上海工程技术大学 线性代数B(A卷)标准答案

（勤奋、求是、创新、奉献）
2008～ 2009 学年第 二 学期考查试卷
主考教师： 李 娜
学院 _________________ 班级 __________ 姓名 __________ 学号 ___________
《线性代数B 》课程试卷(A 卷) 标准答案
（本卷考试时间90分钟）
一、填空(本题共6小题，每小题3分，共18分) 1．设A 为3阶方阵,且,2
1
||=A 则=--|2)2(|*1A A 4
1-
．
2．已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 31,321,111321ααα 线性相关，则=a 5 ．
3．已知：矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100004与矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=10000004y B 相似，
则=x 0 ，=y 1 .
4．若n 阶矩阵A 满足,0422=--E A A 则=+-1
)(E A E
A 3-.
5．设⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ=-1001,3211,1P AP P ，则=9
A ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--51225.
二、单项选择(本题共5小题，每小题3分，共15分)
1. 设A ,B 为n 阶矩阵，A 与B 等价，则下列命题中错误的是( A ). (A) 若0||>A ，则0||>B ； (B) 若,0||≠A 则B 也可逆； (C) 若A 与E 等价，则B 与E 等价； (D) 存在可逆矩阵P 、Q ,使得B PAQ =.
2.如果0=Ax 仅有零解，则b Ax = ( D )．
(A) 必有无穷多解； (B) 必有唯一解； (C) 必定无解； (D) A,B,C 均不对. 3. 已知21,,ααβ线性相关，32,,ααβ线性无关，则 ( D )． (A) 向量组321,,ααα线性相关； (B) 向量组321,,ααα线性无关；
(C)β可由21,αα线性表示； (D)
1α可由32,,ααβ线性表示.
4. 设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( D )．
()();)B (;)A (n A R m A R ==
()().)D (;
)C (m A R n A R m ≤≤≤
5. 设4阶矩阵A 按列分块为),,,(321γγγα=A ，),,,(321γγγβ=B 且2||=A ，3||=B ，则
=+||B A ( A ) ．
(A) 40； (B) 10； (C) 5； (D) 80.
三、计算 )0(2
1
2121≠---=
b b
a a a a
b a a a a b
a D n n n n 其中
.（10分）
b
a a a
b a a a b a D n n n n
i i ---=∑=
2
2211
11
)
（解分4
b
b
a a
b a n
n
i i ---=∑= 0
0001)
2
1
（ 分8
.))(11
-=--=∑n n
i i b b a （分10
四、解矩阵方程B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=350211B ，求矩阵X .（10分）
解 B A E X 1
)(--=分3
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-3520
10
21011
1011)( B A E 分5 21
31
11011
011012r r r r ----⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ １１
４－２
分7 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--−→−1
1100020101
3001 分9 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∴110
21
3X 分10 (分或83/13/103/13/213/13/20
)(1 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--A E ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=∴1
10
21
3X 分10 )
五、t 为何值时,线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=----=+-+=+-+.
6,17823,0324321
43214321t x x x x x x x x x x x x 有解，并在有解时求通解.(14分)
解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=t A 16111782303211分2 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--------→t 44201221003211 11230122100002t -⎡⎤
⎢⎥→----⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
０分4
当,42)()(2<==-=A R A R t 时，所以有依赖于2个独立参数的无穷多解．分5
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--→000001221011401 A 分7
,122144433432431⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=
=+--=--=
x x x x x x x x x x 分11
).,(0011102101242121R k k k k x ∈⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴分14
六、已知矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=34032000
1A ， (1) 求出A 的特征值和特征向量，并判断能否对角化？ （2）若A 能对角化,求出可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P
1
. (16分)
解
3
4
32
00
01
---=
-λλλλA E )6)(1)(1(--+=λλλ 所以特征值为为6,1,1321==-=λλλ 分5
当11-=λ时，,0001-10001440330002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=--A E ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=∴1101p 分7
当12=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001,0001000102-4031-00002p A E 分9 当63=λ时，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-14/30,0003/41000134034000562p A E 分11 因为A 有三个互不相同的特征值，所以可以对角化。

分12
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1014/30101
0),,(321p p p P 令分14
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=Λ=-6111AP P P 可逆，且分16
七、求向量组⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02211α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13102α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11113α，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=52114α的秩，判断其线性相关性并求出它的一个最大无关组. (10分)
解：1234101121
11(,,,)231201
15A αααα⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥==⎢⎥
--⎢
⎥
⎣⎦分2 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---−−−→−⨯+-⨯+511003*********
12)
2(1312r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----−−−→−+⨯+400030001110110124233
r r r r 分6 ⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----−→−000
030001110110
1分7 43)(),,,(4321<==A R R αααα, 线性相关4321,,,αααα∴ 分9
其一个最大无关组为421,,ααα 分10
八、证明题：
设T E A ξξ-=,其中E 是n 阶单位矩阵，ξ是n 维非零列向量，T
ξ是ξ的转置.
证明：(1)A A =2
的充要条件是1=ξξT ; (2) 当1=ξξT
时，A 是不可逆矩阵.(7分)
证明：(1) T T
T T T T E E E A ξξξξξξξξξξξξ)2())((2)(22--=+-=-=
)1()2(2=-⇔-=--⇔=T
T
T
T T E E A A ξξξξξξξξξξ
0ξ≠ , 0T
ξξ∴≠
1012=⇔=-⇔=ξξξξT T
A A …………..3分
(2) 若1=ξξ
T
，由（1）知，A A =2. 若A 可逆，则
A A A A 121--=,即E A =,这与T E A ξξ-=矛盾，
故A 不可逆. ……………………….7分。