）由已知可得圆 的标准方程为 ,圆心 ,半径 ,
则 到 的距离 ,
解得 ,即 的取值范围为 .
（2）因为 ,
解得
所以由圆心到直线距离公式可得 .
解得 或 .
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系判断,直线与圆相交时的弦长关系及垂径定理应用,属于基础题.
20、（1） 是奇函数；证明见解析
（2）
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．幂函数 的图象不过原点，则（）
A. B.
C. 或 D.
2．已知函数 ，则函数 （）
A.有最小值 B.有最大值
C 有最大值 D.没有最值
【解析】（1）首先确定 定义域，根据奇偶性定义可得结论；
（2）令 ，可求得 的范围，进而可得 的值域.
【小问1详解】
由 得： ， 定义域为 ，关于原点对称；
，
， 为奇函数；
【小问2详解】
令 ，
且 ， ， 或 ，
或 ， 的值域为 .
21、（1）证明见解析；
（2） .
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，证明 平面 ，即可证明出平面 平面 .
17、（1） ；
（2） .
【解析】（1）利用二次函数 单调性进行求解即可；
（2）利用换元法、构造函数法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当 时，函数 的对称轴为： ，
因此函数 当 时，单调递增，
故
所以 ；
【小问2详解】
由（1）知，
不等式 ，可化为：
即 ，令 ，
，令 ，
.
18、（1） （2） （3）8
【详解】对任意 ， ，
将函数向左平移2个单位得到 ， 函数为偶函数，所以 ，
令 ，由 ，可得 ，解得： .
故答案为： .
12、27
【解析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m的值，再求
【详解】由于奇函数的定义域必然关于原点对称∴m＝3，
故f（m）＝
故答案为27
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，利用了奇函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题
故A、B、C成立；而 ， ，
即 不成立，故选D.
4、C
【解析】根据给定函数图象求出函数 的解析式，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】观察函数 的图象得： ，令 的周期为 ，则 ，即 ，
，由 ，且 得： ，于是有 ，
对于A， ，A不正确；
对于B，取 且 ，满足 ， ，且 ，而 ，
，此时 ，B不正确；
14．已知角 终边经过点 ，则 ___________.
15．已知函数 ，则不等式 的解集为______
16．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 在区间 上有最大值 ，最小值 ，设 .
【点睛】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题
19、（1） （2） 或 .
【解析】（1）将圆的一般方程化为标准方程,根据两个交点,结合圆心到直线的距离即可求得 的取值范围.
（2）根据垂径定理及 ,结合点到直线距离公式,即可得关于 的方程,解方程即可求得 的值.
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A. B.
C. D.
7．如图， 是水平放置的 的直观图，其中 ， ， 分别与 轴， 轴平行，则 （）
A.2B.
C.4D.
8．已知函数 若 ，则实数 的值是（）
A.1B.2
C.3D.4
9．若 则
A. B.
C. D.
10．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎 流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）
【解析】记两只白球分别为 ， ；两只红球分别为 ， ；两只黄球分别为 ，
用列举法得出从中随机取2只的所有结果；
（1）列举 只球都是红球的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
（2）列举 只球同色的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
（3）求出恰有一只是白球的概率， 只球都是白球的概率，可得结论
【详解】解：记两只白球分别 ， ；两只红球分别为 ， ；两只黄球分别为 ，
从中随机取2只的所有结果为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， 共15种
（1） 只球都是红球为 共1种，概率
（2） 只球同色的有： ， ， ，共3种，概率
（3）恰有一只是白球的有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8种，概率 ;
只球都是白球的有： ，概率
所以：“恰有一只是白球”是“ 只球都是白球”的概率的8倍
【详解】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-2
【解析】由已知可得 为偶函数，即 ，令 ，由 ，可得 ，计算即可得解.
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 .
20．已知函数
（1）判断 的奇偶性，并加以证明；
（2）求函数的值域
21．如图，四棱锥 的底面 为矩形， ， .
（1）证明：平面 平面 .
