频率响应分析法

频率响应分析法
5.1 频率特性的基本概念 5.1.1频率特性的定义
5.1.2频率特性和传递函数的关系 5.1.3频率特性的图形表示方法 5.2 幅相频率特性（Nyquist 图） 5.2.1典型环节的幅相特性曲线 5.2.2开环系统的幅相特性曲线 5.3 对数频率特性（Bode 图） 5.3.1典型环节的Bode 图 5.3.2开环系统的Bode 图
5.3.3最小相角系统和非最小相角系统 5.4 频域稳定判据 5.4.1奈奎斯特稳定判据
5.4.2奈奎斯特稳定判据的应用 5.4.3对数稳定判据 5.5 稳定裕度
5.5.1稳定裕度的定义 5.5.2稳定裕度的计算
5.6 利用开环频率特性分析系统的性能
5.6.1)(ωL 低频渐近线与系统稳态误差的关系 5.6.2)(ωL 中频段特性与系统动态性能的关系
5.6.3)(ωL 高频段对系统性能的影响 5.7 闭环频率特性曲线的绘制 5.7.1用向量法求闭环频率特性 5.7.2尼柯尔斯图线
5.8 利用闭环频率特性分析系统的性能 5.8.1闭环频率特性的几个特征量 5.8.2闭环频域指标与时域指标的关系 引言
频率响应法的特点
1）由开环频率特性→闭环系统稳定性及性能 2）二阶系统频率特性↔时域性能指标 高阶系统频率特性↔时域性能指标
3）物理意义明确许多元部件此特性都可用实验法确定工程上广泛应用 4）在校正方法中，频率法校正最为方便 5.1频率特性的基本概念
1.定义1: ()sin ()()
2. ()()
3. ()()ss r t A t c t r t G s s j G j c t r t ωωω=⎧⎪=⎨
⎪⎩
时，与的幅值比，相角差构成的复数中，令得出为频率特性的富氏变换与的富氏变换之比
一、 地位：三大分析方法之一
二、 特点：1)2)()3)⎧⎪→⎨⎪⎩
图解法，简单
不直接解闭环根，从开环闭环特征特别适用于校正，设计近似法，不完全精确
以右图R －C 网络为例：
r c
c r c c u iR u i Cu q u Cu
R u =+↓===+ ()(1)r c U s CRs U =+⋅ ()1
()()1T CR c r U s G s U s Ts ===
+ 设()sin r u t A t ω=求()c u t
22()1t
T c A T u t e t t T ωωωω-⎡⎤∴=-⎥+⎦
22)1t
T A T e t arctg t T ωωωω-=+-+ 瞬态响应
稳态响应
网络频率特性
()()()()()ss ss c r c t G j G j r t G j arctgT ωωωϕϕω
⎧
⎪⎪===⎨⎪
⎪∠=-=-⎩幅频特性：相频特性频率特性定义一：——频率特性物理意义：
频率特性()G j ω是当输入为正弦信号时，系统稳态输出（也是一个与输入同频率的正弦信号）与输入信号的幅值比，相角差。

又可看出：
1111
1111s j arctgT j T j T j T sT
ω
ωωωω==∠-=
∠==
++++
一般地：对线性定常系统而言：频率特性ωωj s s G j G ==)()(
频率特性定义二：系统传递函数()G s 中令s j ω=，即得系统频率()G j ω ()G s 与()G j ω有密切联系 ()()()C s G s R s =
()().()C j G j R j ωωω∴=
()
()()
C j G j R j ωωω=
频率特性定义三：系统频率特性＝输出的富氏变换输入的富氏变换
例1：已知系统传递函数1
()1
G s s =+，()3sin(230)r t t =+︒，求()ss c t ＝？ 解：1
()1G j j T
ωω=
+
1
()()()()T ss ss c t G j c t r t ω===
=
=→=
1
1
2
()263.4T G j arctg T arctg ωωω=-=∠=-=-=-︒
()().sin(30())33.4)ss ss c t c t t G j t ωωω∴=++∠=-
︒()()()3sin(230)33.4)ss ss e t r t c t t t =-=+︒-︒ 频率响应法与时域法的不同点： 1）输入是正弦函数
2）只研究系统稳态分量(而非过渡过程)中，幅值，相角随ω的变化规律
系统不同形式的数学描述间的关系： 2.频率特性的表示方法 以
1
1j T
ω+为例：
依频率特性定义二：在s 平面上，自变量s 沿虚轴取值：0s j j =→∞时，复函数()G s 在[]G 平面上用复矢量描述，其模和相角的变化规律，即频率特性。

例
11
(
)11()
G s Ts T s T
=
=
++
表示频率特性的四种方法：
I. 频率特性⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩幅相特性相频特性
Ⅱ.幅相特性 （奈奎斯特）
Ⅲ.对数频率特性⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩对数幅频对数相频
（波特图）
Ⅳ对数幅相特性 （尼克尔斯图）
5.2 典型环节的频率特性 1. 典型环节的幅相特性曲线
1）比例环节
比例环节的传递函数为 K s G =)(
()()()0G j K
G j K G j ωωω⎧==⎨
∠=︒
⎩ 2） 积分环节
1()G s s
=
190()1() 090()90G j G j j G j ωωωωω⎧
∞∠-︒⎧=
⎪=⎨
⎨∠-︒⎩⎪∠=︒
⎩起点：终点：－微分环节s s G =)(
090()()()90 90G j G j j G j ωωωωω∠︒⎧⎧==⎨⎨
∠=︒∞∠︒⎩⎩起点：
终点：
3） 惯性环节11
()1G s Ts =+
不稳定环节21
()1
G s Ts =-
11
()0()1 090()G j K K G j j T G j tg T ωωωωω-⎧
=∠︒⎪=⎨
+∠-︒⎪∠=-⎩
起点：
终点：
✧ 关于()1K
G j j T ωω=
+的幅相特性是半圆的证明
证：设22(1)
()11K K j T G j X jY j T T ωωωω-=
==+++ 实部：222
2
11K K
X T Y
X
ω==++ 虚部：222
22
21TK Y Y TX T T X T X
ωωωωω-=-⇒-=⇒=+Y= 由222
2
222
(1)(1)1K Y Y X X K X KX Y X X X
=→+=→+=+ 得：2222
2 ()()22
K K X Y KX X Y +=-+=
这是圆心在2K (,0)，半径为2K 的圆方程，Y
T X
ω-= ,∴只有下半圆。

