利用导数解决与函数有关的问题

二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错
的得 0 分)
5．下列命题为真命题的是( )
A．2l3n 3 ＞ln 2
B．54
ln 2＜ln
5 2
C．ln 2＜2e
D．2 5 ＞5
【解析】选 ABC.构造函数 f(x)＝lnxx
1－ln x ，导数为 f′(x)＝ x2
8．已知函数 f(x)＝x3－92 x2＋6x＋a，若∃ x0∈[－1，4]，使 f(x0)＝2a 成立，则实数 a 的取值范围是______．
【解析】因为 f(x0)＝2a，即 x30 －92 x20 ＋6x0＋a＝2a， 可化为 x30 －92 x20 ＋6x0＝a， 设 g(x)＝x3－92 x2＋6x，则 g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，解得 x＝1 或 x＝2. 所以 g(1)＝52 ，g(2)＝2，g(－1)＝－223 ，g(4)＝16. 由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，所以－223 ≤a≤16. 答案：－223，16
对称，且 f(0)＝cos 0＋ln (|0|＋1)＝1，f(π)＝cos π＋ln (|π|＋1)∈(0，1)，排除 C，D，
又由当 x∈(0，2π]时，f(x)＝cos x＋ln (x＋1)，
则 f′(x)＝－sin x＋ 1 x＋1
，则
π f′2
＝－sin
π 2
＋2π＋1 1
＜0，f′(π)＝－sin π＋ 1 π＋1
6．已知函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，则 a 的取值范围是________． 【解析】函数 f(x)＝ex－2x＋a 有零点，即方程 ex－2x＋a＝0 有实根，即函数 g(x)＝ 2x－ex，y＝a 有交点，而 g′(x)＝2－ex，易知函数 g(x)＝2x－ex 在(－∞，ln 2)上递增， 在(ln 2，＋∞)上递减，因而 g(x)＝2x－ex 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数 g(x) ＝2x－ex，y＝a 有交点，只需 a≤2ln 2－2 即可． 答案：(－∞，2ln 2－2]
＞0，
即
π f′2
·f′(π)＜0，所以函数在π2，π
之间有一个极小值点．
3．将 8 分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( ) A．2 和 6 B．4 和 4 C．3 和 5 D．以上都不对
【解析】选 B.设一个数为 x，则另一个数为 8－x，则其立方和 y＝x3＋(8－x)3＝83－ 192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令 y′＝0，即 48x－192＝0，解得 x＝4.当 0≤x<4 时，y′<0；当 4<x≤8 时，y′>0.所以当 x＝4 时，y 最小．
4．已知函数 f(x)＝(x2＋a)ex 有最小值，则函数 g(x)＝x2＋2x＋a 的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．取决于 a 的值 【解析】选 C.f′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x).因为函数 f(x)有最小值， 且由题意得最小值即其极小值，所以 f′(x)＝0 有解．当有一解 x0 时，在 x0 两侧 f′(x) ＞0 都成立，此时 f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此 f′(x)＝0 有两解，即 x2＋2x＋a＝0 有两解，故 g(x)有两个零点．
5．(教材练习改编)某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件 x 元出售， 可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大． 【解析】利润为 S(x)＝(x－30)(200－x) ＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230， 由 S′(x)＝0，得 x＝115，当 x<115 时，S′(x)>0，函数单调递增；当 x>115 时，S′(x)<0， 函数单调递减，所以当 x＝115 时，利润达到最大． 答案：115
2．函数 y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为( )
【解析】选 A.由题意，函数 f(x)＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π，2π])，满足 f(－x)＝cos
(－x)＋ln (|－x|＋1)＝cos x＋ln (|x|＋1)＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，图象关于 y 轴
【补偿训练】 设函数 f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c 在 x＝1 及 x＝2 时取得极值． (1)求 a，b 的值； (2)若对任意的 x∈[0，3]，都有 f(x)<c2 成立，求 c 的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b. 因为函数 f(x)在 x＝1 及 x＝2 时取得极值，
，当 0＜x＜e 时，f′(x)＞0，f(x)递增；当 x
＞e 时，f′(x)＜0，f(x)递减．因为 32＞23，y＝ln x 在定义域上单调递增，所以 ln 32＞ln 23，所以 2ln 3＞3ln
2，所以2l3n 3 ＞ln 2，故 A 正确；
5
因为 e＞52
＞2，所以
5 f2
＞f(2)，所以ln52
(35 分钟 70 分)
一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)
1．火车开出车站一段时间内，速度 v(单位：m/s)与行驶时间 t(单位：s)之间的关系是
v(t)＝0.4t＋0.6t2，则火车开出________s 时加速度为 2.8 m/s2( )
A．23
B．2 C．52
D．73
【解析】选 B.由题意可知，v′(t)＝0.4＋1.2t， 令 0.4＋1.2t＝2.8，可得 t＝2(s).