（2）若 ， ， ，求点 到平面 的距离.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
（2）用等体积法 ，即 ，即可求出答案.
【小问1详解】
连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示，
底面 为矩形， 为 ， 的中点，
又 ， ，
， ，
又 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面
【小问2详解】
， ，
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
在 中， ， ，
，
， ，
设点 到平面 的距离为 ，
由等体积法可知 ，
又 平面 ， 为点 到平面 的距离，
故答案为：
15、
【解析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集
【详解】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x-2）（x+1）≤0，解得-1≤x≤2，所以原不等式的解集为[-1，0]；当x＞0时，f（x）=-x+2，代入不等式得：-x+2≥x2，即（x+2）（x-1）≤0，解得-2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上原不等式的解集为[-1，1].
故选：D.
【点睛】本题考查零点存 定理，函数 连续，若存在 ，使 ,则函数 在区间 上至少有一个零点.属于基础题.
7、D
【解析】先确定 是等腰直角三角形，求出 ，再确定原图 的形状，进而求出 .
【详解】由题意可知 是等腰直角三角形， ，
其原图形是 ， ， ， ，
则 ，
故选：D.
8、B
【解析】根据分段函数分段处理的原则，求出 ，
1、B
【解析】根据幂函数的性质求参数.
【详解】 是幂函数
，解得 或
或
幂函数 的图象不过原点
，即
故选：B
2、B
【解析】换元法后用基本不等式进行求解.
【详解】令 ，则 ，
因为 ， ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故函数 有最大值 ，
由对勾函数的性质可得函数 ，即 有最小值 .
故选：B
3、D
【解析】设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB= m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°， ,
3．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中 ，且 三点共线，则下列结论不成立的是
A. B.
C. 与 共线D.
4．已知函数 （ ， ， ）的图象如图所示，则（）
A.
B.对于任意 ， ，且 ，都有
C. ，都有
D. ，使得
5．设集合 ， ， ，则
A. B.
C. D.
6．根据表中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是（）
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知 ，若存在定义域为 的函数 满足：对任意 ， ，则 ___________.
12．已知函数 ，是定义在区间 上的奇函数，则 _________.
13．已知函数 的图上存在一点 ,函数 的图象上存在一点 ，恰好使 两点关于直线 对称，则满足上述要求的实数 的取值范围是___________
（1）求 值；
（2）若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围.
18．一只口袋装有形状大小都相同的 只小球，其中 只白球， 只红球， 只黄球，从中随机摸出 只球，试求
（1） 只球都是红球的概率
（2） 只球同色 概率
（3）“恰有一只是白球”是“ 只球都是白球”的概率的几倍？
19．已知直线 ： 与圆 ： 交于 ， 两点.
故答案为[-1，1]
【点睛】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题
16、
【解析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得 的范围
【详解】解： 函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，且 ，
，解得 ，即 ，
故答案 ：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
，
，
即点 到平面 的距离为
代入 即可求解.
【详解】由题意可知， ， ，
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
9、A
【解析】集合A三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于2的所有实数，所以两个集合的交集 {1}，故选A.
考点：集合的运算.
10、B
【解析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
13、
【解析】函数g(x)=lnx的反函数为 ，
若函数f(x)的图象上存在一点P，函数g(x)=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则函数g(x)=lnx的反函数图象与f(x)图象有交点，
即 在x∈R上有解， ，
∵x∈R，∴
∴ 即 .
三、
14、
【解析】根据正切函数定义计算
【详解】由题意
对于C， ， ， ，
即 ，都有 ，C正确；
对于D，由 得： ，解得： ，
令 ，解得 与 矛盾，D不正确.
故选：C
5、B
【解析】 ， ，则 = ，所以
故选B.
6、D
【解析】将 与 的值代入 ，找到使 的Fra bibliotek,即可选出答案.
【详解】 时， .
时， .
时， .
时，
时， .
因为 .
所以方程 的一个根在区间 内.
则 到 的距离 ,
解得 ,即 的取值范围为 .