✧ ()G j ω⇔幅相特性的互相确定
由幅相特性曲线形状()1
K
G s Ts →=+
由初始点频率特性K K →=
1
1
00012
22112
1145451,,tg T T tg T tg tg T T tg T ϕωωωϕϕϕωωϕω--⎧=-︒=-→=︒==⎪⎪
⎨
⎪=-=-→==⎪⎩
由由-可以写出()1
K
G s Ts =+
✧ 惯性环节是一个低通滤波器
2211
2()()1()1801
G j K G j j T T G j tg tg T ωωωωωω--⎧
=⎪⎪=⎨
-⎪⎡⎤∠=-=-︒-⎣⎦⎪⎩－ 180090K ∠-︒⎧⎫⎨⎬∠-︒⎩⎭起点：终点：
非最小相角系统(其相角变化量比最小相角系统大
)
4） 二阶振荡环节 12()(
)21
n
n
K G s s
s
ξωω=
++
不稳定二阶振荡环节 22()()21
n
n
K
G s s
s
ξ
ωω=
-+
1)122()12n n K
G j j ωωωξωω=
⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦
1122
()02()10180n
n G j K G j arctg ωω
ξωωωω⎧
=∠︒
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪∠=-=
⎪
⎪
-∠-︒⎪⎪⎩⎩
起点：终点：
谐振频率、谐振峰值
谐振峰值max ()r M G ω=—振荡环节稳态输出能达到的最大幅值比 谐振频率{}
max :()r G ωωω=—使输出达到幅值时的频率值 推导：2
()()21
n
n
K
G s s
s
ξ
ωω=
++
()G j ω=
（1）
令2
222220140n n d G
d d d ωωξωωωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⇔-+=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪
⎩⎭
得：
222322
2242221
21(2)4(2)
484120
n n n n n n n n n ωωωξξωωωωωωξωωω
ξωωωωω⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤=-++=-++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
即：22212r n
ωξωωω=-→=（2）
(2)(1)→
()r r M G ω==
=
（3）
r
r n
M ωω⎧
=⎪∴⎨⎪=⎩ ✧ 振荡环节特点：ξ不同，特性不同
222
2
0.707 120 , 00.707 120 1
0.707 120 10 12 1 r r r r r n
r r n r M M M M ξξωωξξωωωξξωωξξ⎧>-<⎪=⎧⎪=-=⎨
⎪=⎩⎪⎪⎧=⎪⎪⎨<->⎨⎪=>⎪⎪⎩
⎪⎪=⎧⎪=-=⎨
=∞
⎪⎩⎩
不存在
0,n ξωω==时，对应共振现象⎧⎨
⎩破坏：桥梁坍塌利用：收音机调台，信号发生器
问题：0ξ=时，()1cos h t t ω=-→∞，这里为何幅值→∞？
振荡环节()G s ←−−−→相互确定
幅相曲线
由曲线形状2()()21
n
n
K
G s s
s
ξ
ωω→=
++
由起点：(0)0G j K K =∠→ 由0ω处的相角：
00
120022
0022()90()11()1()n n n n n n
G j tg ωω
ξ
ξωωω
ωωωωωωωω-∠=-=-︒→=∞→=→=--
由0ω处的模值：
000() ()22()n
K K
G j G j G j ωω
ωξωξξω===→→=↑→↓
由确定出的,,n K ωξ，可写出：2
2()()21n n n
K G s s s ωξωω=++
II
．222
2222
()()212()1n n n n G j K G j j G j arctg ωωωξωωξωωωωωω⎧=⎪⎪⎪⎪
=⎨⎡⎤-⎪--⎢⎥⎪∠=-⎣⎦⎪
-⎪⎩
360 0180K ∠-︒
⎧⎨
∠-︒⎩起点：终点：
6) 一阶复合微分环节1()1G s Ts =+ 不稳定的一阶复合微分环节2()1G s Ts =-
I
．111 10()()1 90()G j G j j T G j arctg T ωωωωω⎧∠︒=⎪=+⎨∞∠︒∠=⎩⎪⎩起点：终点：
II
．2
212() 1180()1 90()1801
G j G j j T T G j arctg
tg T ωωωωωω-⎧=∠︒⎧⎪=-⎨⎨∞∠︒∠==︒-⎩⎪⎩-起点：终点：
7) 二阶复合微分环节2221()21(
)21n
n
s
s
G s s s τξτξ
ωω=++=++
不稳定二阶复合微分环节2222()21(
)21n
n
s
s
G s s s τξτξ
ωω=-+=-+
I
．12121
22()()122()1n n n n G j G j j G j arctg ωωωωωξξ
ωωωωωω⎧=⎪⎪
⎪⎡⎤⎪=-+⎨⎢⎥⎣⎦
⎪∠=⎪-⎪
⎪⎩
0180∠︒
⎧⎨
∞∠︒
⎩起点：1终点：
II
．22221
2
2222()()1222()36011n n n n n n G j G j j G j arctg tg ωωωωωωξξξ
ωωωωωωωωω-⎧=⎪⎪
⎪⎡⎤⎪=--⎨-⎢⎥⎣⎦⎪∠==︒-⎪--⎪
⎪⎩
360 0180∠︒
⎧⎨
∠︒⎩起点：1终点：
8) 延迟环节
()().()
()()1()()()
s s r t C s e R s e c t r t t R s R s ττττ--⎫==⎬
=-⋅-⎭ ()1
()()()
j G j G j e
G j τω
ωωωτω-⎧=⎪=⎨
∠=-⎪⎩弧度
2．对数频率特性(Bode 图)
1.典型环节的对数频率特性(波德图) 波德图坐标的特点：
横轴(ω):按lg ω刻度以ω标定⎧⎨
⎩旬距
倍频程 纵轴(()L ω):()20lg ()L G dB ωω=
lg ()10lg ()20lg ()101c c r r c r p p p p u u ⎧
=⎪⎪
⎪=⎨
⎪
⎪⎪⎩
单位：贝尔，分贝：贝尔分贝分贝声源功率倍，人耳听起来倍 波德图坐标与幅相图坐标的关系： 波德图的优点：
① 可将幅值相乘化为对数相加运算
② 可以在较大的频段范围内表示系统频率特性
③ 可以绘制渐近的对数幅频特性；可以制作标准样板，画出精确的对数频率特性 ④ 利用实验得出的频率特性数据，很容易定出()G s
⑤ 频率轴等距对应频率值等比。

