【2019年整理】年第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题及详细解答高年级

第十七届华罗庆金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题 A （小学高年级组）
（时间:2012年4 月21 日10:00〜11:30）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1. 算式10—10.5+ 5.2父14.6 —（9.2父5.2+5.4父3.7—4.6m1.5）1 的值为.
2.箱子里已有若干个红球和黑球，放入一些黑球后，红球占全部球数的四分之一；再放入一些
红球后，红球的数量是黑球的三分之二.若放入的黑球和红球数量相同，则原来箱子里的红球与黑球数量之比为一.
3.有两个体积之比为5:8的圆柱，它们的侧面的展开图为相同的长方形，如果把
该长方形的长和宽同时增加6,其面积增加了114.那么这个长方形的面积
4.甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则
乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍.如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲
粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍.那么甲粮库原来最少存有袋的粮食. 5.现有211名同学和四种不同的巧克力,每种巧克力的数量都超过633颗.规定每名同学最多
拿三颗巧克力，也可以不拿.若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有一名同学.
6.张兵1953年出生，在今年之前的某一年,他的年龄是9的倍数并且是这一年
的各位数字之和，那么这一年他一岁.
7.右图是一个五棱柱的平面展开图，图中的正方形边长都为2.按
图所示数据，这个五棱柱的体积等于—.
8.在乘法算式
草绿黑花红了 =春光明媚
中，汉字代表非零数字,不同汉字代表不同的数字,那么春光明媚所代表的四位数最小是—.
、解答下列各题（每题10分,共40分，要求写出简要过程）
9.如右图,ABCD是平行四边形,E为AB延长线上一
点,K为AD延长线上一点.连接BK, DE相交于一点
O.问：四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相
等？请说明理由.
10.能否用500个右图所示的1父2的小长方形拼成一个5M200的大长万形,使得5 M 200的
长万形的每一行、每一列都有偶数I- ........
个星？请说明理由.
11.将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数，如果这两个n位数之和的平方
正好等于这个2n位数，则称这个2n位数为卡布列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）
2 =3025,所以3025是一个卡布列克怪数.请问在四位数中有哪些卡布列克怪数？
12.已知98个互不相同的质数P i, P2,…，P98,记N = p i2+ p2 +…+p28，问：N被
3除的余数是多少?
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13.小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，两人同时同地出发，小李顺时针跑，每72秒跑
一圈；小张逆时针跑，每80秒跑一圈.在跑道上划定以起点为中心的1圆弧区间，那么两
人同时在划定的区间内所持续的时间为多少秒？
4
14.把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色，然后切割成棱长为1的小立方块，其
中，两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66 块，那么这个长方体的体积是多少？
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题A 参考答案
（小学高年级组）
一、填空（每题10分，共80分） 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
9.3 1:2 40 153 7 18 7 4396
二、解答下列各题（每题10分,共40分，要求写出简要过程） 9 .答案：是.
解答.连接AC.则
S ECKB = S CEB ' S
BCK 二 S
CEB ' S
. BCA =S.A CE = S.E AD
S.O BE = S .E AD - S .O BE . 因此 S ECKO - S ABOD .即
四边形ABOD 的面积二四边形ECKO 的面积.
10 .答案：能 解答.首先构造5父4的长方形如下
所以
S ECKB
被3除余1,且
然后用50个5父4的即可拼成5 M 200的长方形.
11 .答案:2025, 3025, 9801.
解答.设一个四位卡布列克怪数为
100x + y ,其中10 W x W 99, 0E y E 99.则由题意知
100x + y =(x + y)2,两边模 99得
x y = (x y)2
(mod99),
因此99 |(x+y)(x + y —1),故x + y 与x + y-1中有一个能被9整除，也有一个能被11整除 (可能是同一个数)，且有102 W(x + y)2 =100x + y <1002 ,即 10Mx+y<100. (*)
若x + y 能被99整除，由(*)知x + y 只能是99,满足条件的四位数是 9801;若x + y — 1 能被99整除，由(*),显然没有满足条件的四位数；此外，可设 x + y=9m, x + y —1 = 11n,则有9m-11n=1,由(*) , m 和n 均为小于12的正整数，故得到 m = 5, n=4, x+y 只能是45,满足条件的四位数是 2025;反之，可设 x+y —1 = 9m, x + y = 11n,满足条 件的四位数是3025.
故四位数中有三个卡布列克怪数 ，它们分别为2025, 3025和9801.
12 .答案：1或2
解答.对于质数3, 32被3整除.其余的质数，要么是3k +1型的数，要么是3k +2型的数. 由于
(3k 1)2 -9k 6k 1 -3(3k 2
2k) 1,
_ _2_2 _ __2
(3k 2) =9k2 12k 4 =3(3k2 4k 1) 1,
被3除也余1.因此有
(1)若这98个质数包含3时，N被3除的余数等于97被3除的余数,等于1.
(2)若这98个质数不包含3时，N被3除的余数等于98被3除的余数，等于2.
三、解答下列各题(每题15分,共30分，要求写出详细过程)
13.答案：3,9,11,18
解答.设起跑时间为0秒时刻，则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为
[0,9], [72k -9,72k 9], k =1,2,3,「
和
[0,10], [80m -10,80m 10], m -1,2,3,.
其中[a, b]表示第a秒时刻至第b秒时刻.显然[0,9]即前9秒里两类时间段的公共部分 . 此外，考虑[72k—9,72k+9]和[80m—10,80m+10]的公共区间，k,m为正整数，分两种情况：
1)72k =80m,即小李和小张分别跑了k圈和m圈同时回到起点，他们二人同时在划定区域跑了 18秒.
2)72k 880m,例如
72/t-9 72 4+9
■ ■ 80-fw -10 SO M+IO
72k -9 M80m-10 W72k+9 W80m+10 u 1 <80m-72k <19 ①.
两人同时在划定区域内跑了72k +9 —(80m—10) = 19— (80m—72k).由①知
80m -72k =8, 16.于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒.其它情况类似可得同样结果.
综上，答案为3,9,11,18.
14.答案：150
解答.设立方体的长,宽,高分别为z, y, x,其中x<y<z,且为整数.注意,两面有红色的
小立方块只能在长方体的棱上出现.
如果x =1, y =1,则没有两面为红色的立方块,不符合题意.
如果x =1,y > 1,则没有只有一面为红色的立方块，不符合题意.
因此x 2 2.此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱.一面出现红色的方块只
与立方体的面共面.有下面的式子成立
4M[(x-2) +(y -2)+(z-2)] =40, (1)
2x[(x-2)(y -2) +(x-2)(z-2)+(y-2)(z-2)]=66. (2)
由(1)得到
x +y +z =16, (3)
由(2)得到
xy + xz + yz = 85. (4)
由(3)和(4)可得，x2 +y2+z2 =86,这样1 Ex, y,z £9.由(4)得到
2
(x + y)(x + z) =85 + x . (5)
若x=2,则由(5)得到(2 +y)(2 +z)=85 +4=89 = 1x89, y,z的取值不能满足(3).
若x=3,则由(5)得到(3 + y)(3 + z) =85+9 = 94 = 2x47, y,z的取值不能满足(3).
若x =4,则由(5)得到(4 +y)(4 +z) =85+16 =101 = 1父101, y,z的取值不能满足(3).
当x = 5 时，由(5)得到(5 + y)(5 + z) =85 + 25 =110 = 2黑5黑11,此日y = 5,z = 6
满足条件.
如果x之6,则x + y+ z±18,与（3）矛盾.
综上，x=5, 丫 = 5:=6是问题的解,这是长方体的体积为 150.。