（2）因为 ,
解得
所以由圆心到直线距离公式可得 .
解得 或 .
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系判断,直线与圆相交时的弦长关系及垂径定理应用,属于基础题.
20、（1） 是奇函数；证明见解析
（2）
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．幂函数 的图象不过原点，则（）
A. B.
C. 或 D.
2．已知函数 ，则函数 （）
A.有最小值 B.有最大值
C 有最大值 D.没有最值
【解析】（1）首先确定 定义域，根据奇偶性定义可得结论；
（2）令 ，可求得 的范围，进而可得 的值域.
【小问1详解】
由 得： ， 定义域为 ，关于原点对称；
，
， 为奇函数；
【小问2详解】
令 ，
且 ， ， 或 ，
或 ， 的值域为 .
21、（1）证明见解析；
（2） .
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，证明 平面 ，即可证明出平面 平面 .
17、（1） ；
（2） .
【解析】（1）利用二次函数 单调性进行求解即可；
（2）利用换元法、构造函数法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当 时，函数 的对称轴为： ，
因此函数 当 时，单调递增，
故
所以 ；
【小问2详解】
由（1）知，
不等式 ，可化为：
即 ，令 ，
，令 ，
.
18、（1） （2） （3）8
【详解】对任意 ， ，
将函数向左平移2个单位得到 ， 函数为偶函数，所以 ，
令 ，由 ，可得 ，解得： .
故答案为： .
12、27
【解析】由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m的值，再求
【详解】由于奇函数的定义域必然关于原点对称∴m＝3，
故f（m）＝
故答案为27
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，利用了奇函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题
故A、B、C成立；而 ， ，
即 不成立，故选D.
4、C
【解析】根据给定函数图象求出函数 的解析式，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】观察函数 的图象得： ，令 的周期为 ，则 ，即 ，
，由 ，且 得： ，于是有 ，
对于A， ，A不正确；
对于B，取 且 ，满足 ， ，且 ，而 ，
，此时 ，B不正确；
14．已知角 终边经过点 ，则 ___________.
15．已知函数 ，则不等式 的解集为______
16．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 在区间 上有最大值 ，最小值 ，设 .
【点睛】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题
19、（1） （2） 或 .
【解析】（1）将圆的一般方程化为标准方程,根据两个交点,结合圆心到直线的距离即可求得 的取值范围.
（2）根据垂径定理及 ,结合点到直线距离公式,即可得关于 的方程,解方程即可求得 的值.
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
A. B.
C. D.
7．如图， 是水平放置的 的直观图，其中 ， ， 分别与 轴， 轴平行，则 （）
A.2B.
C.4D.
8．已知函数 若 ，则实数 的值是（）
A.1B.2
C.3D.4
9．若 则
A. B.
C. D.
10．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎 流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）
【解析】记两只白球分别为 ， ；两只红球分别为 ， ；两只黄球分别为 ，
用列举法得出从中随机取2只的所有结果；
（1）列举 只球都是红球的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
（2）列举 只球同色的种数，利用古典概型概率公式，可得结论；
（3）求出恰有一只是白球的概率， 只球都是白球的概率，可得结论
【详解】解：记两只白球分别 ， ；两只红球分别为 ， ；两只黄球分别为 ，
从中随机取2只的所有结果为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， 共15种
（1） 只球都是红球为 共1种，概率
（2） 只球同色的有： ， ， ，共3种，概率
（3）恰有一只是白球的有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8种，概率 ;
只球都是白球的有： ，概率
所以：“恰有一只是白球”是“ 只球都是白球”的概率的8倍
【详解】因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-2
【解析】由已知可得 为偶函数，即 ，令 ，由 ，可得 ，计算即可得解.
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 .
20．已知函数
（1）判断 的奇偶性，并加以证明；
（2）求函数的值域
21．如图，四棱锥 的底面 为矩形， ， .
（1）证明：平面 平面 .
（2）若 ， ， ，求点 到平面 的距离.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
（2）用等体积法 ，即 ，即可求出答案.