纵轴是相对的(0ω=的点在-∞远处) II ．典型环节的对数频率特性
1. 比例环节：()G j K ω=
2. 1()()G j j G j j ωωωω⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
积分环节微分环节 12
1()20lg 20lg 1()()90()20lg 20lg ()()90L G j j j L j G j j ωωωω
ωϕωωωωωωϕω⎧==-⎪
=⇒⎨⎪=-︒
⎩⎧==⎪
=⇒⎨=+︒
⎪⎩ 3.
1()11()1G j jT G j jT ωωωω⎧
=⎪+⎪⎨
⎪=
⎪-⎩
惯性环节不稳定的惯性环节
111122221()101
()()11()1()1()1180()1
()11()1()1
T G j L G j T G j jT arctgT jT T G j L G j T T G j jT arctg jT ωωωωωωωϕωωωωωωωωωωωϕωω∠⎧⎪=-=⎨+=-⎪⎪⎩⎩
⎧+∠-︒
=-⎪=⎨⎨
-=-⎪⎪⎩⎩- 时，时，时，时，
惯性环节对数相频特性对称性的证明：(见右图
)
只需证明()()90T Ta
G G aT T ∠+∠=-︒即可： 设1()T T G arctg aT aT a α=∠=-=- ()a Ta
G arctg a T T
β=∠=-=-
1()
()90111.a tg tg a tg tg tg a a
αβ
αβαβαβ-+++===∞⇒+=-︒--
4. ()1()1
G j s G j s ωτωτ=+⎧⎨=-⎩一阶复合微分不稳定的一阶复合微分
111122221()10()()11()90()()20lg 1()1180()11()90()1
G j L G j j G j arctg L G j G j j G j arctg
τωωωωτωτωωτωϕωτωωτωωωτωτω
τωωτωϕω⎧∠︒
⎪=+=+⎨∠+︒=⎪⎩⎩
⎧=∠+︒⎪
=-⎨⎨∠+︒=⎩⎪⎩- 时，时，时，时，
（与惯性环节的特性对称与ω轴）
5. 122
21()()2()11()()2()1n n n n G s s s G s s s ωξωωξω⎧
=⎪++⎪⎨
⎪=
⎪-+⎩二阶振荡环节不稳定的二阶振荡环节
1112221221()20lg10,()0()1()1()21()20lg(),()180()21()1()1()2n n n n
n n n n L L G j j L arctg G j j ω
ωϕωωωωωωωωξωωωϕωϕωξωωωωωωωωωξωω⎧⎪<<====-⎪⎪⎪=⎨⎧⎫⎪⎪⎡⎤-+⎪⎪
>>=-=-︒=--⎨⎬⎪⎪⎢⎥⎩⎪⎪⎣⎦⎪⎩⎭⎩=--时，
时，222
22
1()0()1()20lg()()21()n n n
n n n L L L arctg ω
ωωωωωωωωϕωξωωωω⎧
⎪<<==-⎪⎪⎪⎨⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎪
⎪>>==-⎨⎬⎪⎪⎢⎥⎩⎪⎪⎣⎦⎪⎩⎭⎩
时，时，
振荡环节对数频率特性曲线,修正。

6.
2122
()()2()1()()2()1
n n
n n s s G s s s G s ξωωξωω⎧
=++⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
二阶复合微分环节不稳定的二阶复合微分环节
1
222212112
1221
22()20lg 1()(2)
()1()22()1()1020lg1
()() ()1()2n n n n n n n n n n L G j j arctg
L L L L G j j ωωωξωωωωωξωξωωωϕωωωωωωωωωωωωξωω⎧⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎪⎡⎤⎪
=-+⎨⎢⎥⎣⎦⎪=⎪⎪-⎪⎩<<====⎡⎤=--⎢⎥⎣
⎦：2
1222
1:20lg()2()1()n n
n L L arctg
ωωωξωϕωωω⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪>>==⎪⎪⎪⎩⎨
⎪-⎪=⎪⎪-⎪⎩
与振荡环节特性
对称
7. 延迟环节：()s G s e τ-=
()20lg10()1() 5.73j L G j e τωωωτωϕωτω-==⎧==∠-⎨
=-⨯⎩弧度度
注意：
① 对数频率的特点：
② 互为倒数的环节之间的对数曲线间的对称关系
③ 半对数坐标低，惯性，0.5ξ=振荡环节相频曲线样板 由系统的对数幅频曲线确定系统传递函数(最小相角系统)
5．3系统开环频率特性的绘制 5．3．1开环幅相曲线的绘制
例：单位反馈开环传递函数：
12
1212
()11(1)(1)()()
v
v K TT K G s s T s T s s s s T T =
=++++
一般地：
1212(1)(1)(1)()(1)(1)(1)
m v n K s s s G s s T s T s T s τττ+++=
+++
起点：(0ω=时)完全由()G s 中
v K
s 来确定：0(0)(90) 0K v G j v v =⎧=∠-︒⎨∞
≠⎩ 终点：(ω→∞时)当n m >时：()090()G j n m ∞=∠-︒-
中间部分由零极点矢量随ω 的变化趋势来大致确定。

注意问题：
1) I 型系统：(0)G j +
一般不落在虚轴上，0ω→时的实部渐近坐标为：e 0
lim R ()x V G j ωω→=
2) 当()G j ω中不含有零点时，G 及G ∠一般会连续减小，曲线是连续收缩的。

当有零点时，曲线则()G j ω则可能会扭曲。

3) 特殊点的确定：
i ）
()G j ω与负实轴的交点处的频率及幅值
试探s j ω=，当()180g i j G j ωϕθ∠=∑-∑=-︒时
11*()g g m
g g g n
K j z j z G j j p j p ωωωωω--=
--
ii ）
()1G j ω=时的频率和相角
试探s j ω=，当()1c G j ω=时
()c i j G j ωϕθ∠=∑-∑
例1 1234(1)
()(1)(1)(1)
K T s G s T s T s T s +=+++画幅相曲线
解：
(0)0()90(31)0360G j K G j K =∠︒
∞=∠-︒-=∠︒
例2
123()(1)(1)(1)
K
G s s T s T s T s =
+++画幅相曲线
(0)90()090(40)0360G j G j =∞∠-︒
∞=∠-︒-=∠-︒
例4 2
12()(1)(1)
K
G s s T s T s =
++
分析：曲线从负实轴上（下）过？为什么 例5 12234(1)
()(1)(1)(1)
K T s G s s T s T s T s +=
+++
分析：曲线从负实轴上（下）过？为什么 ()G j ω与负实轴交点的确定：与例3一样： 试探x ωω=使：
12345()180ϕθθθθθ-++++=-︒ 即使345()()()()0x x x x ϕωθωθωθω--=
故有制作奈奎斯特曲线的一般规律，见95P 当n m =时，情况可能有不同，要具体分析：
例6：3()(0.31)( 5.06)(0.64)
s G s s s s =+++求()G j ω奈奎斯特图
解：
(0)0270()010G j G j K =∠︒
∞=∠︒=∠︒
分析：
① 角度，为何从2700+︒→
123270G θθθ∠=︒---
② G 为何不会出单位圆之外，且
ω→∞时，
以90-︒进入1K =点? 3
123
1
j G j p j p j p ωωωω-=<---；当
ω→∞时，1G →
例：已知开环传递函数如下，作幅相特性曲线
5
()(1)(21)
G s s s s =
++
解：
22
22222242424
5
()(1)(21)
5
(123)5123 (12)(3)155(12)155(12)
154154154G j j j j j j j j j j ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω=
++=
-+⎡⎤--⎣⎦=
⎡⎤--+⎣⎦
+---==-++⎡⎤⎡⎤-++++⎣⎦⎣⎦
起点，0ω=时，(0)15G j =--∞
与实轴交点（虚部为0的点），令虚部为0
：2
120,ωω-==
代入实部：实部＝
15152 3.3311915424
--⨯==-+⨯+⨯ 终点ω=∞时，()00G j ∞=+
例：已知系统开环传递函数，画出其幅相曲线，定出与坐标交点处的参数。

