§6.Frenkel 激子

§6.Frenkel 激子
一些离子晶体的价电子的波函数适用紧束缚近似的方法。

电子的有效质量大、带窄。

因而电子和空穴的引力强，距离大小。

极限情况下，电子和空穴处于同一格点，即Frenkel 激子。

与Wannier 激子相反。

Frenkel 激子的空间分布小，动量空间上分布宽，因此不用布洛赫函数而用Wannier 函数来描述。

Wannier 函数定义为：
()
()∑⋅-=
-k
k l
k i x e
N
l x W
μμϕ1
其中l
是格矢。

逆变换为
()()
∑-=⋅l
l k i k l x W e x
μμϕ 实际上，()
l x W -是布洛赫函数()x k
μϕ在k 空间展开成Fourier 级数时的Fourier
系数。

Wannier 函数有以下特点：
i) 是宗量l x
-的函数。

ii) 具有明显的局域性。

其值主要集中在l x
=附近。

iii)
不同能带与不同格点的Wannier 函数是正交的。

()()l l x d l x W l x W '=-'-⎰
δδμννμ*
本节取Wannier 表象，以()
l x W W x l
-=μμ为基矢。

将场算符展开为：
()()
∑-=ψl
l l x W a x μμ
μ （注意在布洛赫表象中 ()()∑=ψμ
μμϕk k k x a x
） 仍然只考虑价带与导价
l c l a a = +=1l v l d a
只考虑一个电子——空穴对的态，Hamilton 量
h el h el v H H H E H -+++=
将各项表示为Wannier 表象，（类似与§4）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=∑∑∑'''''+l c l c m c l l c m l c k l c m c l m l m
l
el W W W W W W W W W W a a H
ννμννν 注意，Wannier 函数与k 不同。

它不满足H-F 方程。

为简单起见，以下我们将c l W 等简记为lc 等。

由Wannier 函数的局域化特性。

可以忽略不同格点的
函数交迭，即在矩阵元
νμννμm l m l ,,'''' 中取m m l l ='=',的项。

因而
[]lv lc v lc lv lc l lc l a a mc lc a a H l
l l lm
m l el ,,,,-''+=∑∑+
+νννμ
由于Wannier 函数以l x
-为宗量，所以括号中的两个矩阵元都与l 无关，为常量。

如果进一步略去单体项中的非对角矩阵元。

则el H 可表为
∑+=l
l l oc el a a E H
类似地
∑+=l
l l o h d d E H ν
以及
[]v m c l v lc mv c l v m v lc mv
d d a a H m m m m l l l l h el ''-''-=+''
''+-∑,,,, ∑∑+
++++-=lm
m l m l lm
m m l l lv mc v lc mv
d d a a lc mv v lc mv d d a a ,,,,. 于是Hamilton 量表示为
∑∑∑+
+++-++=l
l
lm
m m l l l l ov l l oc v mvlc v mvlc d d a a d d E a a E E H
lv mc v lc mv d d a a lm
m l m l ,,∑+++
在电子与空穴束缚在同一格点的近似下，波函数应是i l l d a φ++的线性组合。

由平移对称性，取
v l
l l l
k i k d a e N
φφ∑++⋅=
1
定义激子产生算符及湮灭算符为
+++=l l l d a B
l l l a d B = 则
∑+⋅
=
l
v l l
k i k B e
N
φφ
1
下面考察
H 中各项对k φ的作用。

由于
v l l l v l l l v l l l v l l l B B B B B d d B a a φδφφφ''+
'++'++'+===
所以可以用l l B B +来代替l l a a +及l l d d +。

又
v l l m m l l v l m m l l d a d d a a B d d a a φφ+'+'+++'++=
v l l l l l B B B φδ+'+'=
m l m l m l B B d d a a +++= 所以，忽略常数项v E 以后
()∑∑+⋅++
++=l
i l l
k i l l
l
l l
ov oc k B e
N
B B lc lv v lc lv B B E E H φφ 1]
,,[
v l l k i lm
m l B e
N
lv
mc v lc mv B B φ+''
⋅+∑∑+ 1,,
记lc lv v lc E E E ov oc fot ,,++=
()
lv mc v lc mv m l W ,,=-
则
()
∑+⋅-+
=
lm
v l m k i k fot k B e m l W N E H φφφ
1
()
()∑∑-⋅+⋅
-+
=l
m
v l m k i l
l
k i k fot e m l W B e N
E φφ
1
()
()
k
m m l k i fot e m l W E φ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=∑-⋅- ()
k k E φ=
由此得能谱
()()
()m l k i m
fot e
m l W E k E
-⋅-∑-+= 可见，Frenkel 激子的运动完全由交换积分引起。

相邻晶胞间的相互作用使晶胞
的激发沿某一方向在空间传播。

在处理的过程中舍去了哈密顿量的其它一些项。

这些项单粒子激发态与集体激发态以及集体激发态之间的相互作用。

而集体激发态通过这些散射机制不断地跃迁到其它态。

因而这些项与集体激发态的寿命有关。

尚需指出。

l B 并非真正的玻色算符，因而激子也并非真正的玻色子。

其对易关系为：
[][]0,,==+'+'l l l l B B B B
[]()
l l l l l l l l
a a d d
B B '+++'
--=δ1,
然而对于基态及激子态，其电子数空穴数相等。

因而
[]
k l l k
l l
B B φδφ
'+'
=,
在平均意义下，对于低激发态可以把l B 近似看作玻色算符。

以上讨论的是能带非简并的情况。

实际上往往各能带有不同的对称性。

价带具有中心对称性，是非简并的。

导带具有z y x ,,轴对称性。

是三重简并的。

实际上，在窄带紧束缚近似下Wannier 函数就是原子的波函数。

这两种对称性可看作自由原子的s 电子与p 电子的对称性在晶体势作用下的遗迹。

在简并情况下，Wannier 函数还应带有一个指标α，对于导带，.,,z y x =α激子算符成为
+
++=l l l d a B αα
ααl l l a d B = 态6.16的α分量
()
∑+⋅=
l
v l l
k i B e
N
k φφαα 1
考虑Hamilton 量6.13对以上态的作用。

前几项仍可写成
∑+ααl l fot B B E 最后一项为
(
)
∑∑-=+++
αβ
βα
βα
αβ
βαβαlm
m l lm
m l
m l m l W B B lv mc v lc mv d d a a ,,
它作用在()
k
δφ上
()
v l lm
l l k i m l B e
N
B B m l W φδαβ
β
αβα+''
'
⋅+∑∑- 1
(
)
v l m k i lm B e N
m l W φαα
βα
+⋅∑-=
1
(
)
(
)∑
∑-⋅+⋅-=α
βαα
φl m
v l m k i l l
k i e m l W B
e
N
1
记
()
()l m k i m
e m l W W
-⋅-=∑βαβαˆ
它对m 求和以后与l 无关。

于是上式成为
()()()
∑∑∑=+
⋅α
αβααα
βαφφk k W B e N k W v l l k i l ˆ1
所以
()()()()
∑+=β
βαβαβαφδφk k W E k H fot
()
∑=β
βαβ
φk E
其中33⨯矩阵
()
k W E E fot αβαβ
αβδ+=
()l
m k i m
fot e lv mc v lc mv E -⋅∑+=,,αβδαβ。