【小问1详解】
连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示，
底面 为矩形， 为 ， 的中点，
又 ， ，
， ，
又 ，
平面 ，
平面 ，
平面 平面
【小问2详解】
， ，
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
在 中， ， ，
，
， ，
设点 到平面 的距离为 ，
由等体积法可知 ，
又 平面 ， 为点 到平面 的距离，
故答案为：
15、
【解析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式，把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集
【详解】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x-2）（x+1）≤0，解得-1≤x≤2，所以原不等式的解集为[-1，0]；当x＞0时，f（x）=-x+2，代入不等式得：-x+2≥x2，即（x+2）（x-1）≤0，解得-2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上原不等式的解集为[-1，1].
故选：D.
【点睛】本题考查零点存 定理，函数 连续，若存在 ，使 ,则函数 在区间 上至少有一个零点.属于基础题.
7、D
【解析】先确定 是等腰直角三角形，求出 ，再确定原图 的形状，进而求出 .
【详解】由题意可知 是等腰直角三角形， ，
其原图形是 ， ， ， ，
则 ，
故选：D.
8、B
【解析】根据分段函数分段处理的原则，求出 ，
1、B
【解析】根据幂函数的性质求参数.
【详解】 是幂函数
，解得 或
或
幂函数 的图象不过原点
，即
故选：B
2、B
【解析】换元法后用基本不等式进行求解.
【详解】令 ，则 ，
因为 ， ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故函数 有最大值 ，
由对勾函数的性质可得函数 ，即 有最小值 .
故选：B
3、D
【解析】设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB= m，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°， ,
3．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中 ，且 三点共线，则下列结论不成立的是
A. B.
C. 与 共线D.
4．已知函数 （ ， ， ）的图象如图所示，则（）
A.
B.对于任意 ， ，且 ，都有
C. ，都有
D. ，使得
5．设集合 ， ， ，则
A. B.
C. D.
6．根据表中的数据，可以断定方程 的一个根所在的区间是（）
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知 ，若存在定义域为 的函数 满足：对任意 ， ，则 ___________.
12．已知函数 ，是定义在区间 上的奇函数，则 _________.
13．已知函数 的图上存在一点 ,函数 的图象上存在一点 ，恰好使 两点关于直线 对称，则满足上述要求的实数 的取值范围是___________
（1）求 值；
（2）若不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围.
18．一只口袋装有形状大小都相同的 只小球，其中 只白球， 只红球， 只黄球，从中随机摸出 只球，试求
（1） 只球都是红球的概率
（2） 只球同色 概率
（3）“恰有一只是白球”是“ 只球都是白球”的概率的几倍？
19．已知直线 ： 与圆 ： 交于 ， 两点.
故答案为[-1，1]
【点睛】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题
16、
【解析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得 的范围
【详解】解： 函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，且 ，
，解得 ，即 ，
故答案 ：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
，
，
即点 到平面 的距离为
代入 即可求解.
【详解】由题意可知， ， ，
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：B.
9、A
【解析】集合A三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于2的所有实数，所以两个集合的交集 {1}，故选A.
考点：集合的运算.
10、B
【解析】根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
13、
【解析】函数g(x)=lnx的反函数为 ，
若函数f(x)的图象上存在一点P，函数g(x)=lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线y=x对称，则函数g(x)=lnx的反函数图象与f(x)图象有交点，
即 在x∈R上有解， ，
∵x∈R，∴
∴ 即 .
三、
14、
【解析】根据正切函数定义计算
【详解】由题意
对于C， ， ， ，
即 ，都有 ，C正确；
对于D，由 得： ，解得： ，
令 ，解得 与 矛盾，D不正确.
故选：C
5、B
【解析】 ， ，则 = ，所以
故选B.
6、D
【解析】将 与 的值代入 ，找到使 的Fra bibliotek,即可选出答案.
【详解】 时， .
时， .
时， .
时，
时， .
因为 .
所以方程 的一个根在区间 内.