3
()(0.2)(1)(5)
s G s s s s =
+++ 解：3
()(51)(1)(0.21)
s G s s s s =+++
33
224232
222
()(51)(1)(0.21)(1 6.2)(6.2)
(6.2)(1 6.2)
(1 6.2)(6.2)j j G j j j j j j X jY ωωωωωωωωωωωωωωωω--==
+++-+----=
=+-+-
00000: (0)02700X G Y ω=⎧⎫
==∠︒⎨⎬=⎩⎭
令21122
1122
101 6.20,0.4016(0.4016)0.02671800.40160.02676.2 6.20.4016Y G X ωωωω⎫
=⇒-==
=⎪⎪
=∠︒⎬--⎪===-⎪--⎭
令222232
2220 6.20, 2.49(2.49)0.41234900.412341 6.2X G Y ωωωω⎫
=⇒-==⎪=∠︒⎬-==⎪
-⎭ 3330()000X G Y ω=∞
=⎧⎫
∞=∠︒⎨⎬=⎩⎭
例：已知单位反馈系统，开环传递函数为：
()(1)(21)
K
G s s s s =
++
求 1）当1K =时：
()11,()?()180?,()?
c c c g g g G j G j G j G j ωωωωωω==∠=∠=-︒==；求；求
2）画出1,2K =时的幅相曲线 解：1）1K =时：
11
()1()(1)(21)()902 (2)
G j G s s s s G j tg tg ωωωω--⎧
=⎪=⎨
++⎪∠=-︒--⎩
令()11G j ωω=→
即：242
45110.573(/) (3)c ωωωω⎡⎤++=−−−→⎣⎦
试根＝弧度秒 11(3)(2):()900.57320.5739029.848.9168.7c G j tg tg ω--→∠=-︒--=-︒-︒-︒=︒
令
11()180902G j tg tg ωωω--=-︒=-︒--
即：
11290tg tg ωω--+=︒
11290tg tg ωω--=︒- 11
2()ctg tg ωωω
-==
210.707
(4)2
g ωω=∴=
11
(4)
(1)
:()0.5165
0.707 1.225 1.732 1.936
g G j ω→=
=
==⨯⨯
注：此题可用试探法在s 平面确定：
[]123232312311211()902()1(1)(21)(1)()90()1802()1[2]c c c c c c g g g g g g j p j p j p G G j G s s s s s s s G j G j j p j p j p ωωωωωωωωθθωωθθωωωωω⎧
---=→=⎪⎪
⎪∠=-︒--==⎨++⎪
+++=︒→∠=︒⎪
⎪=---⎩
=找=使找=使2）画出 1.2K =时的幅相特性，如图
5．3．2开环对数频率特性曲线的绘制
例1 系统()L ω曲线如右，求()?G s = 解：依图：()1
K
G s Ts =
+
3020
20lg 301031.6K K =→==
转折频率0011
;T T ωωω===
31.6
()1
1G s s ω∴=+ (0) 例2 最小相角系统()L ω曲线如右，求()?G s =
解：依图2()()21n n
K
G s s s ξωω=++
20lg 10K K →=
(1) 20lg 8r M ==
(2) r ωω=
(3)
由(2)
式8lg(220
=-
822
2
2084
2
42204(1)(10
)
1
100.03960
4
ξξξξξξ-
--=-+⨯=-+=
12
2
0.9791()0.50.45870.203ξξξ=⎧==±⎨
⎩舍去＝
(4) (4)(3):30n ω→===
(5) 2
2109000
(1).(4).(5)(0)()12.81900()20.20313030
G s s s
s s →==+++⨯⨯+ 2 开环系统对数频率特性曲线
11(1)(1)
()(1)(1)
m v n v K s s G s s T s T s ττ-++=
++
1111111()20lg ()20lg 20lg 120lg 1111 20lg
20lg 20lg 11()()90m n v m n v L G j K j j v j j T j T G j tg tg v tg T tg T
ωωτωτωωωωϕωωτωτωωω------⎧==+++++⎪
⎪
+⋅+++⎨++⎪
⎪=∠=++-⋅︒---⎩
即：开环系统对数频率曲线＝各环节对数频率曲线之迭加 例1：已知22
50.25(2)
()20.50.50.5s G s s s s ⨯+=
⎡⎤+⨯⨯+⎣⎦
画对数频率曲线
解：21
10(1)2()()20.510.5
0.5s G s s s s +=
⎡⎤
+⨯+⎢⎥
⎣⎦化为标准形式
()G s 为4个典型环节之组合：1) 比例环节1()10G s K ==
2) 积分环节21
()G s s
=
3) 振荡环节23()1()20.510.5
0.5s s G s ⎡⎤
=+⨯⨯+⎢⎥⎣⎦
4) 一阶微分41
()12
G s s =+
绘制开环对数频率特性的一般步骤： 原理：
1
1()()()()
N
i i N
i
i L L ωωϕωϕω==⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∑∑N ：构成()G s 的典型环节数 步骤：以2240(0.5)
()(0.2)(1)
s G s s s s s +=+++为例2
[1]. 把()G s 化为标准形式(开环增益型)
221100(1)
0.5()1(1)(1)0.2
s G s s s s s +=
+++ [2]. 将各环节的转折频率按顺序排出：
12231
0.2(
1)0.2
1
0.5(
1)0.5
1(1) 0.5
s s s s ωωωξ=→+=→+=→++=惯性环节一阶复合微分环节振荡环节 [3]. 确定最小转折频率左边的曲线(直线)
过1ω=，()20lg 20lg10040L K dB ω===的点 斜率为20/20240/vdB dec dB dec -=-⨯=-
[4]. 迭加作图：(在上面直线的基础上)
12120/;0.2:20:20/;0.5:2040/;1:40:40/dB dec dB dec dB dec dB dec ωωω⎧-→=-⎧⎪⎨+→=+⎪⎩⎨
-→=-⎧⎪⎨⎪
+⎩⎩
惯性环节:一阶复合微分对数幅频曲线在转折处对应:振荡环节:二阶复合微分
对数相频曲线：先画出各环节相频曲线，之后逐个叠加。