利用导数解决与函数有关的问题
(15 分钟 30 分) 1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞2，则 f(x)＞2x＋4 的解
集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【解析】选 B.依题意可设 g(x)＝f(x)－2x－4，所以 g′(x)＝f′(x)－2＞0.所以函数 y＝g(x)
，则
3（1－2x） g′(x)＝ x4
，所以 g(x)在区间0，12
上单调递增，在区间21，1
上单调递减，
因此 g(x)max＝g21 ＝4，从而 a≥4.
y＝－13 x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(
)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
【解析】选 C.因为 y′＝－x2＋81，所以当 x>9 时，y′<0；当 0<x<9 时，y′>0，所以函
数 y＝－13 x3＋81x－234 在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以当 x＝9
6＋6a＋3b＝0， 则有 f′(1)＝0，f′(2)＝0，即
24＋12a＋3b＝0， a＝－3， 解得 b＝4.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， 则 f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2). 当 x∈[0，1)时，f′(x)>0； 当 x∈[1，2]时，f′(x)≤0； 当 x∈(2，3]时，f′(x)>0. 所以当 x＝1 时，f(x)取得极大值 f(1)＝5＋8c，当 x＝2 时，f(x)取得极小值 f(2)＝4＋ 8c，又 f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当 x∈[0，3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的 x∈[0，3]，有 f(x)<c2 恒成立， 所以 9＋8c<c2，解得 c<－1 或 c>9. 故 c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
3x2ex－x3ex x2（3－x）
y′＝ （ex）2 ＝
ex
，
当 x＜3 时，y′＞0，当 x＞3 时，y′＜0， 所以函数在(0，＋∞)上先增后减． 方法二：由函数 y＝xex3 可知，当 x＝0 时，y＝0，排除 C；当 x＜0 时，y＜0，排除 A； 当 x→＋∞时，y→0.
3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为
＞ln22
，ln
5 2
＞54
ln 2，故 B 正确；因为 f(2)＜f(n 2 2
＜1e
，即 ln 2＜2e
，故 C 正确；因为 e＞
5 ＞2，所以 f(
5
)＞f(2)，所以ln
5 5
＞ln22
，所以 2ln
5
＞ 5 ln 2，
所以 ln ( 5 )2＞ln (2) 5 ，所以 5＞2 5 ，故 D 错误．
7．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)≥2 021 对于∀ x∈[－2，2]恒成立，求 a 的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由 f′(x)<0，得 x<－1 或 x>3，所以函数 f(x)的单调递 减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞). (2)由 f′(x)＝0，－2≤x≤2，得 x＝－1. 因为 f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a， 故当－2≤x≤2 时，f(x)min＝－5＋a. 要使 f(x)≥2 021 对于∀ x∈[－2，2]恒成立，只需 f(x)min＝－5＋a≥2 021，解得 a≥2 026.
时函数取最大值．
4．若方程 x3－3x＋m＝0 在[0，2]上有解，则实数 m 的取值范围是( ) A．[－2，2] B．[0，2] C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】选 A.方程 x3－3x＋m＝0 在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求 实数 m 的取值范围可转化为求函数的值域问题． 令 y＝x3－3x，x∈[0，2]，则 y′＝3x2－3， 令 y′＞0，解得 x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 又 x＝1 时 y＝－2；x＝2 时，y＝2；x＝0 时，y＝0，所以函数 y＝x3－3x，x∈[0， 2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，所以 m∈[－2，2].
三、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 7．若直线 y＝a 与函数 f(x)＝x3－3x 的图象有相异的三个公共点，则 a 的取值范围是 ________． 【解析】令 f′(x)＝3x2－3＝0，得 x＝±1， 则极大值为 f(－1)＝2，极小值为 f(1)＝－2.如图，观察得－2＜a＜2 时恰有三个不同 的公共点． 答案：(－2，2)
9．已知函数 f(x)＝x4＋9x＋5，则 f(x)的图象在(－1，3)内与 x 轴的交点的个数为 ________．
【解析】f′(x)＝4x3＋9，当 x∈(－1，3)时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(－1，3)上单调递增， 因为 f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以 f(x)的图象在(－1，3)内与 x 轴只有一个交点． 答案：1
在 R 上单调递增，又因为 g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0.所以要使 g(x)＝f(x)－2x－4＞0，
即 g(x)＞g(－1)，只需要 x＞－1.
2．函数 y＝xex3 (其中 e 为自然对数的底数)的大致图象是(
)
【解析】选 B.方法一：由函数 y＝xex3 可知，当 x＝0 时，y＝0，排除 C；当 x＜0 时， y＜0，排除 A；
10．若函数 f(x)＝ax3－3x＋1 对于 x∈[－1，1]恒有 f(x)≥0 成立，则 a 的值为________．
【解析】若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立；
当
x>0
即
x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0
可化为
3 a≥x2
－x13
.设 g(x)＝x32
－x13
6．已知函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是( ) A．－1 是函数 f(x)的极小值点 B．－3 是函数 f(x)的极小值点 C．函数 f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．函数 f(x)在 x＝0 处切线的斜率小于零
【解析】选 BC.由题干图得 x<－3 时，f′(x)<0，x>－3 时，f′(x)>0，故 f(x)在(－∞， －3)单调递减，在(－3，＋∞)单调递增，故 x＝－3 是函数 f(x)的极小值点．