[5]. 校正(依所需的精度而定)
① 当二阶环节(0.380.71)ξ∉ 时，要用校正曲线校正 ② 当两惯性环节转折频率很接近时，需要校正 [6]. 检查
① 最右边曲线的斜率20()/20(51)80/n m dB dec dB dec =--=--=-
② 转折点数＝(惯性环节数)+(一阶复合微分数)+(振荡环节数)+(二阶复合微分数)
③ 相角的最后趋近值()(51)23602
2
n m π
π
π=-
-=-
-=-=-︒
开环系统的对数频率特性（补充） 例1 800
()(4)(20)
G s s s s =
++
1210
()(1)(1)4204 2020 20
G s s s s ωω=
++=-⎧⎨
=-⎩
基点基线1,(1)2020/L dB
dB dec
ω==⎧⎨=-⎩斜率
迭加作图(如右上图)
幅相曲线如右图
例2 228(0.1)
()(1)(425)
s G s s s s s s +=
++++
22123
1
0.032(1)
0.1()(1)()0.815
50.1 201 405 40s G s s
s s s s ωωω+=
⎡⎤++++⎢⎥
⎣⎦=+⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩ 基线1,(1)20lg 0.0323020/L dB dB dec
ω==-⎧⎨=-⎩ 斜率
例3 已知单位反馈系统，开环传递函数如下，画对数频率特性，幅相特性
3
()(0.31)( 5.06)(0.64)
s G s s s s =
+++ [1]. 标准形式：3
()111
0.31 5.060.64(1)(1)(1)
0.31 5.060.64
s G s s s s =
⨯⨯+++
[2]. 转折频率：1230.31,0.64, 5.06ωωω===
[3]. 最左端曲线：(1, 0dB ω=)点；斜率＝2020(3)60/v dB dec -=-⨯-=+ [4].作图检查 ① 右端曲线斜率20()30(33)0/n m dB dec =--=--=＝
②转折点＝3
③ ()ϕω最后趋近值90()9000n m =-︒-=-︒⨯=︒
已知对数频率特性，求系统传递函数
例1：已知最小相角系统的对数幅频曲线如下图所示，求()G s
解：1
222
21
(
1)
()()21K s G s s s s ωξωω+=
⎡⎤++⎢⎥
⎣⎦
确定K ：依图：[][]01140lg lg 20lg lg c H ωωωω=-=-
0112011
2012lg
lg ()c c c K
ωωωωωωωωωωω==== 11
222
21
(
1)
()()21c s G s s s
s ωωωξωω+∴=
⎡⎤++⎢⎥
⎣⎦ (ξ无法确定)
例2：已知最小相角系统(最小相角)对数幅频曲线如右：求()G s
解：依图：1
2
1
(
1)
()1
(
1)
K s G s s s ωω+=
+
确定K ：依图：
21
c K ωωω= 12
121
2
1
(1)()1
(1)
c c K s G s s s ωωωωωωωω∴=
+∴=
+ 例3：已知最小相角系统相频特性，求()G s
11
1
2
2()90,(1)202
14tg tg tg L dB
ω
ω
ϕωωω---=-︒--=-
解：2
10(1)
()1(1)(2)212s G s s s ωω+=
⎡⎤+++⎣
⎦
例3：已知某开环系统的对数频率特性曲线如图所示，
求()=G s ？
解：依图：有：
2
1
1
(
1)
()1
(
1)
K s G s s s ωω±=
±
1) 定K ：依图*K ω=
22
11
**c c K ωωωωωωωω=→== 2) 定两环节中的”±”号，作出当两环节”±”不同组合时的相频曲线
i ）
+⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩ (0)90 ()090G j G j +=∞∠-︒
∞=∠-︒
ii ）
+⎧⎪⎪⎨⎪⎪-
⎩ (0)270 ()090G j G j +=∞∠-︒
∞=∠-︒
iii ）
-⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩ (0)90 ()090G j G j +=∞∠+︒
∞=∠-︒
iv ）
-⎧⎪⎪⎨⎪⎪-
⎩ (0)90 ()090G j G j +=∞∠-︒
∞=∠-︒
3)
212
1
1
(1)()1
(1)
c s G s s s ωωωωω+=
-
例某无闭环零点的二阶系统，闭环增益 1.5K φ=。

当输入正弦信号的频率调到5
f Hz π
=时，()s c t 相
角恰好迟后90︒，从示波器上看到的()s c t 与()r t 波形如右图所示：求()?s Φ= 解：依题意有
2
22
2102102
()2()322()901()n n n f f n n K s s s K K j j arctg φωπφωπωξωωωξωξ
ωωωω====Φ=
++⎧
Φ===⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪∠Φ=-=-︒⎪-⎪
⎩
由此得出10/1.51
0.252364n rad s K φωωξ==⎧⎪
⎨=
===⎪⨯⎩
2
22
1.510()20.251010s s s ⨯∴Φ=+⨯⨯+
例4：单位反馈系统开环对数幅频特性曲线如右下(最小相角)，求闭环系统传递函数。

解：依对数曲线形状，可写出:
2()()21n
n K
G s s s s ξωω=
⎡⎤++⎢⎥
⎣⎦ (0)
∵最左端曲线在100ω=处与ω轴相交。

∴有：10020lg 01100100
K K
K ωω==→=→=
(1)
依图，有：
45.3r ωω==
(2)
20lg 4.85r M == (3)
依
4.8520
10
=
2
4.85 4.85220.4852010
42422
4(1)1010
100.330370.3307
0.08260
4
0.90920.95()10.818(4)
20.09080.301
45.3
(4)(2):50(5)
0.906(1)(4)(5)(0):(n G ξξξξξξξξξω---⎡⎤-====⎢⎥⎣⎦-+=-+=→=⎧±===⎨
→=⎩→===→舍223
21001002500
)(30.12500)
()20.301150
50250000
()30.12500250000
s s s s s s s s s s s ⨯==
++⎡⎤+⨯+⎢⎥
⎣⎦∴Φ=+++
注，此题ξ的确定可以直接图
4.85=0.34
5.350r r
n M dB ξωωω=→⎧⎪
⎨==→==⎪⎩
5．4 频率域稳定判据
奈氏判据是用开环幅相特性判断闭环系统稳定性的方法。

1. 奈氏判据：
2Z P N =-:::()1,0Z s P s N GH j j ω⎧⎪
⎨⎪-⎩
在左半平面中闭环极点的个数
在右半平面中开环极点的个数包围()点的圈数 解释： 设：123()(1)(1)(1)
K
GH s T s T s T s =
+++
其开环零极点分布图及根轨迹为：
由()GH j ω曲线可见：
12:0
:1((1,0))
K N K K N j =⎧=⎨
=--⎩顺时针包围一圈 ∴
112
22000 202(1) 2 i i K K Z P N K K Z P N ==-=-=∆==-=--=∆时：闭环极点如系统稳定
时：闭环极点如不稳定
2. 说明：
开环：*112*()()()
()()()()()m n K s z s z K M s GH s s p s p s p N s --==
--- 闭环：**
()()()()()1()()
()()1()
G s G s G s N
s K M s G s H s N s K M s N s Φ===+++
闭环特征式：*()()()D s N s K M s =+
设辅助函数：**()()()()
()1()1()()()
K M s N s K M s D s F s GH s N s N s N s +=+=+==
1212()()()
()()()
n n s s s s p s p s p λλλ---=
--- ()F s 特点：()()()()1()i i F s p F s F s F s GH s λ⎧⎧⎪⎨
⎩⎪
⎪
⎨⎪=+⎪⎪⎩
零点—是闭环极点1.的极点—是开环极点2.的零点数=的极点数3. 为具体起见：设123()(1)(1)(1)
K
GH s T s T s T s =-++
则()F s 零点(i λ)极点(i p )分布如右图示：
123123()()()
()()()()
s s s F s s p s p s p λλλ---=
---
()F s 的幅值，相角为：
[]123
123
123123()()j j j F j j p j p j p F j s s s s p s p s p ωλωλωλωωωωωλλλ---=
---∠=∠-+∠-+∠--∠-+∠-+∠-
当自变量s j ω=按右图走出一条封闭曲线(把整个右半s 平面包围进来)时 ()2(21)2()2F j Z P R ωπππ∠=--=--= ()(0,0)2:()(1,0)R P Z F j Z P R
Z P N N GH j j ωω∴=-=-=--—包围的圈数
包围点的圈数
2R N ==被包围的(右半s 平面)开环极点和闭环极点数之差
对讨论的系统：1
212()22
Z P N =-=--=，不稳定
3. 奈氏判据的应用
——当虚轴上有开环极点分布时的处理——补充大圆弧(当0v ≠时) 补大圆弧的方法：从()G j ω的0+点逆时针补v 个90︒ 例：1212()()(1)(1)
K
G s T T s T s T s =
>++
作出开环零极点分布图：(a) 作出幅相曲线图(b):
(0)0(0)90G j G j +
=∞∠︒
⎫
⎬=∞∠-︒⎭
需补充的大圆弧 (0)90()0270G j G j +⎫
=∞∠-︒⎬∞=∠-︒⎭
常见()G j ω曲线
可见，当：12:0
:1K N K K N =⎧=⎨=-⎩
1:2000K Z P N =-=-= (稳定)
2:202(1)2K Z P N =-=--= (不稳定)
理由：见根轨迹(c)，K 小时，根位于左半s 平面，K 大时，有两个根到右半s 平面。

注：
1). N 的绝对值的最小单位是
1
2
，顺时针包围为负，逆时针为正。

2). P 只是开环极点在右半s 平面的根的个数，而右半s 平面的开环零点不管。

3). Z 只能是非负整数 4. 奈氏判据特点：
1). 由开环幅相曲线判断闭环系统稳定性
2). 便于研究当系统结构参数改变时对系统稳定性的影响 3). 容易研究包含延迟环节的系统的稳定性
4). 推广之，可用以分析某些非线性系统的稳定性 5. 对数稳定判据：—奈氏判据移植于对数频率坐标的结果 ()G j ω包围(1,0)j -点在Bode 图上的特性。

()G j ω包围(1,0)j -点⇒()G j ω在(1,0)j -左边有交点 ⇒()0L dB ω>在的频段范围内，()ϕω与180-︒线有交点
判据：
2Z P N N N N +-
=-=-
在()0L ω>范围的ω频段中： 若()ϕω变化由
18018011
1801802N N ---︒→-︒=⎫
⎪⎬-︒→-︒=⎪
⎭
上面下面：一次负穿越 下面：半次负穿越 相角减小的穿越为负穿越
18018011
1801802N N ++-︒→-︒=⎫
⎪
⎬-︒→-︒=⎪
⎭
下面上面：一次正穿越 上面：半次正穿越 相角增加的穿越为正穿越 如上两例，如开环稳定，则0P =
对于1()G s ：000N N N +-=-=-= 2000Z P N =-=-=闭环稳定
对于2()G s ：110N N N +-=-=-= 2000Z P N =-=-=闭环稳定
1. 123123() ()(1)(1)(1)K
G s T T T T s T s T s =>>+++12:000:011
K N N N K K N N N +-+-=-=-=⎧=⎨
=-=-=-⎩2Z P N =-=0 2 +稳
不稳
2. 123123() ()
(1)(1)(1)
K
G s T T T T s T s T s =
>>-++112233:000 2101111:0 212()0222111:1 212()2222K N N N Z P N K K N N N Z P N K N N N Z P N +-+-+-⎧⎫⎪⎪=-=-==-=-=⎪⎪
⎪⎪
==-=-==-=-=⎨⎬⎪⎪⎪⎪
=-=-=-=-=--=⎪⎪⎩⎭
不稳稳不稳看根轨迹
3.
1212() ()(1)(1)
K
G s T T s T s T s =
>++
1122:000 2000:01 1 202(1)2K N N N Z P N K K N N N Z P N +-+-=-=-==-=-=⎧=⎨
=-=-=-=-=--=⎩稳
不稳
4.
2
()(1)
K
G s s Ts =
+ 01 1 N N N +-=-=-=-
202(1)2Z P N =-=--=不稳定
5.
()(1)
K
G s Ts =
-
1122:000 2101111
:0 212()0222
K N N N Z P N K K N N N Z P N +-+-=-=-==-=-=⎧⎪
=⎨=-=-==-=-=⎪⎩不稳稳
6.
2
(1)
() ()(1)K s G s T Ts ττ-=
>-
112233:000 20 2 :10 1 22(1)0 111
:1 222() 1 222
K N N N Z K K N N N Z K N N N Z P N +-+-+-⎧
⎪=-=-==-=⎪
==-=-==-+=⎨⎪⎪=-=-==-=-=⎩不稳稳不稳
奈奎斯特稳定判据（补充） 例1 2
1000
()(25)(0.21)
G s s s s =++
240
()1(1)55
s s s =
⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
(0)0(0)90(5)135(5)315()0360011202(1)2
G j G j G j G j G j N N N Z P N +-++-=∞∠︒=∞∠-︒=∞∠-︒=∞∠-︒∞=∠-︒=-=-=-=-=--=
例2 3
123()(1)(1)(1)
Ks
G s T s T s T s =
+++
(0)00G j =∠︒
(0)0270G j +=∠+︒
123()0K
G j TT T ∞=∠︒
120002000
011202(1)2N N N K Z P N K N N N K Z P N +-+-⎧=-=-=⎧⎨
⎪=-=-=⎪⎩=⎨
=-=-=-⎧⎪⎨⎪=-=--=⎩
⎩
5.5 稳定裕度(开环频率指标) 问题引出：
如右开环传递函数为：
12()(1)(1)
K
G s s T s T s =
++
从奈奎斯特图曲线上看，闭环系统稳定程度如何，取决于曲线距离(1,0)j -点的远近程度。

即闭环系统的稳定程度（稳定储备量）定义了稳定裕度，分别用,c g ωω处的两个特征点。

动态性能←−
→稳定程度
(1,0)(1,0)c g t j j h ξωγωω⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪
-⎧⎫⎪⎪⎪--⎨⎬⎪-⎪⎪⎩⎭⎩
域 稳定边界 稳定程度
域 虚轴 域 距距离特征点 §5.5.1稳定裕度的定义 1.
180()180()()01 ()()180c c c g g GH j L dB h G j γωϕωωωϕω=︒+∠=︒+⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=-︒⎩⎩
相角裕度幅值裕度
2. 稳定裕度的几何意义 例：12()(1)(1)
K
G s s T s T s =
++
c g h ωγω−−
→⎧⎪⎨
−−
→⎪⎩截止频率相角交界频率 3. 稳定裕度的物理意义
:
:
h γ⎧⎨
⎩系统在相角幅值方面的稳定储备量，一般要求402(6)h dB γ>︒> 4. 稳定裕度()
()c g h γωω⎧⎪⎨⎪⎩
与动态性能指标%s t σ⎧⎨⎩之间有直接联系
对二阶系统而言：,h γ与%,s t σ之间有一一对应关系。

对高阶系统而言：,h γ用可以近似估算动态性能指标。

§5.5.2,h γ的计算 例1 ：5
100
()(2)(10)
(1)(1)210
G s s s s s s s =
=
++++
Ⅰ.由奈氏图求,h γ：
令()1G ω=
=
222222
242
1
1(2)(10)10010440010000 2.92.9 2.9
180()180909055.416.1718.428210
c c G tg tg ωωωωωωωγω--++=⎡⎤++=−−−→⎣⎦
=︒+∠=︒-︒--=︒-︒-︒=︒ 试根
●令1
1
()901802
10
G tg
tg ω
ω
ω--∠=-︒--=-︒
11
902
10
tg tg ω
ω
--+=︒
1
1
902
10
tg tg ω
ω
--=︒-
110210ctg tg ωωω-⎡
⎤==⎢⎥⎣
⎦
220 4.47
g ωω=→=
= 4.47
5
()0.4174.47 2.45 1.095
g g G ωω==
=
=⨯⨯
11 2.4(7.6)0.417
()g h dB G ω===
22222
100100()(2)(10)
()(2)(10)(2)(10)
j j j G j j j j ωωωωωωωωωω---=
=++++ 22
22222222222
10012(20)100()(2012)(2)(10)(2)(10)
j j j X jY ωωωωωωωωωωωω⎡⎤-+----⎣⎦===+++++
令2
22222(20)10 4.47 2.4(2)(10)()g g Y h G ωωωωωωωω=∞⎧--⎪==→⎨===→=
=++⎪⎩
Ⅱ.由Bode 图求,h γ
直接读图法()L ω与0dB 交点c ω→⇒在()c ϕω处直接读出γ值 ()ϕω与180-︒交点g ω→⇒在()g L ω处直接读()h dB
计算c ω
：依图5 3.162c
c c ωωω=→==
11
3.16 3.16
18090210 9057.67
14.8tg tg γ--=︒-︒--=︒-︒-︒=︒
依图 4.47g ω== 1 2.4(7.6)()
g h dB G ω==
III. 从s 平面上求,h γ
100
()(2)(10)
G s s s s =++
试探s j ω=：
当123..100PA P A P A =时，180()c c s j G ωγω→=⇒=︒+∠ 当123180ϕϕϕ++=︒时，1
()
g g s j h G ωω→=⇒=
例2 单位反馈系统，开环传递函数为：
()(1)(0.11)(1)(1)
10
K K
G s s s s s s =
=
++++
求 1) 使60γ=︒的K 值
2) 使20h dB =的K 值
解：作出对数频率特性如图所示： 1) 找到60γ=︒的()ϕω处
(对应1c ω),使0dB 线与相交10.65(60)c K ωγ→===︒ 2) 找到()ϕω与180-︒相交点
(
对应 3.16g ω==),在()g L ω上方量出20dB 定出A 点 使0dB 线通过A 点21(20)c K h dB ω→===
例3 6(1)2.5()(1)(1)(1)2512.5
s
G s s s s s +=+++求,h γ=？
解:作()L ω曲线如右
由图有6 2.5
2c ω=
62
4.82.5
c ω⨯∴==
另有：662
2.5()12.512c
c c
c
c G j ωωωωω⨯
⨯=
=
=⨯
⨯ 62
4.82.5
c ω⨯∴=
= 1
1114.8 4.8 4.8 4.8180()180902.52512.5 18062.59067.443.82120.3c tg tg tg tg γϕω----∴=+=︒+-︒---=︒+︒-︒-︒-︒-︒=︒
求g ω：
1
1
1
1
1
1
1
1
1122
2
()901802.5
2
5
12.5
180********.5 2.512.552 2.5901112.552 2.512.55112.55g
g
g
g
g g
g g
g
g g g g g g
g
g g
tg
tg tg
tg
tg tg tg tg tg tg ωωωωϕωωωωωωωωωωωωωω----------=-︒---=-︒
++-=︒-︒=︒
⎡⎤⎡⎤
+-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥+=︒⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦⎣⎦
+
∴-⨯2
22
22
2.5112 2.5
1111
(1)(1)()()
62.5512.552 2.5
g
g
g
g g g ωωωωωω-
-=+
⨯-
=+-＋
整理得：42
49.57312.507.4(/)g g g rad s ωωω--==，解得
1
3.135(j )
g h G ω=
=
= 例：作业5-21(3)做法之一 已知系统开环传函：50
()(0.21)(2)(0.5)
G s s s s =+++
判定其稳定性，求稳定裕度
解：用奈氏判据，解析法
3
22222
22222
250
()(5)(2)(0.5)
250
7.513.55
250
()(57.5)(13.5)250(57.5)(13.5) (57.5)(13.5)G s s s s s s s G j j j u jv
ωωωωωωωωωω=+++=+++=
-+-⎡⎤---⎣⎦
=
=+-+-
令20(13.5)0v ωω=→-=
2050
250250
3.674 2.597457.557.513.5
110.38512.5974
g u u h u ωωω=→===→=
==---⨯∴=
==<
作()G j ω的对数幅频曲线，交出 6.4c ω=,(试根得 5.6c ω=)
1
115.6 5.6 5.6180()180520.5 18048.2470.3584.9023.49G j tg tg tg γω---=︒+∠=︒---=︒-︒-︒-︒=-︒
答：23.4900.3851
h γ=-︒<⎧⎨=<⎩系统不稳定
7.561234(1)(1)
()(1)(1)()(1)
K T s T s G s s T s T s T s T s ++=++++
1234:000 :01 1 :110:121
K N N N K N N N K K N N N K N N N +-+-
+-+-=-=-=⎧⎪=-=-=-⎪=⎨
=-=-=⎪⎪=-=-=-⎩ Z=P-2N=0200 02(1) 2 0200 02(1) 2 -⨯=⎧⎫⎪⎪
--=⎪⎪⎨⎬
-⨯=⎪⎪
⎪⎪--=⎩⎭
稳不稳见轨迹
条件稳定稳不稳 8.3
123()(1)(1)(1)
Ks G s T s T s T s =+++
12:000
:01 1 K N N N K K N N N +-+-=-=-=⎧=⎨
=-=-=-⎩ Z=P-2N=0200 02(1) 2 -⨯=⎧⎨-⨯-=⎩稳不稳
例1.Ⅰ型最小相角系统，系统开环频率特性如右，判定稳定性： 解：由对数判据，()A ω在范围内，
()ϕω两次负穿越2N ∴=
022
202(2) 4 N N N P N λ+-=-=-=-=-=--=不稳定
对应大致作出相应的图如右： 例2.开环传递函数：
22
100040
()(25)(0.21)(0.041)(0.21)
G s s s s s s s =
=++++ 画出奈奎斯特图。

判定稳定性： 解：利用零极点矢量图作图：
()A ω=
01340000000000000000:: ()()()()() =(090)+0+90-90 (090):: ()90(045)90-9090135:: ()90(4590)90+903153j A B G S j S j S j S j j B C G j C D G ωϕωωωωωωϕωωϕω−−→=∞
-=∠+∠+∠+∠→=→→<∞
-=+-+=→→=∞
-=+-+=→0
60
可以作出奈氏图如右所示 画出对数频率特性：
可见011N N N +-=-=-=-
202(1) 2 P N λ=-=--=不稳定
讨论：⒈k 变化时，()A ω曲线上下移动()ϕω不变。

但不论K 怎样变动，负穿越点总在()A ω>0范围内。

∴总不稳定。

2.做根轨迹验证：
1. 定义：相角裕度00180()180()c c GH j γωϕω=+∠=+ 幅值裕度1
()
g h GH j ω=
● ,h γ的几何意义 ● ,h γ的物理意义
:γ若系统频率特性的相角在原有基础上再滞后0γ，则闭系统处于临界稳定 :h 若系统的开环增益在原有基础上再加大h 倍，则系统处于临界稳定。

,h γ分别表示系统在相角、幅值两个方面的稳定储备量。

当0,1h γ>>（或0h dB >）时闭环系统稳定，0,1h γ<<时不稳定 ● ,h γ与闭环系统的性能指标直接相关。

对二阶系统来说，,h γ与,%s t σ之间一一对应。

对高阶系统来说，用,h γ的近似估计性能指标。

为使闭环系统获得满意的动态过程，一般要求0
402(6)
h dB γ⎧<≠⎨<≠⎩
5.5 稳定裕度
1. 从开环频率特性指标估算时域指标 系统的稳定程度与动态指标间有密切联系
描述闭环系统稳定程度的开环频率特性指标为：
180()1()c c g g G j h G j ωγωωω→=+∠⎧⎪
⎨→=
⎪∠⎩
截至频率处相角裕度相角交界频率处幅值裕度 故：c g ,,,h ωγω值与动态性能之间有直接联系。

(1) 一阶系统
()1
3
s c
K G s s t ω== 注意：
①
,c b ωω定义及物理意义的不同
② 1G 时：()1G
s G G
Φ=
+ ③ 0型系统与1型系统有所不同
④ c ω处，()L ω以20/dB dec -通过 (2) 二阶系统
22
22
2()1(2)()(1)n n n n G s s s s s s s ωωωξ
ξωωω====+++
其中：22n ωξω=为转折频率
22n
ωξω=
对数频率
ωω<ωω=ωω>可见各特征量之间的关系：（当n 保持不变是时）
↓↔↑↔↑↔↓%σγξ k ――定性分
析
Δγ~ξ之间的关系：(由频域指标%σξγ→→时域指标的定量描述) 指导思路：
21
()1()(2)2n c c c c n n c c n n
G j f j j j ωωωξωωξωωωω
ξωω==⇒=+⋅+定
＝ (5-76)
⇒--=∠-=-)(81
5290)(1801
ξγξωωωγn
c c tg j G
二阶系统γ
~ξ曲线
Δ二阶系统估算时域指标的方法：
595313180()
%22483
()20lg ()
3.5
c c n
s n
G j P P L G j t ωγωξσωωωξω--→=+∠=↓
=
→⊕
定定－－－－－－－－－－－－
Δ例：系统如右，估算系统时域指标： 解：画对数幅频特性(如右下图)
n c ωω===3148*20
8.3220
31
9020
901801
1
=-=--=--tg tg c
ωγ 由图5-95：3.08.32=→=ξγ
由图3-13：%37%3.02
1==→=--
ξξπσξe
''38.031
*3.05
.35
.3==
=
n
s t ξω
021.048
11)(===v ss K t t r e
注： ① 1G <<时，
()
()j G j ωω⋅Φ
② ()L ω曲线斜率大小～()ϕω大小的关系
③ 在c ω处最好以20/dB dec -通过ω轴，这样才能保证较好动态特性
④ 0型二阶系统与1型二阶系统有所不同
⑤
在频率特性曲线上，不论K 怎样，,,b n c ωωω一般都比较接近
(3) 高阶系统
频域指标)%,(~),(s r c t M σω之间的统计近似公式：
2
0.160.4(1)
2 1.5(1) 2.5(1)r r r s c M M M t σπω=+-⎧⎪⎡⎤+-+-⎨⎣⎦
=
⎪⎩
（5－77）（5－78）2261 1.8597r M P ≤≤⇒-图
185() 529 1
~ (583)sin c r r r r
M M P M M ωξγξγγ
→⎫
⎬
→⎭
↔↔-⋅-开环频率特征参数闭环频率特征参数二阶系统：图高阶系统的近似公式：2
2272280.160.4(1)
35905982 1.5(1) 2.5(1)r r r s s c M P P M M t t σσγγπγω=+-⎧⎫⎪︒≤≤︒⇒-⎡⎤⎡⎤+-+-⎨⎬⎣⎦⎣⎦
=
⎭⎪⎩
（5－77）（5－78）见中间图曲线
● 高阶系统由开环频域指
标;;%c s t ωγσ→的方
法
● 例：已知单位反馈系统开
环传递函数，求系统开环频率指标),(r c M ω及动态性能指标)%,(s t σ系统如右：
48(1)10()(1)(1)20100
s G s s s s +=++ 作出开环对数幅频曲线
估计系统动态性能
解：作开环对数幅频曲线如下页 依图得：
1
1122820481096969696180()180901020100
18084.059078.2344.4251.4%=27%51.48.48.40.0875
965989.6c
c c s c c G j tg tg tg P t ωωγωσγωω---=
==︒+∠=︒+-︒--=︒+︒-︒-︒-︒=︒
⎧=︒⎧⎪⎨⎨
====-⎩⎪⎩
图 讨论问题：要使原系统1()G s 中的频段和()G s 相似，可以把K 降低，此时有： 对2()G s ： 279
2599313
1
2
2()6180909016.773.30.87020
3.5
3.5
0.67
0.876
11
0.1676
c n
c P s n
r t t
ss v tg t e K ωωωγξσξω---====︒-︒-=︒-=︒−−−→=−−−→=
=
=⨯=
==图图％＝
12,,G G G 三系统性能对比：。